2022届重庆市西南大学附属中学校高三全真模拟（一）数学试题含解析

2022届重庆市西南大学附属中学校高三全真模拟（一）数学试题

一、单选题

1．已知集合，，且，则实数a的所有值构成的集合是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据，对进行分类讨论，由此求得的所有值构成的集合.

【详解】，

当时，，满足，只有D选项符合.

当时，，

要使，则或或，即或或，

所以实数a的所有值构成的集合是.

故选：D

2．直线与椭圆相交于A，B两点，设O为坐标原点，则“”是“的面积为”的（       ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】由题知直线过椭圆的上顶点，进而得当直线过点或时，的面积为，此时或，再根据充分条件与必要条件的概念判断即可.

【详解】解：由椭圆方程得其顶点坐标为，

由直线方程知直线过点，

所以当点或时，的面积为，此时或，

所以“”是“的面积为”的充分不必要条件，

故选：A

3．欧拉是世纪最伟大的数学家之一，在很多领域中都有杰出的贡献．由《物理世界》发起的一项调查表明，人们把欧拉恒等式“”与麦克斯韦方程组并称为“史上最伟大的公式”．其中，欧拉恒等式是欧拉公式：的一种特殊情况．根据欧拉公式，（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】化简复数，利用复数的模长公式可求得结果.

【详解】，

因此，.

故选：C.

4．已知一直角梯形纸片上、下底边边长分别为、，高为，该纸片绕着下底边所在直线旋转，则该纸片扫过的区域形成的几何体的体积为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据旋转体特点可知旋转一周后得到一个圆柱和两个圆锥，根据圆柱和圆锥体积公式计算可得旋转一周所得组合体体积，则所求体积为.

【详解】该纸片绕着下底边所在直线旋转一周所得几何体是一个底面半径为，高为的圆柱和两个底面半径为，高为的圆锥构成的组合体，

则旋转一周所得组合体的体积，

若旋转，得到几何体体积为.

故选：B.

5．北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”以熊猫为原型进行创作，意喻敦厚、健康、活泼、可爱；北京冬残奥会吉祥物“雪容融”以灯笼为原型进行设计，表达了世界文明交流互鉴，和谐发展理念．两者一经发布，深受大家喜爱．某校为了加强学生对体育的热情，委派小刘、小陈、小赵、小孙、小王、小航人将这两个吉祥物组装安放至操场，每个吉祥物组装安放至少需要两人，每人都必须前往组装安放，但小陈和小王不能组装安放同一个吉祥物，则不同的方案共有（       ）种．

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先分类成两种情况：四人一组和两人一组以及三人一组和三人一组，然后根据计数原理求解即可.

【详解】由题意可以分为两种情况：

第一种：四人一组和两人一组，共有；

第二种：三人一组和三人一组，共有；

所以不同的方案一共有：.

故选：B.

6．函数满足，，当时，，则关于x的方程在上的解的个数是（       ）

A．1010 B．1011 C．1012 D．1013

【答案】B

【分析】根据题意，函数关于点对称，直线对称，进而作出函数图像，易得为周期函数，周期为，再结合指数函数图像与周期函数性质，数形结合求解即可.

【详解】解：因为函数满足，所以函数关于点对称，

因为，即，所以函数关于直线对称，

因为当时，，

所以，结合函数性质，作出函数图像，如图所示：   

由图可知，函数为周期函数，周期为，

由于函数一个周期内，与有2个交点，

在上，与有1个交点，

所以根据函数周期性可知，当时，与有个交点.

所以关于x的方程在上的解的个数是个.

故选：B

7．设，，，则a，b，c的大小关系是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】由题知，，，进而构造函数，研究函数单调性，利用单调性比较大小.

【详解】解：因为，，，

所以，令，，

所以当时，，函数单调减，

因为，所以，即.

