2022年福建省泉州市南安市中考数学一模试卷（含解析）

2022年福建省泉州市南安市中考数学一模试卷

一．选择题（本题共10小题，共40分）

1. 年月日，我国“天问一号”探测器在火星成功着陆．火星具有和地球相近的环境，与地球最近时候的距离约将数字用科学记数法表示为

A.  B.  C.  D.

2. 如图，该几何体的主视图是

A.
B.
C.
D.

3. 下列选项中能使▱成为菱形的是

A.  B.  C.  D.

4. 如图，在数轴上，点、分别表示、，且，若，则点表示的数为

A.  B.  C.  D.

5. 下列计算正确的是

A.  B.  C.  D.

6. 在庆祝中国共产党成立周年的“红色记忆”校园歌咏比赛中，个参赛班级按照成绩成绩各不相同取前名进入决赛，小红知道了自己班级的比赛成绩，如果要判断自己的班级能否进入决赛，还需要知道这个参赛班级成绩的

A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差

7. 如图，是的弦，且，点是弧中点，点是优弧上的一点，，则圆心到弦的距离等于

A.
B.
C.
D.

8. 在▱中，，交于点，设，，若关于的函数解析式是，则下列说法正确的是

A.  B.
C. 四边形是菱形 D. 四边形是矩形

9. 九章算术是古代中国第一部自成体系的数学专著，其中卷第八方程记载：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十，问甲、乙持钱各几何？”译文是：今有甲、乙两人持钱不知道各有多少，甲若得到乙所有钱的，则甲有钱，乙若得到甲所有钱的，则乙也有钱．问甲、乙各持钱多少？设甲持钱数为钱，乙持钱数为钱，列出关于、的二元一次方程组是

A.  B.
C.  D.

10. 已知二次函数的图象交轴于，两点若其图象上有且只有，，三点满足，则的值是

A.  B.  C.  D.

二．填空题（本题共6小题，共24分）

11. 因式分解： ______ ．
12. 如图，中，，，，______．
    
    
     

13. 如图，一个正六边形和一个正方形各有一边在直线上，且只有一个公共顶点，则的度数为______度．

14. 如图，、是的两条切线，、是切点，若，，则的半径等于______ ．
     

15. 现有甲、乙两种糖果的单价与千克数如下表所示．

将这千克甲种糖果和千克乙种糖果混合成千克什锦糖果，若商家用加权平均数来确定什锦糖果的单价，则这千克什锦糖果的单价为______ 元千克．

16. 如图，在正方形中，点、分别在边、上，且，交于点，交于点．下列结论：
    ；
    若是的中点，则；
    连接，则为等腰直角三角形；
    的周长等于长的倍．
    其中正确结论的序号是______把你认为所有正确的都填上．

三．解答题（本题共9小题，共86分）

17. 解不等式组：．
18. 如图，在平行四边形中，是边上的中点，连接并延长交的延长线于点．
    求证：．
     

19. 先化简，再求值：，其中，．
20. 如图，在中，，．
    在线段上找到一个点，使得尺规作图，不写作法，保留作图痕迹．
    在的条件下，连接，求证：是等边三角形．

21. 如图：在平面直角坐标中，已知经过坐标原点，与轴，轴分别交于、两点，点的坐标为，与相交于点，且，求图中阴影部分的面积．
    
     

22. 某餐饮店每天限量供应某一爆款菜品大份袋，小份袋合计份，且当天全部销售完毕，其成本和售价如下表所示．

从该店店长处获悉：该餐饮店平均每天实出的小份装比大份装多份．
求该店每天销售这款爆品菜品获得的总利润．
店长为了增加利润，准备提高小份装的售价，同时降低大份装的售价，售卖时发现：小份装售价每升元，每天会少销售份；大份装售价每降元，每天可多销售份．设小份装的售价提高了元为整数每售出一份小份装可获利______元，此时大份装每天可售出______份．
当取何值时，每天获利最多？最大利润为多少元？

23. 某家庭计划购买台热销的净水器，使用寿命为十年，该款净水器的过滤由滤芯来实现，在使用过程中，滤芯需要不定期更换，在购进净水器时，可以额外购买滤芯作为备件，每个元．在净水器使用期间，如果备件不足再购买，则每个需要元．商家收集整理了台这款净水器在十年使用期内更换滤芯的个数，得到如图所示的条形图供客户参考．
    记表示台净水器在十年使用期内需更换的滤芯数，表示台净水器在购买滤芯上所需的费用．单位：元
    以这位客户所购买的净水器在十年使用期内更换滤芯的个数为样本，估计一台净水器在十年使用期内更换滤芯的个数大于的概率；
    假设这台净水器在购买的同时每台都购买个滤芯或每台都购买个滤芯，分别计算这台净水器在购买滤芯上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买台净水器的同时应购买个还是个滤芯？

24. 如图，先将绕点顺时针旋转得到，再将线段绕点顺时针旋转得到，连接、、，且．
    若．
    求证：、、三点共线；
    求的长；
    若，，点在边上，求线段的最小值．

25. 已知抛物线与轴交于点．
    直接写出抛物线的对称轴：______；
    若抛物线恒在轴下方，且符合条件的整数只有三个，求实数的最小值；
    若点的坐标是，当时，抛物线与轴只有一个公共点，求的取值范围．
    答案和解析

1.【答案】

【解析】解：将用科学记数法表示为．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．据此解答即可．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

