2022届黑龙江省哈尔滨市第六中学校高三下学期第一次模拟考试数学（文）试题含解析

2022届黑龙江省哈尔滨市第六中学校高三下学期第一次模拟考试数学（文）试题

一、单选题

1．已知集合，，则集合中元素的个数为（       ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】A

【分析】利用交集的概念得出，从而得到集合元素个数．

【详解】∵集合，，

即集合中共有2个元素．

故选：A．

2．已知复数z满足（i为虚数单位），则复数在复平面内对应的点所在的象限为（       ）

A．第二象限 B．第三象限 C．第四象限 D．第一象限

【答案】B

【分析】根据复数运算公式求得z，结合复数的几何意义可得.

【详解】由得，，∴复数在复平面内对应的点为，复数在复平面内对应的点所在的象限为第三象限.

故选：B.

3．若椭圆上一点A到焦点的距离为2，则点A到焦点的距离为（       ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】D

【分析】利用椭圆的定义有，结合已知即可求A到焦点的距离.

【详解】由椭圆方程知：.根据椭圆的定义有.

因为，

所以.

故选：D

4．已知某圆柱的高为，体积为，则该圆柱外接球的表面积为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】计算出圆柱底面圆的半径，利用几何关系可求得外接球的半径，结合球体表面公式可求得结果.

【详解】设圆柱底面圆的半径为，则，解得．

设该圆柱的两底面中心分别为、，则该圆柱外接球的球心为线段的中点，

球的半径为，故球的表面积．

故选：B.

5．清华大学通过专业化、精细化、信息化和国际化的就业指导工作，引导学生把个人职业生涯发展同国家社会需要紧密结合，鼓励学生到祖国最需要的地方建功立业．年该校毕业生中，有本科生人，硕士生人，博士生人，毕业生总体充分实现就业，就业地域分布更趋均匀合理，实现毕业生就业率保持高位和就业质量稳步提升．根据如图，下列说法不正确的是（        ）

A．博士生有超过一半的毕业生选择在北京就业

B．毕业生总人数超半数选择在北京以外的单位就业

C．到四川省就业的硕士毕业生人数比到该省就业的博士毕业生人数多

D．到浙江省就业的毕业生人数占毕业生总人数的

【答案】D

【分析】理解题意，根据图中所给出的数据进行逐一排除即可.

【详解】A：博士生毕业生选择在北京就业的比例达到，超过一半，A正确；

B：留在北京就业的人数博士生接近一半，而本科生与硕士生则明显低于一半，所有显然总人数超半数选择在北京以外的单位就业，B正确；

C：到四川省就业的硕士毕业生人数为，而到四川省就业的博士毕业生人数为，故硕士生更多，C正确；

D：图表中显示，然而本科生、硕士生、博士生人数并不是一样多，所以D必不正确.

故选：D

6．已知，且，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】利用二倍角公式化简方程，解方程可得，进而可得，然后利用诱导公式即可判断.

【详解】∵，，

∴，即，

∴或（舍去），

∴，，，，.

故选：A.

7．已知函数在区间上单调递减，且其图象过点，则的值可能为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据题意，利用三角函数的图象与性质，列出不等式，求得的范围，结合选项，即可求解.

【详解】由，可得，

因为函数在区间上单调递减，

可得且，解得，

又由函数的图象过点，可得，即，

解得或，

当时，可得，所以的值可能为.

故选：D.

8．“”是“圆上有四个不同的点到直线的距离等于1”的（       ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据直线和圆的位置关系求出，然后利用充分条件和必要条件的定义进行判断.

【详解】∵圆的半径，

若圆C上恰有4个不同的点到直线l的距离等于1，则

必须满足圆心到直线的距离

，解得.

又，

∴“”是“圆上有四个不同的点到

直线的距离等于1”的充分不必要条件.

故选：A.

9．若数列对任意正整数n都有，则（       ）

A．17 B．18 C．34 D．84

【答案】B

【分析】根据递推公式，可求出数列的通项公式，从而可求出的值.

【详解】因为，

所以时，，

两式相减，得，即，

又时，得也适合，

所以时，，

所以．

故选：B．

10．如图，某几何体平面展开图由一个等边三角形和三个等腰直角三角形组合而成，E为的中点，则在原几何体中，异面直线与所成角的余弦值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】将给定展开图还原成三棱锥，取BD中点F，借助几何法求出异面直线所成角的余弦值.