故选：A

8．已知，分别为椭圆的左、右焦点，点P在第一象限内，，G为重心，且满足，线段交椭圆C于点M，若，则椭圆C的离心率为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】由和G为重心判断出，再利用求出，

借助椭圆定义求出，最后勾股定理建立等式解出离心率即可.

【详解】

如图，连接并延长交于，连接.由得，

即，所以，又G为重心，所以是等腰三角形，，

由得，，又由椭圆定义.

，即，化简得，故离心率为.

故选：B.

二、多选题

9．一组互不相同的样本数据的平均数为，若在这组样本数据中增加一个新的数据，得到一组新的样本数据，则（       ）

A．两组样本数据的平均数相同

B．两组样本数据的方差相同

C．两组样本数据的极差相同

D．两组样本数据的中位数相同

【答案】AC

【分析】利用平均数公式可判断A选项；利用方差公式可判断B选项；利用极差的定义可判断C选项；利用中位数的定义可判断D选项.

【详解】由已知可得.

对于A选项，新数据的平均数为，与原数据的平均数相等，A对；

对于B选项，新数据的方差为

，B错；

对于C选项，不妨设，则，故新数据的极差仍为，C对.

对于D选项，不妨设，

当n为奇数时，则原数据的中位数为，

若，则中位数为，

若，则中位数为，

当n为偶数时，则原数据的中位数为

若，则中位数为，

若，则中位数为，

D错；

故选：AC.

10．正方体表面正方形的对角线中存在异面直线．如果其中两条异面直线的距离为，那么正方体的体积可能是（       ）

A． B． C． D．

【答案】AD

【分析】当两条异面直线位于正方体相对面时，知两异面直线间距离即为正方体棱长，由此可得正方体体积；当两条异面直线位于正方体相邻面时，利用体积桥可构造方程取得正方体棱长，由此可得正方体体积.

【详解】

①若两条异面直线位于正方体相对面上，如图中与，则两异面直线之间的距离即为正方体的棱长，

正方体的棱长为，正方体的体积为；

②若两条异面直线位于正方体相邻面上，如图中与，

，平面，平面，平面，

则异面直线与之间距离即为到平面的距离；

设正方体的棱长为，则，，

，，解得：，

正方体的体积为；

综上所述：正方体的体积为或.

故选：AD.

11．已知，，，且，则（       ）

A．若，则

B．若，则

C．，可能是方程的两根

D．

【答案】ABD

【分析】A. 利用平方关系求解判断； B.利用诱导公式求解判断； C.利用角的范围判断； D.利用两角和的正切公式求解判断.

【详解】A. 由，，且 ，所以，所以故正确；

B. 因为，且，且，所以，故正确；

C.若，可能是方程的两根，则，，

因为，，所以，所以，又，，故错误；

D.，

，

，

，

，故正确；

故选：ABD

12．已知，则下列结论正确的是（       ）

A．若，，则

B．与都是正整数

C．是的小数部分

D．设，，则

【答案】ACD

【分析】利用展开式得到和，则知A正确；通过验证的情况知B错误；

由，结合展开式进行化简整理证得为正整数，从而可得C正确；

分别在为奇数和为偶数的情况下得到和，从而配凑出为偶数时，为奇数时，，利用平方差公式计算可知D正确.

【详解】对于A，，

当时，展开式通项为，

，，

，A正确；

对于B，，不妨令，

则，不是正整数，B错误；

对于C，，

为正整数，

为正整数，

又，，

是的小数部分，C正确；

对于D，，展开式通项为；

当为偶数时，，

，

，

，即，

；

当为奇数时，，

，

，

，即，

；

综上所述：成立，D正确.

故选：ACD.

【点睛】关键点点睛：本题考查二项式定理相关知识的求解，验证C选项的关键是能够对于的展开式进行配凑变形，从而证得为正数，再结合两个部分的范围得到结论；验证D选项的关键是能够分别在为奇数和偶数时，得到的形式，从而利用平方差公式来进行证明.

