2021-2022学年江西省部分名校高一下学期期中调研数学试题含解析

2021-2022学年江西省部分名校高一下学期期中调研数学试题

一、单选题

1．下列各角中，与终边相同的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用终边相同的角的定义计算可得结果.

【详解】与终边相同的角为，

当时，，

当时，，

所以，的终边与的终边相同．

故选：D.

2．已知集合，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】对于集合A利用对数函数单调性以及对数函数定义域可得，集合B直接用二次不等式求解，最后求．

【详解】由题意可得：，，则．

故选：C．

3．在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知，，，则（       ）

A． B．13 C． D．37

【答案】A

【分析】直接利用余弦定理计算可得；

【详解】解：由余弦定理可得，则．

故选：A

4．要得到函数的图象，只需将函数的图象（       ）

A．向左平移3个单位长度 B．向左平移个单位长度

C．向右平移3个单位长度 D．向右平移个单位长度

【答案】B

【分析】利用相位变化直接求解.

【详解】因为，所以要得到函数的图象，只需将函数的图象向左平移个单位长度．

对照四个选项，选B.

故选：B

5．已知，，且，则的最小值是（       ）

A． B．2 C．9 D．4

【答案】A

【分析】利用基本不等式可求解.

【详解】由题意可得．因为，，所以，则，

当且仅当，时，等号成立．

故选：A

6．折扇又名“撒扇”“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨、韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1．其平面图如图2的扇形AOB，其中，，则扇面（曲边四边形ABDC）的面积是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据扇形面积公式分别求出扇形AOB，扇形COD的面积，作差得解.

【详解】由题意可得扇形AOB的面积是，扇形COD的面积是．则扇面（曲边四边形ABDC）的面积是．

故选：C.

7．已知函数的图象关于直线对称，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先由对称性求得，再将代入函数解析式即可求得答案.

【详解】因为的图象关于直线对称，所以，即，

解得，则．

故选：B

8．已知函数满足，当时，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】求得，可得出，结合题意可求得的值.

【详解】因为，所以．

因为，

所以．

故选：C.

二、多选题

9．已知角的终边与单位圆交于点，则的值可能是（       ）

A． B． C． D．

【答案】AC

【分析】利用三角函数的定义直接求解.

【详解】由题意可得，解得．

当时，；

当时，．

故A，C正确，B，D错误．

故选：AC

10．已知向量、不共线，则下列各组向量中，能作平面向量的一组基底的有（       ）

A． B．

C． D．

【答案】ACD

【分析】判断每个选项中每组向量是否共线，由此可得出合适的选项.

【详解】因为向量、不共线，对于A选项，设、共线，可设，

可得出，无解，所以，、不共线，A中的向量能作基底，

同理可知CD选项中的向量也可作平面向量的基底，

对于B选项，因为，所以，

所以不能作平面向量的基底．

故选：ACD.

11．连掷一枚质地均匀的骰子两次，所得向上的点数分别为m，n，记，则下列结论正确的是（       ）

A．事件“”的概率与事件“”的概率相等

B．事件“”的概率小于事件“”的概率

C．事件“或”与事件“t是质数”是对立事件

D．事件“t是奇数”与事件“t是2的倍数”是对立事件

【答案】AD

【分析】用列表法列举基本事件，对A、B选项，以此利用古典概型的概率计算公式计算概率，进行判断；对C、D选项，利用对立事件的定义进行判断.

【详解】列表如下：

由表可知事件“”的概率是是，事件“”的概率是是，则A正确．

事件“”的概率是，事件“”的概率是，则B错误．

由题意可知t的所有可能取值为0，1，2，3，4，5．

因为1不是质数，所以事件“或”与事件“t是质数”是互斥事件，但不是对立事件，则C错误．

事件“t是奇数”与事件“t是2的倍数”是对立事件，则D正确．

故选：AD

12．已知函数，若对任意的，函数都恰有2个零点，则的值可能是（       ）

A． B． C． D．

【答案】BC

【分析】画出的图像，函数恰有2个零点等价于函数的图象与直线恰有2个不同的交点，结合图象即可得出的取值范围.

【详解】函数恰有2个零点等价于函数的图象与直线恰有2个不同的交点，结合图象（如下图）

令，

故或，

故或，

结合图象可得，

若都恰有2个零点,可知的取值范围是．

BC选项的值在，而AD选项的值不在，

故选：BC

三、填空题

13．______．

【答案】

【分析】由正弦的两角差的公式直接求解.

【详解】．

故答案为：.

14．函数图象的一个对称中心的坐标是______．

【答案】（答案不唯一）

【分析】根据正切型函数的对称中心可直接求出答案.

【详解】令，解得,则图象的对称中心的坐标是．

当时，，则是图像的一个对称中心．

故答案为：（答案不唯一）.

