2021-2022学年河南名校联盟高二下学期期中考试文科数学试题含解析

  河南名校联盟

2021—2022学年高二（下）期中考试

数学（文科）

第Ⅰ卷（选择题    共60分）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知a，b，，，且，则下列不等式中一定成立的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据不等式的性质判断．

【详解】当时，，A不成立；

时，由得，B不成立；

当时，，C不成立，

由不等式得性质，D正确．

故选：D．

2. 已知，则“”是“方程表示双曲线”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】先由方程表示双曲线解出的范围，再由充分性、必要性的定义判断即可.

【详解】由方程表示双曲线可得，解得，显然能推出，

反之不能推出，故“”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件.

故选：A.

3. 已知复数z满足(i为虚数单位)，则复数z的虚部为(    )

A.  B.  C. i D. 1

【答案】B

【解析】

【分析】根据复数的运算法则计算即可．

【详解】，

故z的虚部为-1．

故选：B．

4. 已知函数，.若曲线在处的切线与直线平行，则实数a的值为(    )

A. 1 B. 2 C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据曲线在处的切线与直线平行得，据此即可求出a．

【详解】∵，

∴，

∵曲线在处的切线与直线平行，

∴．

故选：A﹒

5. 已知，且，，，则三个数（    ）

A. 都小于 B. 至少有一个不小于

C. 都大于 D. 至少有一个不大于

【答案】B

【解析】

【分析】先求出，通过反证法证得都小于不成立，即可得出结果.

【详解】，假设都小于，

则，与题设矛盾，故假设不成立，即至少有一个不小于.

故选：B.

6. 已知复数，，且有，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据，，求得，，再由求解.

【详解】因为，，

则，，

因为，

则，

解得，此时，

所以.

故选：C.

7. 在2022年2月北京冬奥会短道速滑男子500米项目决赛前，某家庭中的爸爸、妈妈和孩子对进入决赛的甲、乙、丙、丁、戊五位选手谁能夺冠进行猜测，依据运动员的实力和比赛规则，这五位选手都有机会获得冠军.爸爸：冠军是甲或丙；妈妈：冠军一定不是乙和丙；孩子：冠军是丁或戊.比赛结束，冠军在这五人中产生，且爸爸、妈妈、和孩子三人之中只有一人的猜测是正确的，则冠军是（    ）

A. 甲 B. 丙 C. 丁 D. 戊

【答案】B

【解析】

【分析】假设孩子的猜测正确，推出不成立，再假设妈妈的猜测正确，推出不成立，进而得到爸爸的猜测正确，即可求解.

【详解】若孩子猜测是正确的，则妈妈的猜测也正确，不合题意，故孩子的猜测是错误的，即冠军不是丁也不是戊；

若妈妈的猜测是正确的，则冠军是甲，爸爸的猜测也正确，不合题意，故妈妈的猜测是错误的，即冠军是乙或丙；

爸爸的猜测是正确的，故冠军是丙.

故选：B.

8. 观察等式：，，，.若第n个等式为，则满足不等式成立的最小正整数n的值为（    ）

A. 5 B. 6 C. 7 D. 8

【答案】C

【解析】

【分析】由题意可得，代入中化简可求出的范围，从而可求得结果

【详解】由题意可得，

因为，

所以，化简得，

解得（舍去），或，

因为，

所以最小正整数n的值为7，

故选：C

9. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，，，则（    ）

A.  B. 3 C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】由的范围及的值求解，利用正弦定理求解出，再利用余弦定理即可求解.

【详解】∵，且，∴.

又，由正弦定理得，即，

∵，∴.

由余弦定理得，即，

解得，.

故选：D.

10. 随着“双减”政策的逐步落实，其中增加中学生体育锻炼时间的政策引发社会的广泛关注.某教育时报就“支持增加中学生体育锻炼时间的政策是否与性别有关”对某校高二年级部分学生做了专题调查，被调查的男、女生人数相同，其中男生支持的人数占调查男生人数的，女生支持的人数占调查女生人数的.若有99%以上的把握认为“支持增加中学生体育锻炼时间的政策与性别有关”，则参加调查的男生可能有（    ）

附表：

附：，其中.

A. 135人 B. 140人 C. 145人 D. 150人

【答案】D

【解析】

【分析】设参加调查的男生可能有人，则女生也为人，然后列出列联表，计算，由题意可得，从而可求出的范围，进而可求得答案

【详解】设参加调查的男生可能有人，则女生也为人，

由题意得列联表如下：

则，

因为有99%以上的把握认为“支持增加中学生体育锻炼时间的政策与性别有关”，

所以，

得，

因为是15的倍数，所以选项D符合题意，

故选：D

11. “二七纪念塔”位于河南省郑州市二七广场，建于1971年，钢筋混凝土结构，是中国建筑独特的仿古联体双塔，它是为纪念京汉铁路工人大罢工而修建的纪念性建筑物，2006年被列为全国重点文物保护单位.某同学为测量二七纪念塔的高度，在塔底共线的三点A，B，C处测得塔顶的仰角分别为30°，45°，60°，且，则二七纪念塔的塔高约为（    ）（参考数据：，，）