三、填空题

13．函数在处取得极值10，则___________.

【答案】

【分析】由在处取得极值10，求得解得或，再结合函数的极值的概念进行检验，即可求解.

【详解】由题意，函数，可得，

因为在处取得极值10，可得，

解得或，

检验知，当时，可得，

此时函数单调递增，函数为极值点，不符合题意，（舍去）；

当时，可得，

当或时，，单调递增；

当时，，单调递减，

当时，函数取得极小值，符合题意.

所以.

故答案为：.

【点睛】解决函数极值、最值综合问题的策略：

1、求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小；

2、求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过比较才能下结论；

3、函数在给定闭区间上存在极值，一般要将极值与端点值进行比较才能确定最值.

14．设向量，满足，，且．若向量与的夹角为钝角，则实数m的取值范围是________．

【答案】

【分析】根据向量与的夹角为钝角可以得到这两个向量的数量积为负，以及与不反向共线，可求出结果.

【详解】由题设可得：，

因为向量与的夹角为钝角，

所以且与不反向共线，

可得：，

所以，解得，

若向量与反向共线时，存在实数，使得成立，

可得，解得：（正解舍），

所以与不反向共线，，

综上所述，

故答案为：.

15．用1，2，3，4，5排成一个没有重复数字的五位数，使得任意两个相邻数字之差的绝对值至少是2．则这样的五位数有__________个．

【答案】14

【分析】根据题意，考虑按中间一数的取值分类求解即可.

【详解】考虑按中间一数分类：

（1）若，则2与4在同侧，3与5在同侧，有4种排列：；

（2）若，则1与4在同侧，3与5在同侧，有2种排列：；

（3）若，则1与4在同侧，2与5在同侧，有2种排列：；

（4）据对称性，与（1）相同，有4种排列；与（2）相同，有2种排列.

因此，这样的五位数总共有14个.

故答案为：.

16．两个半径都是1的球和球相切，且它们均与60°的二面角的两个半平面相切.另有一个更大的球和该二面角的两个半平面也都相切，同时与球和球相外切.那么，球的半径=______.

【答案】

【详解】

如图，易知三个球的球心均在二面角的平分面上.

设球与面分别切于点，球与面分别切于点.

作于点，于点.则，，.

从而，.

联结交于点，则为球与球的切点，

且.

在中，，即.

解得.

因为，所以，.

四、解答题

17．数列满足：，．

(1)求数列的通项公式；

(2)设，为数列的前n项和，若恒成立，求实数m的取值范围．

【答案】(1)，

(2)或

【分析】（1）根据递推关系得，再验证满足条件即可求得答案；

（2）由（1）知，，再结合裂项求和与数列的单调性得，再解不等式即可.

【详解】(1)解：当，，①

，，②

①－②得（）

在①中令，得，也满足（），所以，，

(2)解：由（1）知，，

故，

于是，

因为随n的增大而增大，

所以，解得或

所以实数m的取值范围是或.

18．2009年6月28日，由上海唐人电影制作有限公司出品，根据国产单机游戏改编的同名古装玄幻电视剧《仙剑奇侠传三》在台州三套公共财富频道全国首播，那个暑假，景天、雪见、紫萱、徐长卿、重楼等主角深深刻在大家的脑海中．剧中的紫萱是女娲后人，本体为蛇．追求她的徐长卿和重楼本为两种药材名，都对治疗蛇毒有奇效，只是徐长卿的效果更好．某药材批发商欲购进徐长卿与重楼两种药材，已知该药材批发商每年只购进其中一种，购买徐长卿和重楼的概率分别为和，购买两种药材之间相互独立．

(1)求该药材批发商从2019年至2022年中至少有两年购进徐长卿的概率；

(2)近年来，随着重楼的药用潜力被不断开发，野生的重楼资源已经满足不了市场的需求，越来越多的人开始“家种”重楼，某单位统计了近几年家种重楼年产量y（单位：吨），统计结果如图所示．根据表中的统计数据，求出y关于x的线性回归方程；

(3)根据（2）中所求方程，预测2022年家种重楼的产量.

