2022届江西省南昌市第二中学等十五所名校高三下学期第一次模拟考数学（理）试题含解析

这是一份2022届江西省南昌市第二中学等十五所名校高三下学期第一次模拟考数学（理）试题含解析，共22页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022届江西省南昌市第二中学等十五所名校高三下学期第一次模拟考数学（理）试题一、单选题1．已知复数，则下列说法正确的是（       ）A．复数z的实部为3 B．复数z的模为5C．复数z的虚部为 D．复数z的共轭复数为【答案】D【分析】运用复数的运算法则化简复数，从而得到复数的实部，虚部，模长和共轭复数.【详解】因为，故复数z的实部为．A错误；．B错误；z的虚部为，C错误；复数z的共轭复数为，D正确．故选：D．2．设全集，集合，集合，则是（       ）A． B．C． D．【答案】C【分析】求出不等式，得到，，进而求出交集.【详解】，解得：，故集合，，解得：，集合，则，故选：C．3．等差数列中，，其前n项和为，则（       ）A．33 B．78 C．99 D．66【答案】B【分析】设等差数列的公差为d，由等差数列的通项公式求得，再运用等差数列的求和公式计算可得选项.【详解】设等差数列的公差为d，因为，所以，整理得，所以.故选：B．4．“”是“直线与直线平行”的（       ）A．充要条件 B．必要不充分条件C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据两直线平行求得m的值，由此确定充分、必要条件.【详解】“直线与直线平行”因为，所以直线，直线，与平行，故充分条件成立；当直线与直线平行时，，解得或，当时，直线与直线重合，当时，直线，直线平行，故充要条件成立．故选：A．5．我国人口老龄化加剧，出现劳动人口不断减少，生育率降低等问题．为了缓解人口压力，我国陆续开放二胎、三胎政策．为了解户籍和性别对生育多胎（二胎或三胎）选择倾向的影响，某地从育龄人群中随机抽取了容量为100的调查样本，其中城镇户籍与农村户籍各50人；男性60人，女性40人．绘制不同群体中倾向选择生育多胎与倾向选择不生育多胎的人数比例图（如图所示），其中阴影部分表示倾向选择生育多胎的对应比例，则下列叙述中正确的是（       ）A．是否倾向选择生育多胎与户籍无关B．是否倾向选择生育多胎与性别有关C．倾向选择生育多胎的人员中，男性人数与女性人数相同D．倾向选择不生育多胎的人员中，农村户籍人数少于城镇户籍人数【答案】D【分析】利用比例图，逐项分析即得.【详解】城镇户籍倾向选择生育多胎的比例为40%，农村户籍倾向选择生育二胎的比例80%，∴是否倾向选择生育多胎与户籍有关，故A错误；男性倾向选择生育多胎的比例为60%，女性倾向选择生育二胎的比例为60%，∴是否倾向选择生育多胎与性别无关，故B错误；男性倾向选择生育多胎的比例为60%，人数为人，女性倾向选择生育多胎的比例为60%，人数为人，∴倾向选择生育多胎的人员中，男性人数比女性人数多，故C错误；倾向选择不生育多胎的人员中，农村户籍人数为人，城镇户籍人数为人，∴倾向选择不生育多胎的人员中，农村户籍人数少于城镇户籍人数，故D正确．故选：D．6．已知动点满足不等式组，则的最小值为（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】先画出可行区域，再判断的最小值即可.【详解】动点的可行域如图阴影部分所示，由于，的最小值为原点O到直线距离．，故选：B．7．用四种颜色给正四棱锥的五个顶点涂色，要求每个顶点涂一种颜色，且每条棱的两个顶点涂不同颜色，则不同的涂法有（       ）A．72种 B．36种 C．12种 D．60种【答案】A【分析】列出表格，使用分类加法，分步乘法公式进行计算.【详解】如下表顶点VABCD种数432C与A同色12C与A不同色11总计故选：A．8．已知双曲线的左、右焦点分别为，，双曲线C上一点P到x轴的距离为c，且，则双曲线C的离心率为（       ）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用建立关于的齐次方程即可求出离心率.【详解】作轴于M，依题意，，则，则为等腰直角三角形，令，则，由双曲线定义知．而，在中，，解得：，双曲线离心率，则．故选：C．9．已知函数是奇函数．若将曲线向左平移个单位长度后，再向上平移个单位长度得到曲线，若关于x的方程在有两个不相等实根，则实数m的取值范围是（       ）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用奇偶性可得，通过图像变换得出，根据正弦函数对称性得出且，通过求出此时的值域即可得出结果.【详解】因为函数是奇函数，所以，解得，即，则，向左平移个单位长度后，得到，向上平移个单位长度，得到，当时，，结合正弦函数对称性可知，在有两个不相等实根，则且，此时，实数m的取值范围是.故选：C．10．向量的运算包含点乘和叉乘，其中点乘就是大家熟悉的向量的数量积．现定义向量的叉乘：给定两个不共线的空间向量与，规定：①为同时与，垂直的向量；②，，三个向量构成右手系（如图1）；③；④若，，则，其中．