2021-2022学年河北省承德市高二下学期四月联考数学试题含解析

2021-2022学年河北省承德市高二下学期四月联考数学试题

一、单选题

1．下列式子错误的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用排列数与组合数的算法以及性质计算，得出结果后作出判断即可.

【详解】对于A，，，A正确；

对于B，，，B正确；

对于C，，，C正确；

对于D，，，D错误.

故选：D.

2．已知函数的导函数为，且，则(       )

A． B．3 C． D．1

【答案】D

【分析】根据导数的定义即可计算．

【详解】由题意可得．

故选：D．

3．已知某校高二（1）班有42人，高二（2）班有45人，高二（3）班有38人，现从这三个班中任选1人去参加活动，则不同的选法共有（       ）

A．125种 B．135种 C．155种 D．375种

【答案】A

【分析】根据分类加法计数原理可得

【详解】根据分类加法计数原理，不同的选法共有42+45+38=125种．

故选：A

4．2022年北京冬奥会的顺利召开，引起大家对冰雪运动的关注．若A，B，C三人在自由式滑雪、花样滑冰、冰壶和跳台滑雪这四项运动中任选一项进行体验，则不同的选法共有（       ）

A．12种 B．16种 C．64种 D．81种

【答案】C

【分析】按照分步乘法计数原理计算可得；

【详解】解：每个人都可在四项运动中选一项，即每人都有四种选法，可分三步完成，

根据分步乘法计数原理，不同的选法共有种．

故选：C

5．设函数，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】对求导得，令，求出，代入即可求出的值.

【详解】．

令，则，则，所以

所以．

故选：B.

6．已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】求导，根据导数在给定区间上恒大于等于0即可求解.

【详解】 ，因为函数在上单调递增，

所以 在上恒成立，解得；

故选：B.

7．将7名防疫工作人员随机分配到甲、乙、丙3个单位中的某1个单位进行防疫抽检，每个单位至少2人，则不同的分配方法有（       ）

A．572种 B．580种 C．630种 D．840种

【答案】C

【分析】利用先分组再分配的方法计算即可.

【详解】根据题意将这7名防疫工作人员以2，2，3“形式分配到甲，乙、丙3个单位，

共有种分配方法．

故选：C

8．已知函数在上有最小值，则的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】求出函数的导函数，令，要使函数在有最小值，依题意使得，且当时，当时，即可得到不等式组，解得即可；

【详解】解：因为，，所以，

令，，对称轴为，

当时恒成立，此时在上单调递增，不存在最小值，故舍去；

所以，依题意使得，且当时，当时，

使得在上单调递减，在上单调递增，在处取得极小值即最小值，

所以，所以，解得，即；

故选：A

二、多选题

9．在下列函数中，求导正确的是（       ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】BC

【分析】根据初等函数的导数公式和导数的运算法则，逐项计算，即可求解.

【详解】对于A中，函数，可得，则A错误；

对于B中，函数，可得，则B正确；

对于C中，函数，可得，则C正确；

对于D中，函数，可得，则D错误.

故选：BC.

10．已知，则（       ）

A．

B．这7个数中只有3个有理数

C．

D．

【答案】ACD

【分析】根据二项式定理对选项逐一判断

【详解】由二项式定理知展开式的通项公式为

对于A，令，得，则，A正确．

对于B，这7个数中，当为偶数时，对应为有理数，B错误．

对于C，，C正确．

对于D，对两边同时求导，得，

令，得，D正确．

故选：ACD

11．已知均为锐角，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】AC

【分析】先构造函数，利用导数求其单调性，再结合三角函数的单调性解题即可.

【详解】解：由题意得：

由，可得，

令，则，

因为为锐角，且单调递增，

所以，

故，即．

故选：AC

12．已知定义在上的函数的导函数为，对任意的，都有，且，则满足不等式的的值可以是（       ）

A．2 B．e C．3 D．4

【答案】BC

【分析】构造并求导，结合已知条件可得则有且为常数，由可得，即可确定解析式，进而求出的解析式，最后将不等式转化为求在上的解集，构造中间函数并应用导数研究单调性求x的范围.

【详解】令且，则，

又，即，所以且为常数，

而，故，即，

所以且，则，

故等价于，

令且，则，

在上，递减，在上，递增，又，

所以在上递减，在上递增，则，可得.

故选：BC

【点睛】关键点点睛：构造，根据已知条件求出解析式，进而确定的解析式，再将目标不等式转化为求在上的解集.

三、填空题

13．曲线上的点到直线的最短距离是________．

【答案】

【分析】先求出曲线上与直线平行的切线方程及切点坐标，切点到直线的的距离即为最小距离.

【详解】解：由题意得：

设与平行的直线l与相切，则切线l的斜率

因为，所以，由，得．

当时，，即切点坐标为

则点到直线的距离就是直线上的点到直线的最短距离

所以点到直线的距离

所以曲线上的点到直线的最短距离为．

故答案为：

14．给图中A，B，C，D，E五个区域填充颜色，每个区域只填充一种颜色，且相邻的区域不同色．若有四种颜色可供选择，则共有_________种不同的方案．

【答案】72

【分析】分为B，E同色和B，E不同色两种情形，再按照分步乘法原理计算即可.

【详解】当B，E同色时，共有种不同的方案，

当B，E不同色时，共有种不同的方案，所以共有72种不同的方案．

故答案为：72.

