2022年江苏省苏州市高新区中考数学一模试卷（含解析）

2022年江苏省苏州市高新区中考数学一模试卷

一．选择题（本题共10小题，共30分）

1. 下列实数中，最小的无理数的是

A.  B.  C.  D.

2. 计算的结果是

A.  B.  C.  D.

3. 下列图形中，属于轴对称图形的是

A.  B.  C.  D.

4. 函数的自变量的取值范围是

A.  B. 且 C.  D. 且

5. 已知直线，将一块含角的直角三角板，按如图所示方式放置，其中、两点分别落在直线、上，若，则的度数是

A.
B.
C.
D.

6. 已知某商店有两个商品都卖了元，其中一个盈利，另一个亏损，在这次买卖中，这家商店

A. 亏损元 B. 盈利元 C. 亏损元 D. 盈利元

7. 如图，是等边的内切圆，分别切，，于点，，，是上一点，则的度数是

A.
B.
C.
D.

8. 如图，平行四边形的周长为，，以为原点，所在直线为轴建立直角坐标系，函数的图象经过▱顶点和的中点，则的值为

A.
B.
C.
D.

9. 如图，直角三角形中，两条直角边，，将绕着中点旋转一定角度，得到，点正好落在边上，和交于点，则的长为

A.
B.
C.
D.

10. 已知，矩形中，为上一定点，为上一动点，以为一边作平行四边形，点，分别在和上，若平行四边形的面积不会随点的位置改变而改变，则应满足

A.  B.  C.  D.

二．填空题（本题共8小题，共24分）

11. 年月日，天问一号探测器成功着陆火星，迈出了我国星际探测征程的重要一步．已知火星与地球的近距离约为万公里，数字用科学记数法表示为______．
12. 某班五个兴趣小组的人数分别为，，，，，已知这组数据的平均数是，则这组数据的中位数是______．
13. 因式分解：______．
14. 如图，某人跳芭蕾舞，踮起脚尖时显得下半身比上半身更修长．若以裙子腰节为分界点，身材比例正好符合黄金分割，已知从脚尖到头顶高度为，那么裙子的腰节到脚尖的距离为______结果保留根号

15. 如图是小明同学的健康码示意图，用黑白打印机打印在边长为的正方形区域内，图中黑色部分的总面积为，现在向正方形区域内随机掷点，点落入黑色部分的概率为______．
     

16. 如图，在平面直角坐标系中，线段平移至线段，连接，若点的对应点为，则点的对应点的坐标是______．
    
    
     

17. 如图，正方形的边长为，为坐标原点，和分别在轴、轴上，点是边的中点，过点的直线交线段于点，连接，若平分，则的值为______．
    
     

18. 如图所示，为矩形的边上一点，动点、同时从点出发，点沿折线运动到点时停止，点沿运动到点时停止，它们运动的速度都是秒．设、同发秒时，的面积为已知与的函数关系图象如图曲线为抛物线的一部分，则下列结论：；；当时，；当秒时，∽；其中正确的结论是______ 填序号．

三．计算题（本题共1小题，共5分）

19. 计算：．

三．解答题（本题共9小题，共71分）

20. 先化简再求值：，其中满足．
21. 求不等式组的整数解．
22. 如图，，，于点，于点．
    求证：≌；
    若，，求的长．
    
     

23. 第届冬季奥林匹克运动会简称“冬奥会”于年月日在北京开幕，本届冬奥会设个大项、个分项、个小项．某校组织了关于冬奥知识竞答活动，随机抽取了七年级若干名同学的成绩，并整理成如下不完整的频数分布表、频数分布直方图和扇形统计图：

请根据图表信息，解答下列问题：
本次知识竞答共抽取七年级同学______名；在扇形统计图中，成绩在“”这一组所对应的扇形圆心角的度数为______；
请将频数分布直方图补充完整；
该校计划对此次竞答活动成绩最高的小颖同学：奖励两枚“北京冬梦之约”的邮票．现有如图所示“北京冬梦之约”的四枚邮票供小颖选择，依次记为，，，，背面完全相同．将这四枚邮票背面朝上，洗匀放好，小颖从中随机抽取一枚不放回，再从中随机抽取一枚．请用列表或画树状图的方法，求小颖同学抽到的两枚邮票恰好是冰墩墩和雪容融的概率．

24. 如图是一台放置在水平桌面上的笔记本电脑，将其侧面抽象成如图所示的几何图形，若显示屏所在面的侧边与键盘所在面的侧边长均为，点为眼睛所在位置，为的中点，连接，当时，称点为“最佳视角点”，作，垂足在的延长线上，且．
    当时，求的长；
    若，求的长．结果精确到，参考数据：，

25. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，，交反比例函数的图象于点，点是反比例函数图象上的一动点，横坐标为，轴交直线于点，是轴上任意一点，连接，．
    求一次函数和反比例函数的表达式；
    当为何值时，为等腰直角三角形．

26. 如图，是的直径，点，在上，，点在的延长线上，．
    求证：是的切线：
    连接，若的半径长为，，求的长．
     

27. 我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形．
    如图，已知等腰直角，，请将它分成两个三角形，使它们成为偏等积三角形；
    理解运用：如图，已知为直角三角形，，以，为边向外作正方形，正方形，连接求证：与为偏等积三角形；
    如图，四边形是一片绿色花园，、是等腰直角三角形，，已知，的面积为计划修建一条经过点的笔直的小路，在边上，的延长线经过中点若小路每米造价元，请计算修建小路的总造价．

28. 如图，二次函数的图象与轴交于点、，与轴交于点，点的坐标为，是抛物线上一点点与点、、不重合．
    ______，点的坐标是______；
    连接、，证明：；
    点为的中点，点是抛物线在第二象限图象上一动点，作，把点沿直线翻折，点的对称点为点，点运动时，当点恰好落在直线上时，求点的坐标．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：、是有理数，、是无理数，
，，
，
所给的实数中，最小的无理数的是．
故选：．
首先根据无理数的含义，判断出所给的数中，无理数有哪些；然后根据实数大小比较的方法，判断出所给的实数中，最小的无理数的是哪个即可．
此题主要考查了实数大小比较的方法，以及无理数的含义和判断，解答此题的关键是要明确：无理数，也称为无限不循环小数，不能写作两整数之比．若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环．
 

2.【答案】

【解析】解：原式，
故选：．
根据同底数幂的除法法则进行计算．
本题考查了同底数幂的除法，解决本题的关键是熟记同底数幂的除法法则．
 

3.【答案】

【解析】解：选项B能找到这样的一条直线，使这个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
选项A、、不能找到这样的一条直线，使这个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
故选：．
根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
 

4.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查函数自变量的取值范围，涉及的知识点有：分式有意义，分母不为 ；平方根的被开方数是非负数．
根据被开方数大于等于 ，分母不等于 列式计算即可得解．
【解答】
解：由题意得 且 ，
解得 且 ．
故选： ．   

5.【答案】

【解析】解：，
．
故选：．
由平行线的性质：两直线平行，内错角相等直接可得：，
故选D．
本题主要考查平行线的性质，准确判断角的位置关系是解题的关键．
 

6.【答案】

【解析】解：设盈利的进价为元，亏损的进价为元，
由题意，得，，
解得：，，
成本为：元．
售价为：元，
利润为：元．
故选：．
设盈利的进价为元，亏损的进价为元，根据销售问题的数量关系建立方程求出其解即可．
本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用，一元一次方程的解法的运用，销售问题的数量关系利润售价进价的运用，解答时由销售问题的数量关系建立方程是关键．
 

7.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查三角形的内切圆与内心，等边三角形的性质、圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
如图，连接 ， ，求出 的度数即可解决问题．
【解答】
解：如图，连接 ， ．

是 的内切圆， ， 是切点，
， ，
，
是等边三角形，
，
，
，
故选： ．   

8.【答案】

【解析】解：设，，
▱的周长为，
，
，
作轴于，轴于，
，
，，
，
是的中点，
，，
，
，
解得，
，
，
故选：．
设，，根据题意得到，作轴于，轴于，解直角三角形表示出、的坐标，根据反比例函数图象上点的坐标特征得到，解得，求得的坐标，即可求得的值．
此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，平行四边形的性质以及解直角三角形，解本题的关键是求出，的值．
 

9.【答案】

【解析】解：如图，连接，

，，
，
点是中点，
，
将绕着中点旋转一定角度，得到，
，，，，
，
，
，
，
，
，，
，
又，
，，
，
，
，
故选：．
由勾股定理可求，由旋转的性质可得，，，，可得，可得，由锐角三角函数可求的长，由直角三角形的性质可求的长，即可求的长．
本题考查了旋转的性质，勾股定理，直角三角形的性质，锐角三角函数的应用，求的长是本题的关键．
 

