2021-2022学年重庆市南开中学校高一下学期期中数学试题含解析

2021-2022学年重庆市南开中学校高一下学期期中数学试题

一、单选题

1．已知复数（i为虚数单位），则z的虚部为（          ）

A． B．2 C． D．

【答案】A

【分析】根据复数的概念及复数的除法即可求解.

【详解】，

所以z的虚部为.

故选：A.

2．若向量，满足，，，则（       ）

A． B．2 C．2 D．4

【答案】B

【分析】利用平面向量数量积的运算性质可求得的值.

【详解】由题意可得.

故选：B.

3．两个体积分别为，的几何体夹在两个平行平面之间，任意一个平行于这两个平面的平面截这两个几何体，截得的截面面积分别为，，则“”是“”的（       ）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】由祖暅原理，再结合充分条件，必要条件的定义即可求解．

【详解】解：根据祖暅原理，

①由，得到，必要性成立，

②由，则，不一定相等，例如两个完全相同的棱锥，分别正置和倒置，充分性不成立，

是的必要不充分条件，

故选：B．

4．如图，在△ABC中，，，设，，则（          ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据向量的加法法则，即可求解.

【详解】解：由题意得：，

故选：D.

5．现将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则函数的解析式为（          ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据三角函数相位平移和周期变换特点得到函数解析式.

【详解】向右平移 个单位长度得，再将所得图像上所有点横坐标变为原来倍，纵坐标不变，得：，所以

故答案为：A

6． ABC中，，则 ABC的形状为（          ）

A．锐角三角形 B．直角三角形

C．钝角三角形 D．不确定

【答案】C

【分析】先利用二倍角公式化简得到化简得，进而得到，再利用余弦定理判断.

【详解】解：因为在 ABC中，，

所以，

化简得，

即，

所以，

因为，

所以 ABC的形状为钝角三角形，

故选：C

7．已知函数在区间上恰有3个零点，则正实数ω的取值范围是(       )

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据，，得，结合正弦函数图像，确定的位置范围即可求出ω的范围﹒

【详解】∵，，∴，

函数在区间上恰有3个零点，

则如图，﹒

故选：D．

8．如图，正方体中，E，F分别为棱AB，BC的中点，过，E，F三点的平面将正方体分割成两部分，两部分的体积分别为，，则（          ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】结合台体体积公式、正方体体积公式求得正确答案.

【详解】由于，所以共面，

，所以是台体，

设正方体的边长为，

，

所以.故选：C

二、多选题

9．下列关于复数z的运算结论，正确的有（          ）

A． B．

C． D．

【答案】ACD

【分析】设出复数直接计算可得.

【详解】记，则

则，A正确；

因为，故B错误；

因为，

所以

又，故C正确；

因为

所以，D正确.

故选：ACD

10．如图，正四棱柱中，，，点E，F，G分别为棱CD，，的中点，则下列结论中正确的有(        )

A．与FG共面 B．AE与异面

C．平面AEF D．该正四棱柱外接球的表面积为

【答案】ABC

【分析】证明即可判断；连接，证明与分别是两个互相平行的平面里面的不平行直线即可判断；取的中点为，连接，连接，证明即可判断；根据长方体外接球球心为体对角线中点即可计算长方体外接球半径，从而计算其外接球表面积，从而判断D．

【详解】①，且是中点，是中点，

，且，四边形是平行四边形，

与共面，故A正确；

②连接四边形为平行四边形，

，，故与不平行，

而平面平面，平面面，

和互为异面直线，故B正确；

③取的中点为，连接，连接.

是中点，是中点，

，且四边形是平行四边形，

是的中点，又是中点，在中，．

是中点，是中点，

四边形是平行四边形，

，平面平面平面，故C正确．

④设该四棱柱外接球半径为，则，

故该正四棱柱外接球的表面积为，故D错误．

故选：ABC.