【详解】因几何体平面展开图由一个等边三角形和三个等腰直角三角形组合而成，于是得原几何体是正三棱锥，

其中两两垂直，且，取BD中点F，连接EF，AF，如图，

因E为的中点，则有，因此，是异面直线与所成角或其补角，

令DB=2，则，中，，

正中，，于是有：，即，，

所以异面直线与所成角的余弦值为.

故选：A

11．已知符号函数，偶函数满足，当时，，则（       ）

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【分析】利用特殊值法可判断AD选项；利用函数的周期性以及题中定义可判断BC选项.

【详解】对于A选项，，A错；

对于B选项，，B错；

对于C选项，对任意的，，则，C对；

对于D选项，，而，D错.

故选：C.

12．已知函数，若恒成立，则实数a的取值范围为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】依题意可得，进而可得在上恒成立，构造函数，利用导数研究函数的单调性以及最值，即可求出参数的取值范围.

【详解】等价于．

令函数，则，故是增函数．

等价于，即．

令函数，则．

当时，，单调递增：当时，，单调递减．

.

故实数a的取值范围为．

故选：C.

二、填空题

13．已知向量，，若，则___________.

【答案】

【分析】根据向量坐标的加法运算，可得的坐标，再根据，所以，再根据数量积的坐标运算，建立方程，即可求出结果.

【详解】因为向量，，所以，

又，所以，

所以.

故答案为：.

14．若直线是函数的图象在某点处的切线，则实数___________.

【答案】

【分析】利用导数的几何意义直接求解.

【详解】设切点为.

由题意可得：，解得：，代入得：.

故答案为：

15．在中，，，，AD平分交BC于点D，则与的面积之比为___________.

【答案】∶

【分析】由三角形的面积公式可得答案.

【详解】AD为的角平分线，又，则

所以

故答案为：

16．过双曲线C：的右焦点F作渐近线的垂线，垂足为点A，交y轴于点B，若，则C的离心率是_________．

【答案】

【分析】取双曲线的一条渐近线，可求出，再由，可得，由题意可得直线的方程为，求出点，然后由列方程化简可求出离心率

【详解】取双曲线的一条渐近线，即，

因为右焦点，

所以，

因为，所以，所以，所以，

因为直线与渐近线垂直，

所以直线的方程为，令，得，

所以，

所以，

因为，所以，

所以，

所以，

所以，得，

，所以，

所以离心率

故答案为：

三、解答题

17．已知数列为等差数列，是各项为正的等比数列，的前n项和为，___________，且，.在①，②，③.

这三个条件中任选其中一个，补充在上面的横线上，并解答下面的问题.

(1)求数列和的通项公式；

(2)求数列的前n项和.

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）选条件①，由基本量法求得，由等差数列通项公式得，由求得，利用得的递推关系，从而得等比数列的公比，得通项公式；

选条件②.由基本量法求得公差，得，根据与的关系，把已知等式变形，然后由基本量法求得公比，得通项公式；

选条件③. 由基本量法求得，由等差数列通项公式得，由求得，从而可得；

（2）用分组求和法计算．

【详解】(1)方案一：选条件①.

设等差数列的公差为，

由，解得，所以.

因为，，所以当时，

由，得，即，所以.

当时，，整理得，

所以数列是以2为首项，为公比的等比数列，

所以.

方案二：选条件②.

设等差数列的公差为，由，解得，

所以，所以.

设等比数列的公比为，因为，

所以，

又，，所以，解得或（舍去），

所以.

方案三：选条件③.

设等差数列的公差为，由，解得，

所以.

因为，，，

所以当时，，即，解得，

所以.

(2)由（1）知，，则，

所以

18．某一厂家将其生产的糖果批发给当地一家商场，商场根据这批糖果的品质将其分为A，B，C三个等级，批发单价分别为6元/､5元/和4元/.

(1)根据以往的经验，该厂家生产的糖果为A，B，C等级的比例分别为50%，30%，20%，估计这批糖果的批发单价的平均值；

(2)为了对糖果进行合理定价，商场对近5天的日销量y和单价进行了统计，得到一组数据如表所示：

根据表中所给数据，用线性回归模型拟合y与x的关系，求出y关于x的线性回归方程，并预测当糖果单价为12元/时，该商场糖果的日销量.