10.【答案】

【解析】解：设，，，，




，
为上一动点，
是变量，是的系数，
平行四边形的面积不会随点的位置改变而改变，为固定值，
的系数为，为固定值，
，
，
是的中点，
，
故选：．
设，，，，根据，为上一动点，是变量，是的系数，根据平行四边形的面积不会随点的位置改变而改变，为固定值，的系数为，为固定值，，进而可得点是的中点，即可进行判断．
本题考查了矩形的性质，平行四边形的性质，解决本题的关键是掌握矩形的性质．
 

11.【答案】

【解析】解：．
故答案为：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

12.【答案】

【解析】解：某班五个兴趣小组的人数分别为，，，，，已知这组数据的平均数是，
，
这一组数从小到大排列为：，，，，，
这组数据的中位数是．
故答案为：．
先根据平均数的定义计算出的值，再把数据按从小到大的顺序排列，找出最中间的数，即为中位数．
本题考查了中位数，将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数，如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
 

13.【答案】

【解析】解：

，
故答案为：．
先提公因式，再利用平方差公式继续分解，即可解答．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
 

14.【答案】

【解析】解：设裙子的腰节到脚尖的距离为，
以裙子腰节为分界点，身材比例正好符合黄金分割，已知从脚尖到头顶高度为，
，
，
即裙子的腰节到脚尖的距离为，
故答案为：．
设裙子的腰节到脚尖的距离为，根据黄金分割的定义得，再计算即可．
本题考查了黄金分割的定义，熟记黄金分割的比值是解题的关键．
 

15.【答案】

【解析】解：正方形的面积为，黑色部分的总面积为，
向正方形区域内随机掷点，点落入黑色部分的概率为，
故答案为：．
用黑色部分的总面积除以正方形的面积即可求得概率．
本题考查了几何概率，解决本题的关键是掌握概率公式．
 

16.【答案】

【解析】解：点的对应点为，
平移规律为向右平移个单位，向上平移个单位，
点的对应点的坐标为．
故答案为：．
根据点、的坐标确定出平移规律，再根据平移规律解答即可．
本题考查了坐标与图形变化平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
 

17.【答案】或

【解析】解：如图，作交于点，连接，

平分，
，
在和中，
，
≌，
，
点是边的中点，
，
，
，
在中，，即，解得，
点，
把点的坐标代入得：，解得；
当点与点重合时，
四边形是正方形，
平分，
，
把点的坐标代入得：，解得．
故答案为：或．
分两种情况：当点在之间时，作出辅助线，求出点的坐标即可求出的值；当点与点重合时求出点的坐标即可求出的值．
本题主要考查了一次函数综合题，涉及角平分线的性质，三角形全等的判定及性质，正方形的性质理，及勾股定解题的关键是分两种情况求出．
 

18.【答案】

【解析】解：根据图可得，当点到达点时点到达点，
点、的运动的速度都是秒，
，
，故小题正确；
又从到的变化是，
，
，
在中，，
，故小题错误；
过点作于点，
，
，
，
，
当时，，故小题正确；
当秒时，点在上，此时，，
，
，，
，
又，
∽，故小题正确．
综上所述，正确的有．
故答案为：．
根据图可以判断三角形的面积变化分为三段，可以判断出当点到达点时点到达点，从而得到、的长度，再根据、是从秒到秒，可得的长度，然后表示出的长度，根据勾股定理求出的长度，然后针对各小题分析解答即可．
本题考查了动点问题的函数图象，根据图判断出点到达点时点到达点是解题的关键，也是本题的突破口．
 

19.【答案】解：原式

．

【解析】根据特殊角的三角函数值，二次根式的化简，零指数幂化简即可得出答案．
本题考查了特殊角的三角函数值，实数的运算，零指数幂，掌握是解题的关键．
 

20.【答案】解：原式



，
，
，
原式．

【解析】括号内先通分后计算，再将除法转化为乘法计算，最后根据得，整体代入求值即可．
本题考查分式的化简求值，解题关键是熟知分式混合运算的计算法则并对分式准确化简．
 

21.【答案】解：，
由得：，
由得：，
不等式组的解集为，
则不等式组的整数解为，，，，，，．

【解析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，进而确定出整数解即可．
此题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
 

22.【答案】证明：，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌；
解：≌，，，
，，
．

【解析】根据证明≌．
根据全等三角形的对应边相等即可得解．
此题考查了三角形全等的判定和性质，本题的关键是根据已知的条件证明≌．
 

23.【答案】 

【解析】解：本次知识竞答共抽取七年级同学为：名，
则在扇形统计图中，成绩在“”这一组的人数为：名，
在扇形统计图中，成绩在“”这一组所对应的扇形圆心角的度数为：，
故答案为：，；
将频数分布直方图补充完整如下：