A. 59.39m B. 63.00m C. 68.57m D. 72.74m

【答案】B

【解析】

【分析】如图，用表示塔身，设，，表示出，然后在和中应用余弦定理求得与的关系，从而求得结论．

【详解】用表示塔身，如图，设，

由题意得，，，

记，

由得，

化简得，所以．

故选：B．

12. 设定义在R上的函数的导函数为，已知，且，则满足不等式的实数a的取值范围为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】引入函数，由导数确定它的单调性，待解不等式化为关于的不等式，然后由单调性得解．

【详解】设，则，

因为，，所以，是减函数，

，

不等式化为，即，

所以．

故选：C．

第Ⅱ卷（非选择题    共90分）

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 类比推理在数学发现中有重要的作用，开普勒说过：我珍视类比胜过任何别的东西，它是我最可信赖的老师，它能揭示自然界的秘密.运用类比推理，人们可以从已经掌握的事物特征，推测被研究的事物特征.比如：根据圆的简单几何性质，运用类比推理，可以得到椭圆的简单几何性质等.已知圆有性质：过圆C上一点的圆的切线方程是.类比上述结论，过椭圆的点的切线方程为______.

【答案】

【解析】

【分析】通过类比可得类似结论：过椭圆上一点的椭圆的切线方程为，然后可得.

【详解】通过类比可得类似结论：过椭圆上一点的椭圆的切线方程为.

所以,，过椭圆上的点的切线方程为，即.

将代入得：，解得

所以直线和椭圆有唯一交点，即直线与椭圆相切.

故答案为：

14. 执行如图所示的程序框图，若输出的a的值为33，则输入的整数t的最大值为___________.

【答案】32

【解析】

【分析】利用程序框图的功能一一循环，直至终止循环求解.

【详解】第一次循环，，不成立；

第二次循环，，不成立；

第三次循环，，不成立；

第四次循环，，，不成立；

第五次循环，，，成立；

所以，

则输入的整数t的最大值为32.

故答案为：32.

15. 如图所示，已知P为抛物线上的一个动点，点，F为抛物线C的焦点，若的最小值为3，则抛物线C的标准方程为______.

【答案】

【解析】

【分析】根据定义将转化为点P到点Q和准线的距离之和，由最小值为3可得p，然后可得抛物线标准方程.

【详解】过点P、Q分别作准线的垂线，垂直分别为M、N，

由抛物线定义可知，当P，M，Q三点共线时等号成立

所以，解得

所以抛物线C的标准方程为.

故答案为：

16. 2020年9月，中国在第75届联合国大会上承诺，二氧化碳排放力争于2030年前达到峰值，努力争取2060年前实现碳中和(简称“双碳目标”).某地区积极响应政府的号召，大力提倡新能源汽车，某机构为研究新能源汽车在该地区的销售情况，对某品牌的新能源汽车在该地区近几个月的销售情况作了统计，如下表：

则y关于x的线性回归方程为______．

参考公式：回归方程中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.

【答案】

【解析】

【分析】根据表中数据和最小二乘估计公式计算出和即可．

【详解】，，

，

，

∴，

，

∴y关于x的线性回归方程为．

故答案为：．

三、解答题：第17题10分，其余每题12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 已知正项等比数列的公比大于1，其前n项和为，且，.

（1）求数列的通项公式；

（2）设数列，满足，，求数列的前n项和.

【答案】（1）；   

（2）．

【解析】

【分析】（1）由等比数列的基本量法和前项和定义列出关于公比和首项的方程组求得和，得通项公式；

（2）求出，用裂项相消法求和．

【小问1详解】

设公比为，则题意得，因为，故解得，

所以；

【小问2详解】

由（1），，

所以．

18. 已知复数，其中i是虚数单位，.设p：复数z在复平面内对应的点位于第四象限；.

（1）当p为真命题时，求实数m的取值范围；

（2）若命题“且”为假命题，“或”为真命题，求实数的取值范围.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据复数在复平面内对应的点位于第四象限，求出的取值范围；

（2）根据“且”为假命题，“或”为真命题可以判断命题、一真一假，由此求出的取值范围.

【小问1详解】

在复平面内对应的点位于第四象限

解得：

即的取值范围为.

【小问2详解】

由为真命题得：

由命题“且”为假命题，“或”为真命题，得真假或假真

当真假时， 即

当假真时， 即

实数的取值范围为.

19. 根据党中央规划的“精准发力，着力提高脱贫攻坚成效”的精准扶贫、精准脱贫路径，某农业机械上市公司为强化现代农业的基础支撑，不断投入资金对产品进行研发，从而提升农机装备的应用水平.通过对该公司近几年的年报公布的研发费用x（亿元）与产品的直接收益y（亿元）的数据进行统计，得到如下表：

根据数据，可建立y关于x的两个回归模型：模型①：；模型②：．

（1）根据表格中的数据，分别求出模型①，②的相关指数的大小（保留三位有效数字）；

（2）根据（1）选择拟合精度更高、更可靠的模型，若2022年该公司计划投入研发费用17亿元，预测可为该公司带来多少直接收益.

