2022届重庆市育才中学高三二诊模拟（二）数学试题含解析

2022届重庆市育才中学高三二诊模拟（二）数学试题

一、单选题

1．复数在复平面内对应的点的坐标为，为虚数单位，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据复数的几何意义可得，再利用复数的除法法则可求得复数.

【详解】由于复数在复平面内对应的点的坐标为，则，

所以，.

故选：C.

【点睛】本题考查复数的除法运算，同时也考查了复数的坐标表示，考查计算能力，属于基础题.

2．已知向量，，若，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据向量共线求出参数，从而求出的坐标，再根据向量模的坐标表示，计算可得.

【详解】因为，，且，

所以，解得，

所以，

所以

所以，

故选：D

3．若圆锥的表面积为，圆锥的高与母线长之比，则该圆锥的体积为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】依题意，算出底面半径和高即可.

【详解】由题意可知母线与圆锥底面的夹角为 ，

设底面半径为r，圆锥的高为h，母线长为l，则① ，

则圆锥的表面积为 ，将①代入，解得 ，

圆锥的体积为 ；

故选：A.

4．《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，雨水、惊蛰、春分、清明日影之和为三丈二尺，前七个节气日影之和为七丈三尺五寸，问立夏日影长为（       ）

A．七尺五寸 B．六尺五寸 C．五尺五寸 D．四尺五寸

【答案】D

【分析】利用等差数列的通项公式以及求和公式列出方程组，求出首项和公差，由此可求得立夏日影长.

【详解】从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，雨水、惊蛰、春分、清明日影之和为三丈二尺，前七个节气日影之和为七丈三尺五寸，

设十二节气第个节气的日影长为，则数列为等差数列，设其公差为，前项和为，

则，解得，

，因此，立夏日影长为四尺五寸.

故选：D.

【点睛】本题考查新文化中的等差数列问题，考查等差数列与前项和中基本量的计算，考查计算能力，属于基础题.

5．关于直线，有下列四个命题：

甲：直线经过点(0，-1)；

乙：直线经过点(1，0)；

丙：直线经过点(-1，1)；

丁：.

如果只有一个假命题，则该命题是（       ）

A．甲 B．乙 C．丙 D．丁

【答案】C

【分析】根据题意，分别假设甲、乙、丙为假命题，则其余三个命题为真命题，分析推理，即可得答案.

【详解】由题可知，命题甲､乙､丙中必有一个是假命题.

若甲为假命题，则由乙､丙为真命题可得，，，此时，与丁矛盾，故不成立；

若乙为假命题，则由甲､丙为真命题可得，，，此时，与丁矛盾，故不成立；

若丙为假命题，则由甲､乙为真命题可得，，，此时，丁也成立，满足题意，

所以假命题为丙，

故选：C.

6．有4名大学生志愿者参加2022年北京冬奥会志愿服务.冬奥会志愿者指挥部随机派这4名志愿者参加冰壶、短道速滑、花样滑冰3个项目比赛的志愿服务，则每个项目至少安排一名志愿者进行志愿服务的概率（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先将4人分成3组，其一组有2人，然后将3个项目进行排列，可求出每个项目至少安排一名志愿者进行志愿服务的方法数，再求出4名志愿者参加3个项目比赛的志愿服务的总方法数，再利用古典概型的概率公式求解即可

【详解】先将4人分成3组，其一组有2人，另外两组各1人，共有种分法，

然后将3个项目全排列，共有种排法，

所以每个项目至少安排一名志愿者进行志愿服务的方法数为种，

因为4名志愿者参加3个项目比赛的志愿服务的总方法数种，

所以每个项目至少安排一名志愿者进行志愿服务的概率为，

故选：D

7．已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，函数是奇函数，且当时，，则（       ）

A． B．6 C． D．7

【答案】D

【分析】先求出，再求出即得解.

【详解】由已知，函数与函数互为反函数，则．

由题设，当时，，则．

因为为奇函数，所以.