如图2，在长方体中，，，则下列结论正确的是（       ）A．B．C．D．长方体的体积【答案】C【分析】利用向量的叉乘的定义逐项分析即得.【详解】解法一：同时与，垂直；，，三个向量构成右手系，且，所以选项A错误；根据右手系知：与反向，所以，故选项B错误；因为，且与同向共线；又因为，且与同向共线，，与同向共线，所以，且与同向共线，，故选项C正确；因为长方体的体积为．又因为由右手系知向量方向垂直底面向上，与反向，所以，故选项D错误；故选：C．解法二：如图建立空间直角坐标系：，，，则，所以选项A错误；，则，故选项D错误；，故选项B错误；，则，，，则．所以，故选项C正确；故选：C．11．已知定义为R的奇函数满足：，若方程在上恰有三个根，则实数k的取值范围是（       ）A． B．C． D．【答案】D【分析】由题可知直线与函数的图象有三个交点．利用导数研究函数的性质，利用数形结合可得.【详解】方程在上恰有三个根，即直线与函数的图象有三个交点．由是R上的奇函数，则．当时，，则，当时，；当时，，所以在上递减，在上递增．结合奇函数的对称性和“周期现象”得在上的图象如下：由于直线过定点．如图连接A，两点作直线，过点A作的切线，设切点．其中，，则斜率，切线过点．则，即，则，当直线绕点在与之间旋转时，直线与函数在上的图象有三个交点，故．故选：D．【点睛】利用导数研究零点问题：（1）确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可用导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象；（2）方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理.可以通过构造函数的方法，把问题转化为研究构造的函数的零点问题；（3）利用导数硏究函数零点或方程根，通常有三种思路：①利用最值或极值研究；②利用数形结合思想研究；③构造辅助函数硏究.12．在三棱锥中，为正三角形，，，E为AB的中点，F为PC的中点，，，则三棱锥外接球的表面积为（       ）A． B．C． D．【答案】B【分析】先利用题目给出的边长证明和，进而得到平面PAB，然后将三棱锥补全为正三棱柱，再求外接球的表面积即可.【详解】如图，在中，设，，，则，所以，即，，E为AB中点，则，则，因此平面PAB．如图将三棱锥补全为正三棱柱，即求正三棱柱外接球的表面积．底面正三角形外接圆半径r满足：，则．三棱锥外接球半径．.故选：B． 二、填空题13．已知是的极值点，则______．【答案】1【分析】利用导数与极值点的关系即得.【详解】由题可得，由于是的极值点，则，故，经检验适合题意．故答案为：1.14．的展开式中的常数项为_________.【答案】10【分析】利用二项式定理求通项公式，求出与，从而求出常数项【详解】的展开式的第项为，当时，，此时，当时，，此时，∴常数项为.故答案为：1015．已知抛物线的准线为，点在抛物线上，于点，与抛物线的焦点不重合，且，，则______．【答案】【分析】设抛物线的焦点为，根据,及，并利用抛物线的定义得到为正三角形，从而得到点的坐标，将其代入抛物线方程，解方程即可求解．【详解】如图所示，设抛物线的焦点为，连接，由抛物线的定义知，因为，所以，又由及，得，所以为正三角形， 可得，所以点的坐标为， 代入抛物线，可得，即，解得或（舍去）．故答案为：16．如图，在中，D是AC边上一点，且，为直线AB上一点列，满足：，且，则数列的前n项和______．【答案】【分析】利用向量的线性运算平面向量基本定理可得，令，进而可得为等比数列，再利用求和公式即得.【详解】由于D是AC边上一点，且，则，由于为直线AB上一点列，则．因为，则，故，整理，即，故，令，则，即，因此，，所以为等比数列，，则，故．故答案为：【点睛】关键点点睛：本题的关键是由，的变形，然后构造数列，进而可得数列的通项，利用求和公式可求. 三、解答题17．第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月在北京隆重开幕，这是继2008年北京成功举办夏季奥运会后，再次举办奥运盛会，中国举办冬季奥运会，大大激发了国人对冰雪运动的关注，为了解某城市居民对冰雪运动的关注情况，现随机抽取该市50人进行调查统计，得到如下列联表， 关注冰雪运动不关注冰雪运动合计男25530女101020合计351550(1)是否有99%的把握认为“关注冰雪运动与性别有关”？(2)此次冬奥会共设七个大项，其中滑雪、雪车、雪橇、冬季两项（滑雪加射击两者相结合）四项为雪上运动项目，滑冰、冰球、冰壶三项为冰上运动项目．小明想从中挑选三个大项观看比赛，设挑选的这三个大项中含冰上运动项目的数量为X，求X的分布列与数学期望．参考公式，其中．附表0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828【答案】(1)没有99%的把握认为“关注冰雪运动与性别有关”；(2)分布列见解析，.【分析】（1）利用公式计算即得；（2）利用超几何分布可得X的分布列与数学期望.