15．已知、、，若，则的组数为______．

【答案】128

【分析】根据a、b、c的范围即可知2≤2c≤32，由可知a＋b为2到32之间的偶数，分别讨论a＋b＝2，4，6，…，32时，的组数，然后求总的组数即可．

【详解】由题可知，1≤a≤16，1≤b≤16，1≤c≤16，、、，

2≤2c≤32，2c为偶数，∴由可知a＋b为偶数，

a＋b的可能取值为2，4，6，8，10，…，30，32，

当a＋b＝2时，c＝1，此时a＝1，b＝1，的组数为；

当a＋b＝4时，c＝2，此时的组数为，的组数为；

当a＋b＝6时，c＝3，此时的组数为，的组数为；

…

当a＋b＝16时，c＝8，此时的组数为，的组数为；

当a＋b＝18时，c＝9，此时的组数为，的组数为；

…

当a＋b＝32时，c＝16，此时的组数为，的组数为；

则的所有可能的组数为：

﹒

故答案为：128．

四、双空题

16．的展开式中，二项式系数最大的项是第_______项，其系数是_______．（用数字作答）

【答案】     5     70

【分析】根据二项式系数的性质可求知二项式系数最大的项是中间项，可求得答案；利用二项式展开式的通项公式，可求得其系数.

【详解】二项式的展开式共有9项，根据二项式系数的性质，可得第5项的二项式系数最大，

所以二项式系数最大的项是，其系数为70,

故答案为：5；70

五、解答题

17．4名男生和4名女生（包含甲、乙）站成一排表演节目．

(1)若这4名女生不能相邻，有多少种不同的排法？

(2)已知这4名女生身高互不相等，若按身高从高到低排列，则有多少种不同的排法？

(3)若甲不能站在左端，乙不能站在右端，有多少种不同的排法？

【答案】(1)种

(2)种

(3)种

【分析】（1）先排4名男生，再将4名女生插入4名男生产生的5个空中，由插空法可得答案.

（2）由定序法可得答案.

（3）分甲站在右端和甲不站在右端两种情况分别计算，再求和即可.

【详解】(1)先排4名男生，再将4名女生插入4名男生产生的5个空中.

所以这4名女生不相邻的排法有种．

(2)这4名女生按身高从高到低的排法有种．

(3)①甲站在右端，其余7人全排列，有种排法，   

②甲不站在右端，有6种排法，乙有6种排法，其余6人全排，有种排法．

故一共有种排法．

18．设．

(1)求；

(2)求的值；

(3)求的值．

【答案】(1)；

(2)；

(3)

【分析】利用赋值法计算展开式中的常数项，各项系数和以及偶数项系数和.

【详解】(1)由题意，令，则

(2)由题意，令，则

(3)令，则①，

由（2）知，②，

则②-①得，，

得

19．已知函数．

(1)求曲线在处的切线方程；

(2)求曲线过坐标原点的切线方程．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）对求导，求得，，再由点斜式方程即可求出曲线在处的切线方程；

（2）设切点为，求得，，再由点斜式方程求得切线方程为，切线过坐标原点，代入可求得，

回代即可得出答案.

【详解】(1)，则，             

又，所以曲线在处的切线方程为．

(2)设切点为，则，

则切线方程为，        

切线过坐标原点，则，          

整理可得，即，

解得，则．            

故所求切线方程为．

20．已知集合，，从，这两个集合中先后选取一个元素依次作为平面直角坐标系中点的横、纵坐标.

(1)求位于第二象限的不同点的个数；

(2)求在圆内部（不含边界）的不同点的个数.

【答案】(1)9

(2)6

【分析】（1）根据第二象限内的点的特点，根据分步乘法计数原理可得答案；

（2）根据分类加法计数原理可得答案.

【详解】(1)因为这个点为第二象限内的点，所以该点的横坐标小于0，纵坐标大于0.

先选横坐标，有3种方法，再选纵坐标，也有3种方法，

根据分步乘法计数原理，则位于第二象限的不同点的个数为.

(2)因为这个点在圆的内部（不含边界），所以.

若，则或，共2种情况；

若，则或，共2种情况；

若，则或，共2种情况.

根据分类加法计数原理，则满足条件的不同点的个数为6.

21．已知函数，函数．

(1)求的单调区间；

(2)当时，若与的图象在区间上有两个不同的交点，求k的取值范围．

【答案】(1)答案见解析；

(2)

【分析】（1）求解导函数，然后分类讨论求单调区间；（2）利用参变分离法，将题目条件转化为在上有两个不同的实根，构造函数，求导判断单调性并求解最值，从而得k的取值范围.

【详解】(1)由题意可得的定义域为，且．

①当时，由，得；由，得．

故函数的单调递增区间为，单调递减区间为．

②当时，由，得；由，得．

故函数的单调递减区间为，单调递增区间为．

综上，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；

当时，的单调递减区间为，单调递增区间为．

(2)当时，令，得，即，

则与的图象在上有两个不同的交点，等价于在上有两个不同的实根．

设，则．

由，得；由，得．

函数在上单调递增，在上单调递减，故．

因为，，且，

所以要使在上有两个不同的实根，则，

即k的取值范围为．

【点睛】导数是研究函数的单调性、极值（最值）最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．（3）利用导数求函数的最值（极值），解决生活中的优化问题．（4）考查数形结合思想的应用．

22．已知函数有两个极值点．

(1)求a的取值范围．

(2)证明：．

【答案】(1)；

(2)证明见解析.

【分析】（1）由题可得函数在上存在两个零点，利用导数研究函数的性质，进而可得，即得；

（2）由题可得，进而可知即证，通过换元，构造函数，利用导数即得.

【详解】(1)由，得．

记，由题意知，在上存在两个零点，

则，当时，在上单调递增，不符合题意，

故，令，解得，

则在上单调递减，在上单调递增，

所以，则，

所以a的取值范围为．

(2)由（1）可知，

则两式相减可得．

要证，即证．即．

令，即，

设．则，

所以在区间上单调递增，则，

即，

故成立．