专题04 二元一次方程（组）-2021-2022学年七年级数学下学期期末复习常考点知识巩固+例题练习+期末模拟测试卷（人教版）

二元一次方程（组）常考点知识巩固与题型练习


考点一：二元一次方程
【知识点巩固】
二元一次方程的概念：
方程中含有 2 个未知数，且含有未知数的项的次数都是 1 的 整式 方程叫做二元一次方程。
二元一次方程的解：
使方程左右两边成立的 未知数的值 。
【例题：二元一次方程概念的理解】
1．下列方程中，为二元一次方程的是（　　）
A．2x+3＝0 B．3x﹣y＝2z C．x2＝3 D．2x﹣y＝5
【分析】根据二元一次方程的定义，从二元一次方程的未知数的个数和次数方面辨别．
【解答】解：A．是一元一次方程，故本选项不合题意；
B．含有三个未知数，不是二元一次方程，故本选项不合题意；
C．只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2，不是二元一次方程，故本选项不合题意；
D．符合二元一次方程的定义，故本选项符合题意．
故选：D．
2．方程2x﹣＝0，3x+y＝0，2x+x y＝1，5x+y﹣2x＝0，x2﹣x+1＝0中，二元一次方程的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的整式方程叫做二元一次方程．
【解答】解：2x﹣＝0是分式方程，不是二元一次方程；
3x+y＝0是二元一次方程；
2x+xy＝1是二元二次方程；
5x+y﹣2x＝0是二元一次方程；
x2﹣x+1＝0是一元二次方程．
所以二元一次方程有2个．
故选：B．
【例题：根据二元一次方程的定义求未知数的值】
3．若关于x，y的方程7x|m|+（m﹣1）y＝6是二元一次方程，则m的值为（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【分析】根据二元一次方程定义可得：|m|＝1，且m﹣1≠0，再解即可．
【解答】解：由题意得：|m|＝1，且m﹣1≠0，
解得：m＝﹣1，
故选：A．
4．若方程（a+3）x+3y|a|﹣2＝1是关于x，y的二元一次方程，则a的值为（　　）
A．﹣3 B．±2 C．±3 D．3
【分析】依据二元一次方程的定义求解即可．
【解答】解：∵方程（a+3）x+3y|a|﹣2＝1是关于x，y的二元一次方程，
∴a+3≠0，|a|﹣2＝1，
解得a＝3．
故选：D．
5．若关于x，y的方程x m+n+5ym﹣n+2＝8是二元一次方程，则m n的值是 　0　．
【分析】根据二元一次方程定义可得，据此可得m、n的值，再代入计算即可．
【解答】解：∵关于x，y的方程xm+n+5ym﹣n+2＝8是二元一次方程，
∴，
解得：，
∴mn的值是0．
故答案为：0．
【例题：判断方程的解】
6．下面各组数值中，二元一次方程2x+y＝10的解是（　　）
A． B． C． D．
【分析】把各选项的值代入方程验算即可．
【解答】解：A选项，2x+y＝﹣4+6＝2≠10，故该选项不符合题意；
B选项，2x+y＝12﹣2＝10，故该选项符合题意；
C选项，2x+y＝8+3＝11≠10，故该选项不符合题意；
D选项，2x+y＝﹣6+4＝﹣2≠10，故该选项不符合题意；
故选：B．
7．是下列哪个方程的一个解（　　）
A．﹣2x+y＝﹣3 B．3x+y＝6 C．6x+y＝8 D．﹣x+y＝1
【分析】将分别代入四个选项，判断等式是否成立即可．
【解答】解：将分别代入四个选项：
﹣2×2+1＝﹣3，故A选项正确；
3×2+1＝7，故B选项不正确；
6×2+1＝13，故C选项不正确；
﹣2+1＝﹣1，故D选项不正确；
故选：A．
【例题：根据方程的解求未知字母的值】
8．已知是关于x，y的二元一次方程x﹣2y＝m的一个解，则m的值是（　　）
A．5 B．2 C．﹣5 D．﹣2
【分析】将代入二元一次方程x﹣2y＝m即可求m的值．
【解答】解：∵是关于x，y的二元一次方程x﹣2y＝m的一个解，
∴1﹣2×3＝m，
∴m＝﹣5，
故选：C．