【详解】(1)，故没有99%的把握认为“关注冰雪运动与性别有关”．(2)由题可知X的所有可能取值为：0，1，2，3．；；；．X的分布列为：X0123PX的数学期望．18．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．(1)若，且，求；(2)若，D是边AC上一点，，，且．求BD的长．【答案】(1)(2)【分析】（1）先利用正弦定理把边化成正弦，再借助正弦和角公式即可求解；（2）借助正弦定理求出角A，C，再借助余弦定理求出BD的长.【详解】(1)，所以，故．(2)方法一：，，则，，，，则，即，在中，，则．故，则．在中，，则．方法二：设，则．所以，则，则，因为，则，故．，，则，．设，则．在中，，则．故．又，则，因此．19．在四棱锥中，底面ABCD为正方形，G为线段PC上一点，若平面平面．(1)若G为线段PC的中点，求证：．(2)若平面平面ABCD，为等边三角形，若二面角的余弦值，求的值．【答案】(1)证明见解析；(2).【分析】（1）利用线面平行的判定定理及性质定理即证；（2）利用坐标法即求.【详解】(1)连AC交BD于点E，连EG．因为底面ABCD为正方形，则E为AC中点，又G为线段PC的中点，则，又平面BDG且平面BDG，所以平面BDG，因为平面PAD且平面平面，所以．(2)取AD中点O，连PO，为等边三角形，则又平面平面ABCD，平面平面，平面PAD，则平面ABCD．如图建立直角坐标系，设，则，，，，令，则．，，．设平面PBD的法向量，则，令，则，．即．设平面GBD的法向量，则令，则，，即．则，解得，（舍），即．20．设椭圆，点，为E的左、右焦点，椭圆的离心率，点在椭圆E上．(1)求椭圆E的方程；(2)M是直线上任意一点，过M作椭圆E的两条切线MA，MB，（A，B为切点）．①求证：；②求面积的最小值．【答案】(1)；(2)①证明见解析；②.【分析】（1）由题得，即得；（2）由题可得在点，处的切线方程，进而可得直线AB方程，再利用斜率关系即证，联立直线AB方程，与椭圆方程，利用韦达定理可得，再通过换元，利用函数的性质可求.【详解】(1)由题可得，，解得∴椭圆E的标准方程为．(2)①先求在椭圆上一点的切线方程，设椭圆上一点为，切线方程为，联立方程组，可得，∴，∴，即，∴，故切线方程为，即，设，，．椭圆E在点的切线AM的方程为：，在点处的切线BM方程为：．又直线AM，BM过点，即，即，故点，，在直线上，故直线AB方程为：，当，即时，直线AB方程为：，则．当时，直线AB方程为：．右焦点，则，所以，即．②直线AB方程为：与椭圆E联立得；，，，令，，则在上单调递增，所以当时，取最小值．21．已知函数．(1)当时，判断并证明在上的单调性；(2)若在内无极值，求a的取值范围．【答案】(1)在上单调递减，证明见解析；(2).【分析】（1）由题可得，利用导数可得在上恒成立，即得；（2）由题可知，当时，可得函数单调递减，即得，当时，则在上恒成立，然后证时，在上恒成立，即得.【详解】(1)由题知，，令，则在上恒成立，则在上的单调递减，则，所以在上恒成立．即在上单调递减．(2)由题可得，令，①当时，在上恒成立．即在上恒成立，则在内单调递减，所以在内无极值．②当时，在内无极值，则或在上恒成立．，，由开口向上的二次函数图象可知，必存在，使得，故．所以在内无极值，则在上恒成立．即在上恒成立．故，则，下证；当时，在上恒成立．，令，，（i）当时，在上恒成立，在上单调递增，则，故在上恒成立．（ii）当时，，则方程在内存在两个根，，当或时，，当时，．则在和上单调递增，在上单调递减，则，，且，所以当时，，当时，，所以在内单调递增，在内单调递减，则当时，，当时，，即在上恒成立，故在上恒成立．综合（i）（ii）得在上恒成立．综合①②得a的取值范围为．【点睛】关键点点睛：本题第二问转化为证或在上恒成立，当时，关键是当时，在上恒成立．22．平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为，（为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，射线l的极坐标方程为，将射线l绕点逆时针旋转后，得到射线，若射线l，分别与曲线C相交于点A，点B．(1)求曲线C的极坐标方程；(2)求的最小值．【答案】(1)；(2).【分析】（1）消去参数可得曲线C的直角坐标方程为：，进而可得曲线C的极坐标方程；（2）由题可设，，然后利用三角函数的性质即得.【详解】(1)曲线C的参数方程为，（为参数），则曲线C的直角坐标方程为：．所以曲线C的极坐标方程为，即；(2)设A、B两点极坐标方程分别为，，，当，即时，取最小值．23．（1）求不等式的解集；（2）已知，，，且，求的最小值．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）利用零点讨论法求解绝对值不等式；（2）变形后利用基本不等式进行求解.【详解】（1）①当时，，则；②当时，，则；③当时，恒成立，则．综合①②③得不等式的解集为．（2）因为，则，∴，，，，则，，所以，当即时，等号成立．即，故的最小值为．