11．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列结论正确的有(       )

A．若，，，则

B．若，则

C．若，，则△ABC有唯一解

D．若，则

【答案】ACD

【分析】根据正弦定理可解A，根据余弦定理和基本不等式可判断BD，根据余弦定理解三角形可判断C．

【详解】A选项：根据正弦定理得，，故A正确；

B选项：根据余弦定理得，，∵，

∴，∴，

，，故B错误；

C选项：由余弦定理得，，即，

即，方程，设方程两根为，∵，，∴方程只有一个正根，即c边有唯一取值，故三角形有唯一解，故C正确；

D选项：根据余弦定理得，，∵，

∴，

∴，当且仅当b＝c时取等号，

∵，，故D正确．

故选：ACD．

12．已知平面向量满足，，，则以下说法正确的是（          ）

A．

B．

C．若，则的最大值是

D．的取值范围是

【答案】BCD

【分析】由题意当时，，由已知不能确定，判断A;利用绝对值不等式性质可判断B;建立直角坐标系，利用坐标运算表示出

，结合三角函数性质，判断C;作图分析可得向量 对应的点轨迹为圆，利用圆的性质，结合数量积的几何意义，可判断D.

【详解】A选项：当时， ，即，由已知不能确定是否成立，故A错误；

B选项：，，B选项正确：

对于C,因为，

故以向量，起点为坐标原点，方向为y轴正方向，方向为x轴正方向，建立坐标系,

则，，设，

由，

得，

设，， ，

，

则，

其中，

，

故，当且仅当 时取等号，

故，故C选项正确；

D选项：以，邻边作平行四边形OADB为菱形， ，

，，设 ，

由题目条件，可知点C的轨迹是以D为圆心，为半径的圆．

设，则，，

所求的，即为在上的投影，

如图所示，延长OA交点C的轨迹于F,作 ,

当C为图中两条切线的切点时，取得最大值、最小值，

，当时取等号，

同理，可得

，当 时取等号，

故，故D选项正确，

故选：BCD

三、填空题

13．在中，是角所对的边长，若，则________．

【答案】

【分析】由正弦定理得到，设的三边分别为，结合余弦定理，即可求解.

【详解】由，由正弦定理可得，

可设的三边分别为，

由余弦定理可得，

故答案为：.

14．如图，△ABC中，，，点M为边BC的中点，点N为边AB的中点，则_________．

【答案】－1

【分析】用作为基底表示出即可根据数量积的运算律计算．

【详解】

．

故答案为：－1．

15．某同学欲为台灯更换一种环保材料的灯罩，如图所示，该灯罩是一个有上底面无下底面的圆台．经测量，灯罩的上底面直径为18 cm，下底面直径为34 cm，灯罩的侧面展开图是一个圆心角为的扇环，则新灯罩所需环保材料的面积为_________(结果保置π)．

【答案】

【分析】作出圆台轴截面图像和侧面展开图，找到边长对应关系，根据扇形面积和圆的面积计算公式即可计算．

【详解】如图为圆台轴截面：

如图为圆台侧面展开图：

圆台上底面半径为，下底面半径为，

，，

则扇环面积为：

，

则新灯罩所需环保材料的面积为：．

故答案为：．

16．△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，满足，点D、E分别在边AC、BC上，，若，则△ABC的面积的最大值为_________．

【答案】

【分析】根据条件结合余弦定理和三角恒等变换得出角,在中由余弦定理求出的最大值，从而得出答案.

【详解】由可得

即,即

由则，所以

即,由则, ,

又,所以

在中,

所以

所以，当且仅当时等号成立.

由

所以△ABC的面积的最大值为

故答案为：

四、解答题

17．已知z为虚数，为z的共轭复数，满足，其中i为虚数单位．

(1)求

(2)若为纯虚数，求实数m的值．

【答案】(1)5

(2)

【分析】（1）设，根据，利用复数相等求解；

（2）先化简，再根据为纯虚数求解.