9．若和都是方程ax+by＝1的解，则a+b的值是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】把x与y的值代入方程ax+by＝1，得到关于a与b的方程组，求出方程组的解得到a与b的值，即可求出a+b的值．
【解答】解：把和代入方程ax+by＝1得：
，
由②解得：a＝﹣1，
把a＝﹣1代入①得：﹣2+b＝1，
解得：b＝3，
则a+b＝﹣1+3＝2．
故选：C．
10．已知关于x，y的二元一次方程3mx﹣y＝﹣1有一组解是，则m的值是 　 　．
【分析】把x与y的值代入方程计算即可求出m的值．
【解答】解：把代入方程3mx﹣y＝﹣1中得：3m+2＝﹣1，
解得：m＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【例题：二元一次方程的特殊解】
11．方程x+y＝6的正整数解有（　　）
A．5个 B．6个 C．7个 D．无数个
【分析】写出方程的正整数解即可得出答案．
【解答】解：方程的正整数解有，，，，共5个，
故选：A．
12．二元一次方程x+2y＝8的非负整数解有多少组（　　）
A．2 组 B．3组 C．4 组 D．5组
【分析】先变形方程，用含x的代数式表示y，根据奇偶性，可得结论．
【解答】解：方程变形为：y＝，
由于x、y都为非负整数，
所以x为不大于8的偶数．
当x＝0时，y＝4；
当x＝2时，y＝3；
当x＝4时，y＝2；
当x＝6时，y＝1；
当x＝8时，y＝0．
综上，满足条件的解有5组．
故选：D．
13．方程2x+3y＝17的正整数解的对数是（　　）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
【分析】把x看作已知数表示出y，即可确定出正整数解个数．
【解答】解：方程2x+3y＝17，
解得：y＝，
当x＝1时，y＝5；x＝4时，y＝3；x＝7时，y＝1，
则正整数解的个数是3个，
故选：C．
考点二：二元一次方程组
【知识点巩固】
二元一次方程组的概念：
方程组中含有 2 个未知数，且含有未知数的项的次数都是 1 的 整式 方程组叫做二元一次方程组。
二元一次方程组的解：
使二元一次方程组中的两个方程 同时 满足的 未知数的值 。
解二元一次方程组：
方法一：代入消元法：（当方程组中有未知数的值是 ±1 的时候使用。）
步骤一：将其中一个方程的一个 未知数 用另一个 未知数 表示出来。得到一个新的式子。
步骤二：将新得到的式子代入 另一个方程 ，从而得到一个 一元一次方程 。
步骤三：解一元一次方程。得出其中一个未知数的值。
步骤四：将得出的未知数的值代入任何一个方程中求出 另一个未知数 的值。
步骤五：写出方程组的解。
方法二：加减消元法：
步骤一：将方程组中系数的最小公倍数 较小 的未知数的系数化成 相同 或 互为相反数 。
步骤二：通过两个式子 加减 进行消元得到一个一元一次方程。若系数化作相同的系数，则用两式 相减 消元，若化作为相反数，则用两式 相加 消元。
步骤三：解一元一次方程得出其中一个未知数。
步骤四：将得出的未知数代入其中任何一个方程得出另一个 未知数 。
步骤五：写出方程组的解。
【例题：二元一次方程组的概念】
14．以下方程组中，是二元一次方程组的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据二元一次方程组的定义逐个判断即可．
【解答】解：A．含有三个未知数，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意；
B．第一个方程是二次方程，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意；
C．第一个方程是分式方程，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意；
D．是二元一次方程组，故本选项符合题意；
故选：D．
15．下列方程组中，二元一次方程组有（　　）
