2021-2022学年重庆市第一中学校高二下学期第一次月考数学试题（解析版）

2021-2022学年重庆市第一中学校高二下学期第一次月考数学试题

一、单选题

1．等差数列前n项和为，则（       ）

A．130 B．100 C．80 D．65

【答案】D

【分析】直接由等差数列的求和公式求解即可.

【详解】由题意知：.

故选：D.

2．己知F为抛物线的焦点，过点F的直线l交抛物线C于A，B两点，若，则线段的中点M到抛物线C的准线的距离为（       ）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】C

【分析】先由抛物线的定义得到，再由梯形的中位线求解即可.

【详解】

如图：作垂直于准线，垂足为，由抛物线的定义知：，

故.

故选：C.

3．如图，函数的图像在点处的切线方程是，则（       ）

A． B．1 C．2 D．0

【答案】C

【分析】由于点是公共点，且横坐标为3，从而可求出的值

【详解】解：当时，，所以，

因为函数的图像在点处的切线方程是，

所以，

所以，

故选：C

4．五个人到主席台上的编号为1､2､3､4､5的五个位置就座，其中甲必须坐在2､3､4号位置之一，乙不能坐在3号位置，则不同的就座方式有（       ）种

A．72 B．60 C．54 D．48

【答案】B

【分析】若甲坐在3号位，剩余4人全排即可；

若甲不在3号位，甲在2､4号位选择1个，乙在除去甲的位置和3号位剩下的3个座位中选择，剩下3人全排即可.

【详解】若甲坐在3号位，则共有种就座方式，

若甲不在3号位，则共有种就座方式，

故共有种不同的就座方式.

故选：B.

5．在二项式的展开式中，的系数为（       ）

A．35 B．7 C． D．

【答案】D

【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再由的次数等于4，求出，从而可求出的系数

【详解】二项式的展开式的通项公式为，

令，得，

所以的系数为，

故选：D

6．某区有A､B两所学校，其中A校有男教师10人，女教师5人，B校有男教师3人，女教师6人.为了响应国家号召，实现教育资源的优化和均衡，决定从A校随机抽一名教师调到B校，然后在B校的10名教师中随机抽一名教师去培训学习，在从B校抽出来的参与培训学习的为男教师的条件下，从A校调到B校的教师为女教师的概率是（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用条件概率公式计算即可.

【详解】记“从A校调到B校的教师为女教师”为事件M，记“从B校抽出来的参与培训学习的为男教师”为事件N，则，又“从B校抽出来的参与培训学习的为男教师”包含两种情况：从A校抽取到B校的教师为男教师；从A校抽取到B校的教师为女教师女教师，，.

故选：A .

7．截至2022年，中国人口总数为14.2亿人.第七次全国人口普查数据公布，我国育龄妇女总和生育率为1.3，低于国际公认的警戒线1.5，总和生育率为1.3可以简单地理解为每30年，中国的人口将减少一半，某军事专家根据国际形势和我国国土面积等因素得出，当我国人口总数低于五千万时，我国的国防兵力将出现问题.假设我国总和生育率为1.3保持不变，试根据以上材料，估计我国大约在（       ）年左右，国防兵力将出现问题.

A．2140 B．2170 C．2200 D．2230

【答案】B

【分析】先由题意得到函数模型，再由对数的性质求出的范围，即可求出结果.

【详解】设个30年后，我国的总人口为千万人，由题意知，令，

解得，又，故，

又，符合题意的只有2170.

故选：B.

8．数列前n项和为，若满足：，均有，且，则称数列为“和非负”数列.数列为有且仅有6项的“和非负”数列，则这样的数列的个数为（       ）个

A．20 B．24 C．28 D．30

【答案】A

【分析】由，结合题设条件，利用列举法得出数列的个数.

【详解】由题意可知，，的值列举如下：

故这样的数列的个数为个.

故选：A

二、多选题

9．已知点P是双曲线的右支第一象限上的一点，为双曲线E的左､右焦点，的面积为20，则下列说法正确的是（       ）

A．双曲线E的焦点在x轴上 B．双曲线E的离心率为

C．点P的纵坐标为4 D．点P的横坐标为

【答案】ACD

【分析】由双曲线的性质判断AB，由三角形面积公式结合双曲线方程求出点坐标，进而判断CD.

【详解】由题意可知，双曲线E的焦点在x轴上，离心率，设，因为的面积为20，所以，，又，所以.

故选：ACD

10．对于数列，若存在实数M，使得对任意的，都有，则称数列为“有界数列”，下列说法正确的是（       ）

A．若数列是等差数列，且公差，则数列是“有界数列”

B．若数列是等差数列，且数列是“有界数列”，则公差

C．若数列是等比数列，且公比q满足，则数列是“有界数列”

D．若数列是等比数列，且数列是“有界数列”，则公比q满足

【答案】ABC

【分析】利用给定的定义和等差数列的通项公式，结合一次函数的性质分析即可判断A、B；

结合等比数列通项公式和推理即可判断C，举特例即可判断D.