故选：D．

8．设a，b都为正数，e为自然对数的底数，若，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】把不等式进行变形，引入函数，由导数确定函数单调性，由单调性及不等关系得结论．

【详解】由已知，，则．

设，则．

因为，则．又，则，即，从而．

当时，，则在内单调递增，

所以，即，

故选：B．

二、多选题

9．若a＞b＞0＞c，则(       )

A． B． C． D．

【答案】ABD

【分析】利用作差法可判断AB，根据幂函数单调性可判断C，根据基本不等式可判断D.

【详解】A：，

∵，，

，，故A正确；

B：，

∵，∴，

，故B正确；

C：时，在单调递减，∵，故C错误；

D：∵a＞b＞0＞c，∴－c＞0，∴，∵a≠b，故等号取不到，故，故D正确.

故选：ABD.

10．下列说法正确的是（       ）

A．若事件A与B互相独立，且，则

B．设随机变量X服从正态分布.则

C．在回归分析中，对一组给定的样本数据而言，若残差平方和越大，则模型的拟合效果越差；反之，则模型的拟合效果越好

D．若随机变量服从二项分布，则

【答案】ACD

【分析】根据条件概率和事件的独立性即可判断选项A，正态分布可判断选项B，残差定义可判断选项C，二项分布的数学期望的公式可判断选项D.

【详解】若事件A与B互相独立，且，可得 则，故A正确；

随机变量X服从正态分布.可得，则，故B错误；

在回归分析中，对一组给定的样本数据而言，残差平方和越大，则模型的拟合效果越差；反之，则模型的拟合效果越好,故C正确；

若随机变量服从二项分布，则，，故D正确.

故选：ACD.

11．已知椭圆的左右焦点分别为、，长轴长为4，点在椭圆内部，点Q在椭圆上，则以下说法正确的是（       ）

A． B．当离心率为时，的最大值为

C．椭圆C离心率的取值范围为 D．存在点Q使得

【答案】AB

【分析】由题意知，根据椭圆定义可判断选项A与选项B，利用点在椭圆内部可得，即可判断选项C，由选项C知，，可判断选项D.

【详解】由长轴长为4，故，由点Q在椭圆上，根据椭圆的定义得，故A正确；

当离心率为时，可得，则的最大值为.故B正确；

点在椭圆内部，故，椭圆C离心率为，故选项C不正确；

由选项C知，

故不存在点Q使得，选项D错误.

故选：AB.

12．在矩形中，，沿对角线将矩形折成一个大小为的二面角，若，则下列各选项正确的是（       ）

A．四面体外接球的表面积为

B．点B与点D之间的距离为

C．四面体的体积为

D．异面直线与所成的角为

【答案】ACD

【分析】求出，即可判定 A正确；分别作，垂足为E，F，利用向量法求出，即可判定B错误；证明平面，求出，故C正确；利用向量法求出，所以异面直线与所成的角为，故D正确，

【详解】解：如图，因为和都是以为斜边的直角三角形，则为四面体外接球的直径．

因为，则，

所以四面体外接球的表面积为，故A正确；

分别作，垂足为E，F，则．

由已知可得，．因为，则

，所以，故B错误；

因为，

则．同理．又，平面，

则平面，所以，故C正确；

由已知可得，，，

则，则，得，

所以异面直线与所成的角为，故D正确，

故选：ACD．

三、填空题

13．设集合，则________.

【答案】

【分析】根据交集的定义求解即可.

【详解】解不等式 ，得 ，解得 ，

即 ， ；

故答案为： .

14．已知圆：，直线：(为参数)截圆的弦长为，则___________.

【答案】1

【分析】先求出圆心和半径，再求出圆心到直线的距离，再由弦长、弦心距和半径的关系列方程可求出的值.

【详解】解：由，得，则圆心，半径，

所以圆心到直线的距离，

因为直线：(为参数)截圆的弦长为，

所以，解得.

故答案为：1

15．已知抛物线的焦点为F，准线为l，过F的直线m与E交于A，B两点，的垂直平分线分别交l和x轴于P，Q两点.若，则__________.