①；②；③；④．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个相同的未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程．
【解答】解：①、符合二元一次方程组的定义，故①符合题意；
②、第一个方程与第二个方程所含未知数共有3个，故②不符合题意；
③、符合二元一次方程组的定义，故③符合题意；
④、该方程组中第一个方程是二次方程，故④不符合题意．
故选：C．
【例题：根据二元一次方程组的定义求值】
16．方程组是关于x，y的二元一次方程组，则ab的值是 　 　．
【分析】利用二元一次方程组的定义确定出a与b的值，代入原式计算即可得到结果．
【解答】解：由题意得：|a|＝1，b﹣5＝0，a﹣1≠0，
解得：a＝﹣1，b＝5，
则原式＝（﹣1）5＝﹣1．
故答案为：﹣1．
17．若方程组是关于x，y的二元一次方程组，则代数式a+b+c的值是　 　．
【分析】根据二元一次方程组的定义：
（1）含有两个未知数；
（2）含有未知数的项的次数都是1．
【解答】解：若方程组是关于x，y的二元一次方程组，
则c+3＝0，a﹣2＝1，b+3＝1，
解得c＝﹣3，a＝3，b＝﹣2．
所以代数式a+b+c的值是﹣2．
或c+3＝0，a﹣2＝0，b+3＝1，
解得c＝﹣3，a＝2，b＝﹣2．
所以代数式a+b+c的值是﹣3．
综上所述，代数式a+b+c的值是﹣2或﹣3．
故答案为：﹣2或﹣3．
【例题：判断二元一次方程组的解】
18．二元一次方程组的解是（　　）
A． B． C． D．
【分析】用代入消元法解方程组即可得出答案．
【解答】解：，
由②得y＝8﹣2x③，
把③代入①得7x﹣3（8﹣2x）＝2，
解得x＝2，
把x＝2代入③得y＝4，
∴方程组的解为，
故选：B．
【例题：根据二元一次方程组的解求值】
19．已知是二元一次方程组的解，则m﹣n的值是（　　）
A．﹣2 B．﹣3 C．1 D．﹣4
【分析】把方程组的解代入方程组得到关于m，n的方程组，求出m，n的值，代入代数式求值即可．
【解答】解：把方程组的解代入方程组得，
解得，
∴m﹣n＝﹣4+1＝﹣3，
故选：B．
20．若关于x，y的方程组的解为，则a，b的值分别是（　　）
A．a＝2，b＝5 B．a＝﹣2，b＝5 C．a＝2，b＝﹣5 D．a＝﹣2，b＝﹣5
【分析】把x＝3，y＝1分别代入两个方程求出a、b．
【解答】解：把x＝3，y＝1分别代入两个方程得，
解得：，
故选：C．
21．已知关于x，y的二元一次方程组的解是，则a﹣b的值是（　　）
A．1 B．2 C．﹣1 D．0
【分析】将代入方程组即可求a、b的值．
【解答】解：∵是方程组的解，
∴，
解得，
∴a﹣b＝1﹣1＝0，
故选：D．
22．已知是关于x，y的方程组的解，则（a+b）（a﹣b）的值为（　　）
A．－ B． C．16 D．﹣16
【分析】把x、y的值代入原方程组可转化成关于a、b的二元一次方程组，即可求出a+b和a﹣b的值．
【解答】解：把代入，
得，
②﹣①得3a﹣3b＝，6，即a﹣b＝2，
②+①得﹣a﹣b＝8，即a+b＝﹣8，
所以（a+b）•（a﹣b）＝﹣16．
故选：D．
23．已知是二元一次方程组的解，则代数式a2﹣9b2的值为 　．
【分析】把方程组中可得a﹣3b＝1，a+3b＝，然后再利用平方差公式进行计算即可解答．
【解答】解：把方程组中可得：
，
由②可得：
3a+9b＝5，
∴a+3b＝，
∴a2﹣9b2＝（a+3b）（a﹣3b）
＝×1
＝，
∴a2﹣9b2的值为，
故答案为：．
【例题：解二元一次方程组】
24．若（x+y﹣5）2+|2x﹣3y﹣10|＝0，则3x﹣2y的值是（　　）
A．5 B．0 C．15 D．﹣15
【分析】根据偶次方和绝对值的非负性得出方程组，①+②得出3x﹣2y﹣15＝0，再求出答案即可．
【解答】解：∵（x+y﹣5）2+|2x﹣3y﹣10|＝0，
∴，
①+②，得3x﹣2y﹣15＝0，
∴3x﹣2y＝15，