【详解】A：若数列是公差为d的等差数列，则，

当时，则，即，所以存在符合题意的，故A正确；

B：数列是“有界数列”，由知，

当时，关于的一次函数单调递减，没有最小值，所以不存在符合题意的，

当时，关于的一次函数单调递增，没有最大值，所以不存在符合题意的，

当时，，即，所以存在符合题意的.故，B正确；

C：若数列是公比为()的等比数列，，

因为，则，所以，

则存在符合题意的实数，即数列是“有界数列”，故C正确；

D：若等比数列是“有界数列”，当时，，

存在符合题意的，故数列是“有界数列”，故D错误.

故选：ABC.

11．在2021年的高考中，数学出现了多项选择题.假设某一道多项选择题有四个选项1､2､3､4，其中正确选项的个数有可能是2个或3个或4个，这三种情况出现的概率均为，且在每种情况内，每个选项是正确选项的概率相同.根据以上信息，下列说法正确的是（       ）

A．某同学随便选了三个选项，则他能完全答对这道题的概率高于

B．1选项是正确选项的概率高于

C．在1选项为正确选项的条件下，正确选项有3个的概率为

D．在1选项为错误选项的条件下，正确选项有2个的概率为

【答案】BC

【分析】先分别计算出任意一组2个选项、3个选项、4个选项为正确答案的概率，再依次判断4个选项即可.

【详解】若正确选项的个数为2个，则有共6种组合，每种组合为正确答案的概率为，

若正确选项的个数为3个，则有共4种组合，每种组合为正确答案的概率为，

若正确选项的个数为4个，则有共1种组合，这种组合为正确答案的概率为，

对于A，随便选了三个选项，能完全答对这道题的概率为，错误；

对于B，1选项是正确选项的概率为，正确；

对于C，1选项为正确选项为事件A，由B选项知，，正确选项有3个为事件B，则，正确；

对于D，1选项为错误选项为事件C， ，正确选项有2个为事件D，则，错误.

故选：BC.

12．已知函数，则下列说法正确的是（       ）（其中，若无特别说明，下同）

A．是偶函数 B．

C．在上存在一个极值点 D．有且仅有两个根

【答案】BCD

【分析】A选项直接由偶函数的定义判断；B选项分别求出和即可判断；C选项求导确定单调性即可判断；D选项转化为和图像的交点即可解决.

【详解】对于A，易知定义域为，，错误；

对于B，易知，令，当时，单减，当时，单增，

故，即，故，正确；

对于C，，令，

则，当时，，

又由上知，，故，即，所以在上单减，又，

故当时，，即单增，当时，，即单减，

故在上存在一个极值点，正确；

对于D，等价于，故有且仅有两个根等价于和图像有两个交点，

又由上知在上单减，上单增，画出图像如图：

正确.

故选：BCD.

【点睛】本题B选项关键点在于分别求出分子和分母的范围，C选项的关键点在于求导后，把导数的分子部分构造成新函数，通过的单调性确定的正负；D选项关键点在于转化为和图像交点问题.

三、填空题

13．以抛物线的焦点为圆心，且与的渐近线相切的圆的标准方程为___________.

【答案】

【分析】利用点到直线的距离求出半径，写出圆的标准方程即可.

【详解】由题意知：抛物线的焦点为，的渐近线为，

圆的半径为，故圆的标准方程为.

故答案为：.

14．一个口袋里有标号为1到8的八个外观完全相同的小球，现随机从中抽取3个，则这三个小球的标号的最大值为5的概率是___________.

【答案】

【分析】从8个球中抽取3个有种结果，3个球中标号最大为5有种结果，进而求得答案.

【详解】由题意得，

在8个球中随机抽取3个，共有种结果，

抽到的3个球中，标号最大为5的情况是，

有一个球标号为5，且其余2个球标号的数字为1、2、3、4中的2个，共有种结果，

所以3个球的标号最大为5的概率为.

故答案为：.

15．已知数列是首项为a，公差为1的等差数列，数列满足.若对任意的，都有成立，则实数a的取值范围是___________.

【答案】

【分析】先求，再得出，对于任意的，都有成立，说明是中的最小项，借助数列的函数性质求解．

【详解】解：由题意，∴，

易知函数在和上都是减函数，

且时，，即，

时，，，

由题意对于任意的，都有成立，则是最小项，∴，，即，解得，

故答案为：．

16．若关于x的不等式对任意恒成立，则实数a的最大值是___________.

【答案】

【分析】先将转化为，再令构造函数，

求导得到单调性，最后参变分离得到a的取值范围即可.

【详解】由可得，，令，，

故在上单增，.令且，，当时，单增，

当或，单减.

又等价于，

当时，恒成立，；

当时，可得，即，；

当时，可得 ，又时，，.

综上，，故a的最大值是.

故答案为：.

四、解答题

17．设是等比数列，其前n项的和为，且.

(1)求的通项公式；

(2)若，求n的最小值.

【答案】(1)；

(2)6.

【分析】(1)根据等比数列的性质求出公比和首项，进而得出等比数列的通项公式；

(2)结合(1)，利用等比数列前n项求和法可得，根据题意列出不等式，结合解不等式即可.