【详解】(1)解：设，则，

由题意得：，即，

则，解得，

所以；

(2)∵，

且为纯虚数，

∴，

∴．

18．已知平面直角坐标系xOy中，有三个不同的点A，B，C，其中，，．

(1)若，求点C的坐标；

(2)若，且，求．

【答案】(1)；

(2)﹒

【分析】(1)根据向量线性运算的坐标表示即可列方程求解；

(2)向量垂直，数量积为零，据此求出C的坐标，再根据向量数量积坐标表示即可求解．

【详解】(1)∵，，

∴，即C的坐标为．

(2)∵，，

由，

解得：或，

又∵A，B，C为三个不同的点，，

∴，，

∴．

19．已知平面向量，，设函数．

(1)求函数图象的对称轴；

(2)若方程在区间上有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据平面向量数量积的坐标表示及三角恒等变换公式将函数化简，再结合正弦函数的性质计算可得；

（2）由的取值范围，求出的范围，即可求出函数的单调区间，依题意可得与在上有两个不同的交点，即可得解；

【详解】(1)解：因为，，且，

所以

即，

当时，解得，

所以对称轴．

(2)解：当时，，

令，解得，即函数在上单调递增，

令，解得，即函数在上单调递减，

又，，

∵在区间上有两个不相等的实数根，即与有两个不同的交点，

∴．

20．在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知．

(1)求角B的大小；

(2)给出三个条件：①；②；③，从中选出两个作为已知条件，求△ABC的面积．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由正弦定理统一为三角函数化简可得；

（2）选①②利用余弦定理可求出，再由面积公式求解；选①③由余弦定理及正弦定理转化为关于c的方程求解即可得，再得出，由三角形面积公式求解；选②③由正弦定理转化为三角形边的方程，再联立已知即可求出，由面积公式求解.

【详解】(1)∵，

∴

∴，从而

∴

(2)若选①②：已知，，由（1）可知，

由余弦定理可得

∴，即．

解得．

．

若选①③：已知，．

由余弦定理可得

∵，∴．

∴，即

∴，∴，

∴．

若选②③：已知，

∵，∴．

，，

∴.

21．“方舱医院”原为解放军野战机动医疗系统中的一种，是可以移动的模块化卫生医疗平台，一般由医疗功能区、病房区、技术保障区等部分构成，具有紧急救治、外科处置、临床检验等多方面功能．某市有一块三角形地块，因疫情所需，当地政府现紧急划拨该地块为方舱医院建设用地．如图所示，，D是BC中点，E、F分别在AB、AC上，△CDF拟建成技术保障区，四边形AEDF拟建成病房区，△BDE拟建成医疗功能区，DE和DF拟建成专用快速通道，，记

(1)若，求病房区所在四边形AEDF的面积；

(2)当取何值时，可使快速通道E-D-F的路程最短？最短路程是多少？

【答案】(1)

(2)，最短路程

【分析】（1）根据已知条件中的几何关系可知，是直角三角形、是等边三角形 ，分别求出线段的长，再进行面积求解即可；

（2）在△BDE中和△CDF中分别表示出、，表示出快速通道E-D-F的路程，再运用三角恒等变换公式进行化简，最后从函数值域的角度求最值.

【详解】(1)，则中，，，；

为等边三角形，，，

四边形为直角梯形，其面积为：

(2)在△BDE中，由正弦定理：

在△CDF中，由正弦定理；

所以，

设，则

在上单调递减，

所以当即时，取最小值.

22．如图，圆柱的轴截面ABCD为正方形，，EF是圆柱上异于AD，BC的母线，P，Q分别为线段BF，ED上的点．

(1)若P，Q分别为BF，ED的中点，证明：平面CDF；

(2)若，求图中所示多面体FDQPC的体积V的最大值．

【答案】(1)证明见解析

(2)最大值．

【分析】（1）连接，根据圆柱的性质可得四边形为平行四边形，即可得到

为的中点，从而得到，即可得证；

（2）设，，即可得到，，再根据比例关系，表示出，，表示出三棱锥与三棱锥的高，根据锥体的体积公式得到，令，则，再令，根据函数的性质求出最大值；

【详解】(1)证明：如图连接，

根据圆柱的性质可得且，所以四边形为平行四边形，

因为为的中点，所以为的中点，又为的中点，所以，

因为平面，平面，

所以平面，

(2)解：中，设，，则，，

所以，

所以，

设三棱锥高为，设三棱锥高为，

由比例关系，可知，

所以，，

∵

∴

∵设

∴，

令，当且仅当时取等号，则

又关于在上单调递减，

∴当，即，即时，取到最大值．