故选：C．
25．解下列方程组：
（1）． （2）．
【分析】（1）先用加减消元法消掉y，求出x值，把x代入第一个方程求出y．
（2）先将方程整理，再用加减消元法求解即可．
【解答】解：（1），
由①+②得3x＝9，
解得x＝9．
将x＝3代入①得3﹣y＝4，
解得：y＝﹣1
所以原方程组的解为：．
（2），
由②×4得2x﹣（y﹣1）＝4，
2x﹣y＝3③，
由③×2得4x﹣2y＝6④，
由①+④得7x＝14，
x＝2．
将x＝2代入①得6+2y＝8．
y＝1．
所以原方程组的解为．
26．解下列方程组
（1）； （2）．
【分析】（1）①+②得出3x＝15，求出x，再把x＝5代入②求出y即可；
（2）整理后②﹣①得出﹣2x＝6，求出x，再把x＝﹣3代入②求出y即可．
【解答】解：（1），
①+②，得3x＝15，
解得：x＝5，
把x＝5代入②，得5﹣3y＝8，
解得：y＝﹣1，
所以原方程组的解是；

（2）整理得：，
②﹣①，得﹣2x＝6，
解得：x＝﹣3，
把x＝﹣3代入②，得﹣6﹣3y＝1，
解得：y＝﹣，
所以原方程组的解是．
27．解下列方程组：
（1）； （2）．
【分析】（1）方程组利用代入消元法求出解即可；
（2）方程组整理后，利用代入消元法求出解即可．
【解答】解：（1），
把①代入②，得x+5＝3（x+1），
解得x＝1，
把x＝1代入①，得y＝2，
故方程组的解为；
（2），
由①，得6x﹣2y＝13③，
由②，得x﹣2y＝﹣7④，
③﹣④，得5x＝20，
解得x＝4，
把x＝4代入②，得y＝，
故方程组的解为．
【例题：解二元一次方程组—同解方程求值】
28．若关于x、y的二元一次方程组的解，也是方程3x+y＝20的解，则m的值为（　　）
A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．无法计算
【分析】把m看作已知数表示出方程组的解，代入3x+y＝20求出m的值即可．
【解答】解：，
①+②得：4x＝12m，
解得：x＝3m，
把x＝3m代入①得：3m+2y＝5m，
解得：y＝m，
把x＝3m，y＝m代入3x+y＝20得：9m+m＝20，
解得：m＝2．
故选：C．
29．如果关于x，y的方程组与的解相同，则a+b的值（　　）
A．1 B．2 C．﹣1 D．0
【分析】由题意可知方程组的解与方程组的解相同，再由b（x+y）+a（x+y）＝7，即可求a+b的值．
【解答】解：∵方程组与的解相同，
∴方程组的解与方程组的解相同，
∴方程组，
①+②得，b（x+y）+a（x+y）＝7，
∴7a+7b＝7，
∴a+b＝1，故选：A．
30．已知关于x，y的方程组和的解相同，则（3a+b）2021的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．0 D．2021
【分析】根据题意可列，求出x，y的值，然后再代入中进行计算求出a，b的值，最后把a，b的值代入式子进行计算即可解答．
【解答】解：∵关于x，y的方程组和的解相同，
∴，
解得：，
把代入中可得：
，
解得：，
∴（3a+b）2021＝（﹣3+2）2021＝﹣1，
故选：B．
31．方程组和方程组的解相同，则ab值为（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
【分析】联立，求出x，y的值，把x，y的值代入其余两个方程求出a，b的值，从而得到ab的值．
【解答】解：联立，
解得，
代入其余两个方程得，
解得，
∴ab＝4，
故选：B．
【例题：解二元一次方程组—特殊解】
32．已知关于x，y的二元一次方程组的解x，y互为相反数，则a的值为 　 　．
【分析】根据题意可得：x+y＝0，然后把y＝﹣x代入方程组进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：
x+y＝0，
∴y＝﹣x，
把y＝﹣x代入原方程组可得：
，
①+②可得：
3a+9＝0，
解得a＝﹣3，
故答案为：﹣3．