画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中小颖同学抽到的两枚邮票恰好是冰墩墩和雪容融的结果有种，
小颖同学抽到的两枚邮票恰好是冰墩墩和雪容融的概率为．
由成绩在“”的人数除以所占百分比得出本次知识竞答共抽取七年级同学的人数，即可解决问题；
根据成绩在“”这一组的人数，即可解决问题；
画树状图，共有种等可能的结果，其中小颖同学抽到的两枚邮票恰好是冰墩墩和雪容融的结果有种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用树状图法求概率以及频数分布表、频数分布直方图等知识．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

24.【答案】解：连接，

为的中点，，
是的垂直平分线，
，
，
，
，，
，
，
的长为；
过点作，交的延长线于点，过点作，垂足为，

由题意得：
，，，
，
，
为的中点，
，
在中，，
，
，，
，
，
，
，
在中，，
，
的长约为．

【解析】连接，根据已知可得是的垂直平分线，从而可得，然后在中，利用勾股定理进行计算即可解答；
过点作，交的延长线于点，过点作，垂足为，根据题意可得，，，，，先在中，利用锐角三角函数的定义求出，的长，从而求出，，的长，再利用平行线的性质求出的度数，从而求出的度数，最后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，线段垂直平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

25.【答案】解：将点、的坐标代入一次函数表达式得：，解得，
故一次函数表达式为；
将点的坐标代入上式得：，故点的坐标为，
将点的坐标代入反比例函数表达式得：，
故反比例函数表达式为；

设点的坐标为，则点，
当为直角时，如下图，

过点作于点，
为等腰直角三角形，故DH，
即，解得舍去或；
当为直角时，
同理可得，，即，
解得舍去负值；
当为直角时，和为直角时得到的等式相同，故值也相同；
综上，或．

【解析】用待定系数法即可求解；
当为直角时，则为等腰直角三角形，故DH，即可求解；当为直角时，同理可得，，即可求解；当为直角时，和为直角时得到的等式相同，故值也相同．
本题是一次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、等腰直角三角形的性质、待定系数法求函数表达式等，其中，要注意分类求解，避免遗漏．
 

26.【答案】证明：连接，
则，又，
，
，，
∽
，
又是直径，

是的半径；
与相切；
解：设，
，，，
在中，，
，
，
，
，，，
，
，
由知，，
，
，
，
∽，
，
，
，
故EF的长为．

【解析】连接，首先得出∽，进而推出，即可得到结论；
先判断出，得出，最后用勾股定理求出，然后根据相似三角形的性质即可得出结论．
此题主要考查了切线的判定和性质，三角形的内角和定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，判断出是解本题的关键．
 

27.【答案】解：如图，作中线，则和为偏等积三角形；

证明：作，交的延长线于，

四边形是正方形，
，，
，
，
在和中，
，
≌，
，
四边形是正方形，
，
，
与为偏等积三角形；
解：由同理得，，

过点作，交的延长线于，
，
点为的中点，
，
，
≌，
，
，
，
，
，
，，
≌，
，
，
，
，
，
，
，
修建小路的总造价为元．

【解析】作中线即可得出和为偏等积三角形；
作，交的延长线于，利用证明≌，得，从而证明结论；
由同理得，，过点作，交的延长线于，首先根据平行和中点证明≌，得，再证明≌，得，从而证明，即可解决问题．
本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质等知识，熟练掌握基本几何模型，作辅助线构造全等三角形是解决本题的关键．
 

28.【答案】 

【解析】解：二次函数的图象与轴交于点，
，
解得：．
抛物线的解析式为：．
令，则，
解得：或，
．
故答案为：；；
证明：连接，，在上截取，连接，如图，

，，
，，
，
是的垂直平分线，
．
．
令，则，
，
．
，
，
．
，
，
；
解：连接，如图，

点为的中点，
，．
把点沿直线翻折，点的对称点为点，
，
，
，
．
设直线的解析式为，
，
解得：，
直线的解析式为．
设直线的解析式为，
，
．
直线的解析式为．
．
解得：．
点是抛物线在第二象限图象上一动点，
．
，

利用待定系数法解答即可；
连接，，在上截取，连接，利用线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质和三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和解答即可；
依题意画出图形，连接，利用如果一个三角形一条边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形得到，利用待定系数法求得直线的解析式，进而得到直线的解析式，将直线的解析式与抛物线解析式联立即可求得点坐标．
本题主要考查了二次函数图象的性质，待定系数法，二次函数图象上点的坐标的特征，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标的特征，等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，轴对称，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．