【答案】

【分析】根据题意可得，由于对角线与垂直，得四边形是菱形，在由抛物线的定义即可得到为等边三角形，可得直线的方程，把直线和抛物线进行联立，进而求得答案.

【详解】垂直平分，，

在四边形中，对角线与垂直，

四边形是菱形，

由抛物线的定义可得：

故     

为等边三角形

故

故

故直线

故把直线与抛物线进行联立得，设 ，则

故答案为：.

四、双空题

16．电子计算机是二十世纪最伟大的发明之一，当之无愧地被认为是迄今为止由科学和技术所创造的最具影响力的现代工具，被广泛地应用于人们的工作与生活之中，计算机在进行数的计算和处理加工时，内部使用的是二进制计数制，简称二进制.一个十进制数可以表示成二进制数，即，其中.用表示十进制数n的二进制表示中1的个数，则________；对任意________（结果用r表示）.

【答案】     2    

【分析】根据题意可得，设，则使得的有个，即可得到答案.

【详解】

设，则使得的有个，故   

故答案为：2；.

五、解答题

17．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，sinA＝2sinB.

(1)若，求C；

(2)点D在边AB上，且AD＝c，证明：CD平分∠ACB.

【答案】(1)；

(2)证明见解析﹒

【分析】(1)根据正弦定理可知a＝2b，根据余弦定理可求cosC，由此即可求C；

(2)由正弦定理证明sin∠BCD＝sin∠ACD即可.

【详解】(1)由，

，∵C，∴；

(2)设∠BCD＝α，∠ACD＝β，

∵sinA＝2sinB，∴由正弦定理得a＝2b，

在中，由正弦定理得，，①

在中，由正弦定理得，，②

，a＝2b，

∴得，，∵0＜α、β＜，

，即平分.

18．2020年是我国全面建成小康社会和打赢脱贫攻坚战的收官之年，某省为了坚决打嬴脱贫攻坚战，在100个贫闲村中，用简单随机抽样的方法抽取15个进行脱贫验收调查，调查得到的样本数据，其中和分别表示第i个贫困村中贫闲户的年平均收入（单位：万元）和产业扶贫资金投入数量（单位：万元），并计算得到，，，，．

（1）试估计该省贫困村的贫困户年平均收入．

（2）根据样本数据，求该省贫困村中贫困户年平均收入与产业扶贫资金投入的相关系数．（精确到0.01）

（3）根据现有统计资料，各贫困村产业扶贫资金投入差异很大．为了确保完成脱贫攻坚战任务，准确地进行脱贫验收，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由．

附：相关系数，．

【答案】（1）1（万元）；（2）；（3）采用分层抽样，答案见解析．

【分析】（1）利用平均数的概念，结合已知数据，估计平均收入；

（2）根据相关系数公式，结合已知数据，求相关系数；

（3）由（2）所得相关系数可知平均收入与投入资金的正相关，结合分层抽样的特征，即可确定抽样方法.

【详解】（1）该省贫困村的贫困户年平均收入的估计值为（万元），

（2）样本的相关系数为．

（3）采用分层抽样，理由如下：由（2）知各地区贫困村的贫困户年平均收入与该村的产业投入资金有很强的正相关性，由于各贫困村产业扶贫资金投入差异很大，因此贫困村的贫困户年平均收入差异也很大，所以采用分层抽样的方法较好地保持了样本结构与总体结构得以执行，提高了样本的代表性，从而可以获得该省更准确的脱贫验收估计．

19．已知数列满足.

(1)求的通项公式；

(2)在和中插入个相同的数，构成一个新数列：，，，，，，，，，，…，求的前项和.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）令可求得；当时，可得，进而证得数列为等差数列，利用等差数列通项公式可求得结果；

（2）设和插入的个数构成一组数，则前组共有个数，由此可确定前项中包含前组数和第组数的前个，利用分组求和的方式求解即可.