33．已知关于x、y的方程组，若x y＝1，则a＝ ．
【分析】把a看作已知数表示出方程组的解，再将表示出的x和y代入已知等式，确定出a的值即可．
【解答】解：关于x、y的方程组，
解得：．
将x＝a﹣2，y＝﹣2a+3．代入xy＝1，
（a﹣2）﹣2a+3＝1，
∴，
∴．
当3﹣2a＝0时，a＝，
当a﹣2＝1时，a＝3，
故答案为：或3．
34．已知方程组的解满足x﹣y＝3m+1，则m的值为（　　）
A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1
【分析】由方程组可得x﹣y＝﹣2，再由题意可得3m+1＝﹣2，求出m即可．
【解答】解：，
②﹣①，得36x﹣36y＝﹣72，
∴x﹣y＝﹣2，
∵x﹣y＝3m+1，
∴3m+1＝﹣2，
∴m＝﹣1，
故选：D．
35．已知关于x，y的二元一次方程组的解满足x+y＝0，则m的值为 　 　．
【分析】原方程组可化为：，解出x、y，把y＝2，x＝﹣2代入2x+y＝1﹣3m，求出m．
【解答】解原方程组可化为：，
①﹣②得，
y＝2，
把y＝2，代入②得x＝﹣2，
把y＝2，x＝﹣2代入2x+y＝1﹣3m，
得2×（﹣2）+2＝1﹣3m，
解得m＝1，
故答案为：1．
考点三：二元一次方程（组）与实际问题
【知识点巩固】
解题步骤：
步骤1：审题：仔细审题，找出题目中的 等量关系 。
步骤2：设未知数：根据题目要求设未知数。
步骤3：建立方程：根据等量关系与设立的未知数建立 二元一次方程（组） 。
步骤4：解：解二元一次方程（组）。
步骤5：检验作答。

【例题：由实际问题抽象二元一次方程】
36．某次数学竞赛共有25道题，规定：每答对一道题得+5分，每答错一道题得﹣2分，不答的题得0分．已知圆圆这次竞赛得了60分，设圆圆答对了x道题，答错了y道题，则（　　）
A．x﹣y＝20 B．x+y＝20 C．5x﹣2y＝60 D．5x+2y＝60
【分析】根据规定：每答对一道题得+5分，每答错一道题得﹣2分，不答的题得0分．圆圆这次竞赛得了60分，即可列出相应的方程，从而可以解答本题．
【解答】解：设圆答对了x道题，答错了y道题，
由每答对一道题得+5分，可知答对题目得分为5x，
由每答错一道题得﹣2分，不答的题得0分，可知扣分为2y分，
圆圆这次竞赛得了60分，可以得到5x﹣2y＝60，
故选：C．
37．今年“六•一”儿童节，李老师给同学们准备了钢笔和铅笔两种纪念品．已知铅笔的数量比钢笔的2倍少20支，设钢笔有x支，铅笔有y支，根据题意，可列二元一次方程（　　）
A．y﹣20＝2x B．y+20＝2x C．2x+y＝20 D．x+20＝2y
【分析】根据“铅笔的数量比钢笔的2倍少20支”得出等量关系：铅笔的数量＝钢笔的数量×2﹣20，依此列出方程，再变形即可．
【解答】解：设钢笔有x支，铅笔有y支，根据题意得：
y＝2x﹣20，即y+20＝2x．
故选：B．
【例题：由实际问题抽象二元一次方程组】
38．某活动小组购买了4个篮球和5个足球，一共花费435元，其中篮球的单价比足球的单价多3元，求篮球的单价和足球的单价．设篮球的单价为x元，足球的单价为y元，依题意可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据题意可得等量关系：①4个篮球的花费+5个足球的花费＝435元，②篮球的单价﹣足球的单价＝3元，根据等量关系列出方程组即可．
【解答】解：设篮球的单价为x元，足球的单价为y元，由题意得：
，
故选：D．
39．某商场购进商品后，加价40%作为销售价，商场搞优惠促销，决定由顾客抽奖决定折扣．某顾客购买甲、乙两种商品，分别抽到七折和九折，共付款399元，两种商品原售价之和为490元，设两种商品的进价分别为x、y元，根据题意所列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【分析】设两种商品的进价分别为x、y元，结合“购进商品后加价40%作为销售价．商场搞优惠促销，决定由顾客抽奖确定折扣．某顾客购买甲、乙两种商品，分别抽到七折和九折，共付款399元，两种商品原售价之和为490元”列出方程组．