附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．

【答案】(1)0.8208

(2)

(3)805吨

【分析】（1）由独立重复试验的概率公式直接计算可得；

（2）根据最小二乘法相关公式，由表格数据直接计算可得；

（3）将2022年的年份代码代入回归方程可得.

【详解】(1)2019至2022年共4年，设至少有两年购进徐长卿为事件A，

则．

(2)由表格数据，得，

，

，

则，

所以．

所以y关于x的线性回归方程为．

(3)由题可知，2022年的年份代码为9，即，

将代入回归方程，得，

所以预测2022年家种重楼的年产量为805吨

19．在中，角，，对边分别为，，，已知，且．

(1)求角；

(2)若为中点，求的最大值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）将式子化成，再用正弦定理

边化角得到，化简整理即可求解；

（2）先得到，再转化成，然后代入边长利用基本不等式求最值即可.

【详解】(1)因为，即，

又因为，故，

由正弦定理，有

即，

因为，所以，

因为，故．

(2)因为为中点，所以，

于是，

又因为，所以．

故，当且仅当时成立，故，

所以．

20．已知函数.

（1）当时，求的单调区间；

（2）若是的极大值点，求a的取值范围.

【答案】（1）在和上单调递增，在上单调递减；（2）.

【分析】(1)将代入，求出函数解析式，进而利用导数法，可求出函数的单调区间；

(2)求导后对讨论，判定单调性结合是的极大值点，可得a的取值范围.

【详解】（1）当时，，，

得或 ，得，

在和上单调递增，在上单调递减；

（2），当时，，

故，在上单减，

在上单增，为极小值点，不合题意；

当时，由得或，

是极大值点，

，即，

故.

【点睛】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调区间，利用导数研究函数极大值，掌握利用导函数研究函数的性质是解题的关键，考查学生的分析问题解决问题的能力，是中档题.

21．如图，在三棱柱中，，，，，，D为AC中点，．

(1)求证：；

(2)线段上是否存在一点E，使得AE与面的夹角的正弦值为？若存在，求出E点的位置；若不存在，请说明理由．

【答案】(1)证明见解析

(2)存在，E为线段上靠近的三等分点

【分析】（1）通过线面垂直证明线线垂直，可证平面．

（2）假设存在，建系后由空间向量列方程求解

【详解】(1)因为，且D为AC中点，所以．

又因为，所以．

由余弦定理，，解得．

因为，由勾股定理知，．

又因为，所以平面．

因为平面，所以．

(2)

过点D作，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，如图，

在三棱柱中，，，，

，

又，

解得．

设平面的一个法向量为，

则，即．

令，解得平面的一个法向量为．

设AE与面的夹角为，则，

解得或（舍）

综上，E为线段上靠近的三等分点．

22．在平面直角坐标系中，一条动直线l与双曲线的左支、右支分别交于点A，B，与双曲线的上支交于点C，D，点C在A，D之间．

(1)证明：；

(2)若C，D为AB的三等分点，求直线l与点的距离的最小值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）设，且．设点A，C，D，B的横坐标分别为，，，（）．分别与双曲线方程联立，证明即可；

（2）由，得到，从而得到，由直线l与点的距离为，令，用导数法求解.

【详解】(1)设，由题意知．

设点A，C，D，B的横坐标分别为，，，（）．

由题意知：，满足方程，

即，①

，满足方程，

即，②．

则，

故，

所以．

(2)由，满足得，

，

由题意知：，等价于．

则，即，

又，所以，

故，．

所以直线l与点的距离为，

令，则．

．

故当时，；当时，．

因此当且仅当时，即直线时，

取到最小值．