【详解】(1)当时，，解得：；

当时，由得：，

两式作比可得：，整理可得：，

数列是以为首项，为公差的等差数列，；

(2)设和插入的个数构成一组数，则前组共有个数，

令，又，解得：；

当时，，

的前项中包含前组数和第组数的前个，

.

20．如图，在三棱锥中，，，，点O是AC的中点，点P在线段MC上，

(1)证明：平面ABC；

(2)若，直线AP与平面ABC所成的角为，求二面角的余弦值的大小

【答案】(1)证明见解析；

(2).

【分析】（1）连接BO，由给定条件证明，再由线面垂直的判断推理作答.

（2）在平面ABC内过O作，再以O为原点建立空间直角坐标系，借助空间向量计算作答.

【详解】(1)连接BO，如图，由，，得，而，，

在中，由余弦定理得：，

则有，有，即，因此，，

又，于是得，，即，

又有，平面ABC，

所以平面ABC.

(2)由（1）可得，平面平面ABC，AP在平面ABC内射影为AC，

即为直线AP与平面ABC所成的角，，

因，则点P为线段MC的中点，

在中，过O作交BC于D，则OD，OC，OM两两垂直，

以点O为原点，射线OD，OC，OM分别为x，y，z轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图，

不妨令，则，，，，，

，，

设平面PAB的法向量，则，令，得，

又平面ABC的法向量，则，

而二面角的平面角为锐角，

所以二面角的余弦值为.

21．已知函数，其中.

(1)讨论函数的单调性；

(2)证明：是函数存在最小值的充分而不必要条件.

【答案】(1)答案见解析；

(2)证明见解析.

【分析】（1）求得，并对参数的值进行分类讨论，即可求得不同情况下函数的单调性；

（2）根据（1）中所求函数单调性，从充分性和必要性的角度进行证明即可.

【详解】(1)由题：函数的定义域为R；.

1°时，在上单调递减；

2°时，在单调递减；在单调递增；

3°时，在单调递减；在单调递增.

(2)由（1）可知，当时，的变化情况如下表：

所以，时，的极小值为.

又时，，

所以，当时，恒成立.

所以，为的最小值.

故是函数存在最小值的充分条件.

又当时，的变化情况如下表：

因为当时，，又，

所以，当时，函数也存在最小值所以，

故不是函数存在最小值的必要条件.

综上，是函数存在最小值的充分而不必要条件.

【点睛】本题考查利用导数研究含参函数的单调性，以及利用导数研究函数的最值，其中解决第二问的关键是要正确区分最小值和极小值之间的关系，属综合困难题.

22．已知双曲线：过点，且的渐近线方程为.

(1)求的方程；

(2)如图，过原点O作互相垂直的直线，分别交双曲线于A，B两点和C，D两点，A，D在x轴同侧.请从①②两个问题中任选一个作答，如果多选，则按所选的第一个计分.

①求四边形ACBD面积的取值范围；

②设直线AD与两渐近线分别交于M，N两点，是否存在直线AD使M，N为线段AD的三等分点，若存在，求出直线AD的方程；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)

(2)若选①，；若选②，直线AD不存在.

【分析】（1）求出后可得双曲线的方程.

（2）若选①，设，，联立直线方程和双曲线方程后可求四边形面积的平方的表达式，从而可求其取值范围；若选②，可得设，其中，则可求的坐标，利用它们在双曲线上及可得关于的方程组，根据方程组无解可得直线不存在.

【详解】(1)因为双曲线的渐近线方程为，故，又，

解得，故双曲线的方程为：.

(2)若选①，

由题设可知直线，的斜率均存在且均不为零，设，，

设，则可得，其中.

同理，其中，故或，

故，同理，

故四边形ACBD的面积满足：

，

令，则，

当或时，；

当或时，；

故在，上为增函数，在，上为减函数，

故当或时，或，

所以，故即.

若选②，

先考虑在轴上方，且在第一象限，在第二象限，

设，其中，若M，N为线段AD的三等分点，

则可得，

故，同理，

所以，整理得，

而，故，

故，

整理得到，

故无解，

故满足条件的直线不存在，

由双曲线的对称性可得直线不存在.