【解答】解：依题意得：，
故选：C．
40．中国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？这道题的意思是：今有若干人乘车，每三人共乘一车，最终剩余2辆车：若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘．问有多少人，多少辆车？设共有x人，y辆车，可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据“每三人共乘一车，最终剩余2辆车：若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：∵每三人共乘一车，最终剩余2辆车，
∴3（y﹣2）＝x；
∵若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，
∴x＝2y+9．
∴可列方程组为．
故选：C．
41．我国古书《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问长木多少尺？如果设长木长x尺，绳长y尺，则可以列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：∵用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺，
∴y﹣x＝4.5；
∵将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，
∴x﹣y＝1．
∴根据题意可列方程组．
故选：C．
【例题：二元一次方程组的实际应用】
42．入冬后的寒潮横扫我国大部分城市，某单位为给员工准备新年礼物，计划购进A、B两款暖手宝共600个，已知购进1个A款暖手宝与2个B款暖手宝共需85元，购进2个A款暖手宝与1个B款暖手宝共需80元．求每个A款暖手宝和每个B款暖手宝的价格．
【分析】设每个A款暖手宝的价格为x元，每个B款暖手宝的价格为y元，利用总价＝单价×数量，结合“购进1个A款暖手宝与2个B款暖手宝共需85元，购进2个A款暖手宝与1个B款暖手宝共需80元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【解答】解：设每个A款暖手宝的价格为x元，每个B款暖手宝的价格为y元，
依题意得：，
解得：．
答：每个A款暖手宝的价格为25元，每个B款暖手宝的价格为30元．
43．某文具专卖店出售甲、乙两种自动铅笔，已知该店进货甲种自动铅笔4支和乙种自动铅笔2支共需22元，进货甲种自动铅笔8支所需费用比进货乙种自动铅笔4支所需费用多4元．
（1）请分别求出甲、乙两种自动铅笔的进价；
（2）已知专卖店将甲种自动铅笔每支提价1元出售，乙种自动铅笔提价20%出售，小静在该专卖店购买甲种自动铅笔m（m≥0）支、乙种自动铅笔n（n≥0）支，共花费24元，小静有哪几种购买方案？
【分析】（1）设甲种自动铅笔的进价为x元/支，乙种自动铅笔的进价为y元/支，利用总价＝单价×数量，结合“进货甲种自动铅笔4支和乙种自动铅笔2支共需22元，进货甲种自动铅笔8支所需费用比进货乙种自动铅笔4支所需费用多4元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）利用总价＝单价×数量，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为非负整数，即可得出各购买方案．
【解答】解：（1）设甲种自动铅笔的进价为x元/支，乙种自动铅笔的进价为y元/支，
依题意得：，
解得：．
答：甲种自动铅笔的进价为3元/支，乙种自动铅笔的进价为5元/支．
（2）依题意得：（3+1）m+5×（1+20%）n＝24，
∴n＝4﹣m．
∵m，n均为非负整数，
∴或或，
∴小静共有3种购买方案，