参考公式：线性回归方程中，，.

参考数据：，，.

【答案】(1)；

(2)，.

【分析】（1）根据平均数的定义求解即可，

（2）先求出，然后根据公式和已知的数据求出回归系数，从而可求得回归方程，将代入回归方程中可估计出超市西红柿的日销量

【详解】(1)解：由题得这批糖果的批发单价的平均值为.

(2)解：由表知，，

所以，

，

故y关于x的线性回归方程为．

当时，，

即当西红柿单价为12元/时，预测该超市西红柿的日销量为

19．已知抛物线，点F为其焦点，且点F到其准线l的距离为4.

(1)求抛物线T的方程；

(2)设l与x轴的交点为A，过x轴上的一个定点的直线m与抛物线T交于B，C两点.记直线AB，AC的斜率分别为，，若，求直线m的方程.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据焦点到准线的距离可得，即可得解；

（2）可设直线的方程为，联立直线和抛物线方程，利用韦达定理求得，再根据求得，即可得解.

【详解】(1)解：因为点F到其准线l的距离为4，

所以，

所以抛物线T的方程为；

(2)解：若直线的斜率不存在时则与题意不符，

故直线的斜率必存在，不妨设直线的方程为，

将直线和抛物线联立，，

则，

所以直线m的方程为.

20．如图，在四棱柱中，底面ABCD为菱形，其对角线AC与BD相交于点O，，，.

(1)证明：平面ABCD；

(2)求三棱锥的体积.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）连接，，可证明，再证明，从而可证明结论.

（2）由线面垂直的判断定理得平面，由得平面，再由棱锥的体积可得答案.

【详解】(1)连接，

为公共边，

，

又为的中点，，

在中，由余弦定理可知，

在中，，

满足，

又，

平面.

(2)由（1）知平面，平面，

且，

平面，且，

平面，

.

21．已知，.

(1)证明：函数在上有且仅有一个零点；

(2)若函数在上有3个不同零点，求实数的取值范围.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）首先求出函数的导函数，即可得到函数的单调性，再根据，即可得证；

（2）令，求出函数的导函数，令，则，分、与三种情况讨论，利用导数研究函数的单调性，即可得解；

【详解】(1)解：因为，

所以，

在上单调递减，且，

在有且仅有一个零点.

(2)解：令，

所以

令，则，

①当，即时

此时在单调递减，至多有一个零点，所以不符合题意.

②当时，

此时在单调递减，至多有一个零点，所以不符合题意.

③当时，，

不妨设两根分别为，

由韦达定理知，

所以当时，当时，当时，

所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，

由所以此时在上有一个零点，

令，则，所以当时，

当时，即在上单调递增，在上单调递减，

所以，即，所以，，

即，，所以，，

即

当时

令得且，

所以此时在上有一个零点

当时

令得且，

所以此时在上有一个零点

综上若在上有3个零点则.

【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．

22．在平面直角坐标系中，直线l的方程为，圆C的方程为．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

(1)求直线l的极坐标方程和圆C的极坐标方程；

(2)设射线交圆C于O，A两点，交直线l于B，求的最大值．

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）由极坐标方程和直角方程互化的公式直接进行互化即可.

（2） 设射线的极坐标方程为，由此得出点的坐标，代入即可得出答案.

【详解】(1)直线l的方程为，化为极坐标方程为．

因为圆C的直角坐标方程为，所以圆C的极坐标方程为．

(2)由已知，可设射线的极坐标方程为，

则，，所以，

当且仅当时取等号，所以的最大值为

23．已知函数f（x）＝｜x－2｜－｜x＋1｜．

(1)解不等式；

(2)若正实数m，n满足m＋n＝1，试比较与的大小．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用零点分段法来求得不等式的解集.

（2）先求得，利用基本不等式求得，由此判断出.

【详解】(1),

，即，

当时，有，即；       

当时，有；     

当时，有，显然不成立．

综合可知，不等式的解集为；

(2)由（1）可知，，

即，由得，当且仅当时取“=”．

即得．