附：相关指数，.

【答案】（1），   

（2）72.93亿元

【解析】

【分析】（1）先计算，再求，然后由公式直接计算可得；

（2）比较相关系数，选择拟合精度更高、更可靠的模型计算可得.

【小问1详解】

因为

所以

则模型①的相关指数

模型②的相关指数

【小问2详解】

由（1）知，

所以模型②的拟合精度更高、更可靠，

由回归方程可得，当时，

所以若2022年该公司计划投入研发费用17亿元，大约可为该公司带来72.93亿元直接收益.

20. 2022年年度大剧《人世间》自1月28日在央视一套黄金档开播以来，其收视率一路开挂，破近五年的的纪录．某调研机构为了解某社区居民对本剧的收看情况，随机抽取了该社区年龄在30~60岁的600名居民进行调查，其中男性居民与女性居民的人数之比是9：11.经统计，收看过本剧的居民比没有收看过本剧的居民多300人，女性居民中仅有60人没有收看过本剧.

（1）是否有99.9%的把握认为是否收看过电视剧《人世间》与性别有关？

（2）按性别用分层抽样的方法从收看过本剧的居民中抽取5人，若要从这5人中随机选出2人对其做进一步的观剧感受访谈，求选出的2人中至少有一个是男性居民的概率.

附：，其中.

【答案】（1）有99.9%的把握认为收看过电视剧《人世间》与性别有关；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）根据题目信息求出各项数据，得到22列联表，进而计算出，对比临界值即可得出结论.

（2）根据古典概型的计算公式即可求出结果.

【小问1详解】

由题意，调查的600名居民中，男性与女性居民的人数之比是9：11，故男性有人，女性有人，

因为收看过本剧的居民比没有收看过的居民多300人，所以收看过本剧的居民有450人，

没有收看过本剧的居民有150人，

因为没有收看过本剧的女性有60人，所以收看过本剧的女性居民有270人，没收看过本剧的男性有90人，收看过本剧的男性有180人.完成22列联表，如下：

所以，

所以有99.9%的把握认为收看过电视剧《人世间》与性别有关.

【小问2详解】

收看过电视剧《人世间》的共有450人，从中抽取5人，抽到的男性人数、女性人数分别为：人，人，

记2名男性分别a，b，3名女性分别是A，B，C，

则从5人中选出2人的基本事件是：ab，aA，aB，aC，bA，bB，bC，AB，AC，BC，

共10个，选出的2人中至少有一位是男性的事件有7个，

所以选出的2人至少有一位是男性的概率.

21. 已知函数，.

（1）求的极大值；

（2）若恒成立，求实数a的取值范围.

【答案】（1）当时，无极值；当时，有极大值.   

（2）

【解析】

【分析】（1）分，，利用导数讨论其单调性可得；

（2）分离参数，将恒成立问题转化为求函数最值问题，通过二次求导可判断导函数的单调性，结合导函数的零点可得所构造函数的单调区间，然后可解.

【小问1详解】

的定义域为

当时，恒成立，在定义域上单调递增，无极值；

当时，由解得，在上单调递增，

由解得，在上单调递减，

所以当时，有极大值

综上，当时，无极值；当时，有极大值，无极小值.

【小问2详解】

因为恒成立，

所以恒成立，

记

则

记

因为，所以

所以在上单调递减，

又因为

所以，当时，，即，单调递增

当时，，即，单调递减

所以，当时，有最大值.

所以，

即实数a的取值范围为

22. 已知，分别是椭圆的左、右焦点，点，在直线的同侧，且点，到直线l的距离分别为，.

（1）若椭圆C的方程为，直线l的方程为，求的值，并判断直线l与椭圆C的公共点的个数；

（2）若直线l与椭圆C有两个公共点，试求所需要满足的条件；

（3）结合（1）和（2），试写出一个能判断直线l与椭圆C有公共点的充要条件（不需要证明）.

【答案】（1）；1个公共点；   

（2）；   

（3），证明见解析.

【解析】

【分析】（1）直接由点到直线的距离公式求出，联立直线与椭圆方程，由判断交点个数即可；

（2）先由点到直线的距离公式表示出，联立直线与椭圆方程，由解得，进而求出的范围即可；

（3）直线l与椭圆C有公共点的充要条件是，先由点到直线的距离公式表示出，联立直线与椭圆方程，有公共点等价于，解得，进而求出的范围即可；即可证明.

【小问1详解】

由题意知：，直线l的方程为，则，；

联立直线与椭圆方程得，，故直线l与椭圆C有1个公共点；

【小问2详解】

由题意知：，直线l的方程为，点，在直线的同侧，则，

；联立直线与椭圆方程得，

由直线l与椭圆C有两个公共点，可得，即，即，

故，故；

【小问3详解】

直线l与椭圆C有公共点的充要条件是，证明如下：

由（2）知；

联立直线与椭圆方程得，直线l与椭圆C有公共点，

等价于，即，

即，故，故.