方案1：购买4支乙种自动铅笔；
方案2：购买3支甲种自动铅笔，2支乙种自动铅笔；
方案3：购买6支甲种自动铅笔．


44．某商场计划用9万元从厂家购进50台电视机．已知该厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为A型1500元/台，B型2100元/台，C型2500元/台．
（1）若该商场恰好用9万元从该厂家购进50台两种不同型号的电视机，请你研究一下该商场的进货方案；
（2）已知该商场销售A型电视机可获利150元/台，销售B型电视机可获利200元/台，销售C型电视机可获利250元/台，在（1）条件下，你将选择哪种方案，使得销售获利最多？
【分析】（1）根据两种电视是AB，BC，AC三种情况进行讨论，分别设出未知数，列出二元一次方程组求解即可；
（2）分别计算出各方案的利润，然后判断出获利最多的方案即可．
【解答】解：（1）设购进A型电视机x台，B型电视机y台，
由题意得：，
解得：，
即购进A型电视机25台，B型电视机25台；
设购进B种电视机a台，C种电视机b台．
由题意得：，
解得：（不合题意，舍去此方案），
设购进A种电视机m台，C种电视机n台．
由题意得：，
解得：，
即购进A种电视机35台，C种电视机15台；
∴商场有2种进货方案：
①A、B两种型号的电视机各购25台；
②A种型号的电视机购35台，C种型号的电视机购15台；
（2）方案①获利为：25×150+25×200＝8750（元）；
方案②获利为：35×150+15×250＝9000（元），
∵8750＜9000，
∴为使获利最多，应选择第②种进货方案：A种型号的电视机购35台，C种型号的电视机购15台．
45．一方有难，八方支援．郑州暴雨牵动数万人的心，众多企业也伸出援助之手．某公司购买了一批救灾物资并安排两种货车运往郑州．调查得知，2辆小货车与3辆大货车一次可以满载运输1800件；3辆小货车与4辆大货车一次可以满载运输2500件．
（1）求1辆大货车和1辆小货车一次可以分别满载运输多少件物资？
（2）现有3100件物资需要再次运往郑州，准备同时租用这两种货车，每辆均全部装满货物，问有哪几种租车方案？
（3）在（2）的条件下，若1辆小货车需租金400元/次，1辆大货车需租金500元/次．请选出费用最少的租车方案，并求出最少的租车费用．
【分析】（1）设1辆小货车一次可以满载运输x件物资，1辆大货车一次可以满载运输y件物资，根据“2辆小货车与3辆大货车一次可以满载运输1800件；3辆小货车与4辆大货车一次可以满载运输2500件”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设租用小货车a辆，大货车b辆，根据租用的两种货车一次可以满载运输3100件物质，即可得出关于a，b的二元一次方程，结合a，b均为正整数，即可得出各租车方案；
（3）利用租车费用＝每辆小货车的租金×租用小货车的数量+每辆大货车的租金×租用大货车的数量，即可分别求出选择各租车方案所需租车费用，比较后即可得出结论．
【解答】解：（1）设1辆小货车一次可以满载运输x件物资，1辆大货车一次可以满载运输y件物资，
依题意得：，
解得：．
答：1辆小货车一次可以满载运输300件物资，1辆大货车一次可以满载运输400件物资．
（2）设租用小货车a辆，大货车b辆，
依题意得：300a+400b＝3100，
∴a＝．
又∵a，b均为正整数，
∴或或，
∴共有3种租车方案，
方案1：租用9辆小货车，1辆大货车；
方案2：租用5辆小货车，4辆大货车；
方案3：租用1辆小货车，7辆大货车．
（3）选择方案1所需租车费为400×9+500×1＝4100（元）；
选择方案2所需租车费为400×5+500×4＝4000（元）；
选择方案3所需租车费为400×1+500×7＝3900（元）．
∵4100＞4000＞3900，
∴费用最少的租车方案为：租用1辆小货车，7辆大货车，最少租车费为3900元．
46．郑州“7.20”特大暴雨灾害，人民的生活受到了极大的影响．“一方有难，八方支援”，某市筹集了大量的生活物资，用A、B两种型号的货车，分两批运往郑州，具体运输情况如表：