15．某班数学老师组织本班学生开展课外实地测量活动．如图所示的是要测量的一座人工湖上的木桥AB的长度，选择在人工湖岸边的C，D两点，A，B，C，D在同一平面，测得米，，，，，则该木桥AB的长度为______米．

【答案】

【分析】根据题意，由正弦定理可得，，然后，再利用余弦定理求出即可.

【详解】在中，米，，，由正弦定理可得，则米．在中，米，，，

由正弦定理可得，则米．

在中，米，米，，由余弦定理可得

，

则米．

故答案为：.

16．在中，D，E分别是线段BC，AC的中点，，P是直线AD与EF的交点，则______．

【答案】

【分析】根据E，P，F共线，得．根据A，P，D共线，得，根据平面向量基本定理列方程得解.

【详解】因为，所以．因为E是线段AC的中点，所以．因为E，P，F共线，

所以．因为D是线段BC的中点，所以．

因为A，P，D共线，所以，则解得，故．

故答案为：.

四、解答题

17．已知．

(1)求的值；

(2)求的值．

【答案】(1)1

(2)

【分析】（1）先用诱导公式化简，再用商数关系化简（2）把齐次整式化成齐次分式，再用商数关系化简求值

【详解】(1)因为．

所以，

从而，则．

(2)

．

18．已知向量，，且．

(1)若，求k的值；

(2)求的值．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）利用向量数量积的运算律可得，再由结合运算律展开，求k值.

（2）利用向量数量积的运算律有，即可求的值.

【详解】(1)由题设，则，

又，

所以，解得．

(2)因为，

所以．

19．网购是目前很流行也很实用的购物方式．某购物网站的销售商为了提升顾客购物的满意度，统计了3月份顾客在该网站的购物情况，根据顾客3月份在该网站的购物金额（单位：百元），按，，，，，分成6组，得到如图所示的频率分布直方图．

(1)估计顾客3月份在该网站购物金额的平均值；（各组数据以该组数据的中点值作代表）

(2)该购物网站的销售商采用分层抽样的方法从3月份在该网站的购物金额在和内的顾客中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人进行电话回访，求被抽取的2人中恰有1人3月份在该网站的购物金额在内的概率．

【答案】(1)5.1（百元）

(2)

【分析】（1）根据频率分布直方图中，平均值等于每个小矩形的底边中点乘以每个小矩形的面积的和，计算即可求解.

（2）根据分层抽样，确定抽取的5人中，购物金额在内的有3人，购物金额在内的有2人，然后列举出全部基本事件，从中找出所求事件包含的个数，根据古典概型概率公式即可计算

【详解】(1)由题意可估计顾客3月份在该网站的购物金额的平均值

（百元）．

(2)由频率分布直方图可知3月份在该网站的购物金额在和内的顾客的频率分别是0.3，0.2，则采用分层抽样的方法从3月份在该网站的购物金额在和内的顾客中抽取的5人中，购物金额在内的有3人，分别记为a，b，c；购物金额在内的有2人，分别记为d，e．

从这5人中随机抽取2人的情况有ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de，共10种；

其中符合条件的情况有ad，ae，bd，be，cd，ce，共6种．故所求概率．

20．在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知．

(1)求角C的大小；

(2)若，求的最大值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用正弦定理得到，再利用两角和的正弦公式可得，由特殊角的三角函数值可得答案；

（2）由正弦定理得，，利用

可得答案．

【详解】(1)因为，所以，

因为，所以，

所以，即，则，

即，

因为，所以，所以．

(2)由正弦定理可知，

则，，故，

因为，所以，所以，

则，

故，

因为，所以时，取得最大值，且最大值为．

21．已知函数.

(1)用定义法证明在上单调递减，在上单调递增；

(2)若的最小值是6，求a的值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）由定义法,分别设和两种不同情况时,计算的正负即可；

（2）分别计算在和时的最小值,更小的那个即为函数的最小值,再分不同情况时将的函数解析式表示出,使得即可求解.

【详解】(1)证明：对任意的，．

当时，，，则，即；

当时，，，则，即．

故在上单调递减，在上单调递增．

(2)由（1）可知在上的最小值是．

当时，，其图象的对称轴方程是直线．

①若，在上单调递减，则在上的最小值是．

②若，在上单调递减，在上单调递增，则在上的最小值是．

综上，，

因为的最小值是6，所以或或解得．

22．已知函数．

(1)当时，求不等式的解集；

(2)若函数，对任意的，存在，使得，求a的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）化简函数，由，得到，结合三角函数的性质，即可求解；

（2）因为，所以，由（1）求得，分和，两种情况讨论，即可求解.

【详解】(1)解：因为，

所以，

由，即，等价于，

则，解得，

即不等式的解集为．

(2)解：因为，所以．由（1）可知．

因为，所以，所以．

当时，，则，解得，

当时，，则，解得，

综上，实数的取值范围是．