【详解】(1)由题意得，设等比数列的公比为，

由，即，

得，又，所以，

故；

(2)由(1)知，，，

所以，

则，

因为，所以，

整理，得，又，

解得，所以n的最小值为6.

18．己知双曲线的离心率为e，点A的坐标是，O为坐标原点.

(1)若双曲线E的离心率，求实数m的取值范围；

(2)当时，设过点A的直线与双曲线的左支交于P，Q两个不同的点，线段的中点为M点，求的面积的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由离心率公式得出，进而解得实数m的取值范围；

（2）先得出双曲线E的方程，再联立直线和双曲线方程，利用韦达定理得出，再由的范围得出的取值范围.

【详解】(1)，

，，解得

(2)由（1）可知，，双曲线E的方程为

设，过点A的直线方程为

由可得

，

由，解得

故

19．已知函数.

(1)求函数的极值；

(2)试证明：.

【答案】(1)极小值为，无极大值.

(2)证明见解析

【分析】（1）利用导数判断单调性，根据极值的概念可求出极值；

（2）利用在上递增，得，利用对数知识变形可得.

【详解】(1)的定义域为，

，

令，得，所以在上递增，

令，得，所以在上递减，

所以当时，取得极小值，极小值为，无极大值.

(2)由（1）知，在上递增，

因为，所以，所以，所以，

所以，即，

所以，

所以，所以.

【点睛】关键点点睛：第二问中利用函数在为增函数，由进行求解是解题关键.

20．近两年，新冠疫情给人们的生活带来了极大的改变，各国的科学家对该病毒进行研究，取得了不错的进展.对新冠的研究，有病理上的研究和统计学上的研究.某统计学家对20000份核酸检测呈阳性的病人进行追踪统计，得到如下统计表：

由于统计的样本足够多，所以上述频率可以看成其发生的概率.

(1)用随机变量表示事件无症状，表示事件轻症状，表示事件重症状，表示事件病危，求随机变量X的分布列，并求其期望和方差；

(2)新冠疫苗的作用之一就是降低重症状和病危的概率，使得重症状人数的一半和病危人数的一半转化为轻症状者.某人在核酸普查中很遗憾地发现呈阳性，但幸运的是他曾经打过新冠疫苗，求他能被治愈的概率.

【答案】(1)分布列见解析；期望；方差

(2)

【分析】（1）分别计算出的概率，列出分布列，按照公式计算期望和方差即可；

（2）分别计算出该患者是病危患者、重症状患者、轻症状患者、无症状患者的概率，

再结合治愈率计算出被治愈的概率即可.

【详解】(1)由题意知：，，，，

故随机变量X的分布列为：

期望，

方差；

(2)由题意知：该患者是病危患者的概率为，是重症状患者的概率为，

是轻症状患者的概率为，是无症状患者的概率为，

所以他能被治愈的概率为.

21．已知函数.

(1)讨论函数的单调性；

(2)若，且满足，比较与0的大小并证明你的结论.

【答案】(1)时，单调递减，时，在上单调递减，在上单调递增

(2)证明见解析

【分析】（1）对函数求导，然后分及讨论导函数的正负性，即可得到单调性情况；

（2）依题意可得，，将所证的不等式转化为证明，再通过换元将问题转化为证明，构造函数求证

【详解】(1)函数的定义域为，，

当时，在上恒成立，故在上单调递减；

当时，在上恒成立，故在上单调递减递减；

当时，时，，单调递增；时，，单调递减；

综上，时，单调递减，时，在上单调递减，在上单调递增；

(2)证明：，不妨设，，，，则，又，要证，即证，即证，整理得，

，又，设，即证，

设，则恒成立，在上单调递减，则，，即

【点睛】关键点睛：解题的关键在于转化，进而把转化为，即证，最后化简，令，问题转化为证明，最后构造函数证明题中不等式成立，属于难题

22．已知椭圆的离心率为，分别是它的左､右焦点，且存在直线l，使得关于l的对称点恰好是某一个半径为2的圆的直径的两个端点.

(1)求椭圆E的方程；

(2)设直线与抛物线相交于A､B两点，射线､与椭圆E分别相交于M､N.试探究：是否存在数集D，当且仅当时，总存在实数m，使得点在以线段为直径的圆内？若存在，求出数集D并证明你的结论；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)

(2)存在数集,证明见解析

【分析】（1）根据题意可推得，根据离心率公式即可求得和的值，求得椭圆方程；

（2）联立直线的方程和抛物线方程，利用韦达定理，及向量数量积的坐标运算，代入即可求得答案．

【详解】(1)由题意，存在直线l，使得关于l的对称点恰好是某一个半径为2的圆的直径的两个端点.，根据对称性可得，

由，则，，

故椭圆的方程为；

(2)方程为，联立抛物线方程，

得，整理得，

则，则①，

设，，，，则，，

则 ，

由的坐标为，则，，，，

由与同向，与同向，

则点在以线段为直径的圆内，则，则，

则，即，

则即②，

当且仅当，即，

总存在使得②成立，

当时，由韦达定理可知的两个根为正数，

故使②成立的，从而满足①，

故存在数集，当且仅当时，总存在，使点在线段为直径的圆内．