第一批
第二批
A型货车的辆数（单位：辆）
1
2
B型货车的辆数（单位：辆）
3
5
累计运输物资的吨数（单位：吨）
28
50
备注：第一批、第二批每辆货车均满载
（1）求A、B两种型号货车每辆满载分别能运多少吨生活物资？
（2）该市后续又筹集了70吨生活物资，若想恰好一次全部运走，需要怎样安排两种型号的货车？有哪几种运输方案？
（3）运送生活物资到受灾地区，运输公司不收取任何费用，但是一辆A型货车需油费500元，一辆B型货车需油费450元，为了节约成本，运送上述70吨物资到郑州应选择哪种运输方案？
【分析】（1）设每辆A型货车满载能运x吨生活物资，每辆B型货车满载能运y吨生活物资，根据前两批运输所使用的货车的数量及累计运输物资的吨数，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设应安排m辆A型货车，n辆B型货车，利用运输物资的吨数＝每辆A型货车满载物资的吨数×安排A型货车的数量+每辆B型货车满载物资的吨数×安排B型货车的数量，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为自然数，即可得出各运输方案；
（3）利用选择各方案所需油费＝每辆A型货车所需油费×安排A型货车的数量+每辆B型货车所需油费×安排B型货车的数量，可求出选择各方案所需油费，比较后即可得出结论．
【解答】解：（1）设每辆A型货车满载能运x吨生活物资，每辆B型货车满载能运y吨生活物资，
依题意得：，
解得：．
答：每辆A型货车满载能运10吨生活物资，每辆B型货车满载能运6吨生活物资．
（2）设应安排m辆A型货车，n辆B型货车，
依题意得：10m+6n＝70，
∴m＝7﹣n．
又∵m，n均为自然数，
∴或或，
∴共有3种运输方案，
方案1：安排7辆A型货车；
方案2：安排4辆A型货车，5辆B型货车；
方案3：安排1辆A型货车，10辆B型货车．
（3）选择方案1所需油费500×7＝3500（元）；
选择方案2所需油费500×4+450×5＝4250（元）；
选择方案3所需油费500×1+450×10＝5000（元）．
∵3500＜4250＜5000，
∴运送上述70吨物资到郑州应选择运输方案1：安排7辆A型货车．
考点四：三元一次方程组
【例题：解三元一次方程组】
47．解方程组：．
【分析】用加减消元法解三元一次方程组．
【解答】解：，
由②﹣①，得：3x+3y＝3④，
由③﹣②，得：21x+3y＝57⑤，
由⑤﹣④，得：18x＝54，
解得：x＝3，
将x＝3代入④，得：9+3y＝3，
解得：y＝﹣2，
将x＝3，y＝﹣2代入①，得：3+2+z＝0，
解得：z＝﹣5，
∴方程组的解为：．
48．解方程组：．
【分析】利用“加减消元法”和“代入法”来解此三元一次方程组．
【解答】解：，
由①×2﹣②，得5x+3y＝11 ④，
由①+③，得5x+6y＝17 ⑤，
由⑤﹣④，并整理得y＝2，
把y＝2代入④，并解得x＝1，
把x＝1，y＝2代入①，并解得z＝3，
所以，原方程组的解是：．
49．阅读材料：善于思考的小明在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法，解法如下：
解：将方程②8x+20y+2y＝10，变形为2（4x+10y）+2y＝10③，把方程①代入③得，2×6+2y＝10，则y＝﹣1；把y＝﹣1代入①得，x＝4，所以方程组的解为：
请你解决以下问题：
（1）试用小明的“整体代换”的方法解方程组
（2）已知x、y、z，满足试求z的值．
【分析】（1）将②变形后代入方程解答即可；
（2）将原方程变形后利用加减消元解答即可．
【解答】解：（1）
将②变形得3（2x﹣3y）+4y＝11 ④
将①代入④得
3×7+4y＝11
y＝
把y＝代入①得，
∴方程组的解为
（2）
由①得3（x+4y）﹣2z＝47 ③
由②得2（x+4y）+z＝36 ④
③×2﹣④×3得z＝2