2.【答案】

【解析】解：从正面看，可得如下图形，

故选：．
根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．
 

3.【答案】

【解析】解：、四边形是平行四边形，
，故选项A不符合题意；
B、四边形是平行四边形，，
▱为菱形，故选项B符合题意；
C、四边形是平行四边形，，
▱为矩形，故选项C不符合题意；
D、四边形是平行四边形，，
▱为矩形，故选项D不符合题意；
故选：．
由菱形的判定、矩形的判定以及平行四边形的性质分别对各个选项进行判断即可．
本题考查了菱形的判定、矩形的判定以及平行四边形的性质；熟练掌握菱形的判定和矩形的判定是解题的关键．
 

4.【答案】

【解析】

【分析】
本题主要考查数轴，相反数的性质，熟练掌握相反数的性质是解决本题的关键．
根据相反数的性质，由 ， ，由数轴得 ， ， ，故 AB 进而推断出 的值．
【解答】
解： ，
，即 与 互为相反数．
又 ，
．
．
．
，即点 表示的数为 ．
故选： ．   

5.【答案】

【解析】解：，因此选项A不正确；
B.，因此选项B正确；
C.，因此选项C不正确；
D.与不是同类项，不能合并计算，因此选项D不正确；
故选：．
根据合并同类项法则，同底数幂乘法，幂的乘方与积的乘方逐项进行计算即可．
本题考查合并同类项法则，同底数幂乘法，幂的乘方与积的乘方，掌握合并同类项法则，同底数幂乘法，幂的乘方与积的乘方的计算方法是得出正确答案的前提．
 

6.【答案】

【解析】解：个不同的成绩按从小到大排序后，中位数之后的共有个数，
故只要知道自己的班级成绩和中位数就可以知道自己的班级能否进入决赛．
故选：．
由于比赛取前名进入决赛，共有个参赛班级，根据中位数的意义分析即可．
本题考查了中位数意义．解题的关键是正确理解中位数的意义．
 

7.【答案】

【解析】解：如图，

连接、，交于点，
点是弧中点，，
，且，
，
，
，
，
故圆心到弦的距离为．
故选：．
根据题意连接、，交于点，根据垂径定理推出，且，再由圆周角定理推出，从而根据直角三角形的性质进行求解即可．
本题考查圆周角定理及垂径定理，解题的关键是根据题意作出辅助线，，从而根据垂径定理和圆周角定理进行求解，注意数形结合思想方法的运用．
 

8.【答案】

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
，，，
，
，
即，
，
，
，
，
▱是矩形，
故选：．
由平行四边形的性质得，，再证，则，得，然后得，即可得出结论．
本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质以及等腰三角形的判定等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证出是解题的关键．
 

9.【答案】

【解析】解：设甲、乙的持钱数分别为，，
根据题意可得：，
故选：．
根据“甲若得到乙所有钱的，则甲有钱，乙若得到甲所有钱的，则乙也有钱”，列出二元一次方程组解答即可．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，正确找出等量关系，列出二元一次方程组是解题的关键．
 

10.【答案】

【解析】解：二次函数的图象上有且只有，，三点满足，
三点中必有一点在二次函数的顶点上，
，
二次函数的图象的顶点坐标为，
令，则，
解得或，
与轴的交点为，，
，
．
故选：．
由已知条件可判定三点中必有一点在二次函数的顶点上，通过求解二次函数的顶点的坐标及与坐标轴的交点坐标利用三角形的面积公式可求解值．
本题主要考查二次函数的图象与性质，二次函数与坐标轴的交点，二次函数图象上点的坐标的特征，判定，，点的位置是解题的关键．
 

11.【答案】

【解析】解：．
故答案为：．
利用提公因式法求解．
本题考查因式分解，解题关键是熟练掌握因式分解的各种方法．
 

12.【答案】

【解析】解：在中，，，，
，
．
故答案为：．
由含角的直角三角形的性质可求解，再利用勾股定理可求解，
本题主要考查含角的直角三角形的性质，勾股定理，利用含角的直角三角形的性质求解的长是解题的关键．
 

13.【答案】

【解析】解：正六边形的每个内角是，正方形的每个内角是，
，，
．
故答案为：．
利用正多边形的性质求出，即可解决问题．
本题考查正多边形与圆，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

14.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查了切线长定理、切线的性质和直角三角形的性质，是基础知识，要熟练掌握．
根据切线的性质求得 ， ，再由直角三角形的性质得 ．
【解答】
解： 、 是 的两条切线，
， ，
，
，
，
．
故答案为： ．   

15.【答案】

【解析】解：这千克什锦糖果的单价为：元千克．
故答案为：．
将两种糖果的总价算出，用它们的和除以混合后的总重量即可．
本题考查的是加权平均数的求法．本题易出现的错误是求、这两个数的平均数，对平均数的理解不正确．
 

16.【答案】

【解析】解：将绕点逆时针旋转得到，连接，

，
，
绕点逆时针旋转得到，
，，，
又，
≌，
，
而，
中，，
，故正确；
过作，交延长线于，如图：

由同理可得≌，≌，
，，
设，，则，，，，
中，，
，
解得，
，
设，则，
，，
中，，
，
故不正确；
，，
∽，
，
，
，
∽，
，
，
为等腰直角三角形，故正确，
的周长





，故不正确．
故答案为：．
将绕点逆时针旋转得到，连接，证明≌，可得，中，有，即得，故正确；
过作，交延长线于，设，，中，，解得，设，则，中，根据等角的正切可得，故不正确．
由，，得∽，列比例式，可得∽，从而，为等腰直角三角形，故正确；
根据三角形周长和等量代换可判断．
此题考查了全等三角形的性质和判定，正方形的性质，旋转的性质，勾股定理等知识的综合应用，熟练掌握全等三角形的判定定理和正确作辅助线是解决此类题的关键．
 

17.【答案】解：由，得：，
由，得：，
则不等式组的解集为．

【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

18.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
是边上的中点，
，
在和中，
，
≌，
，
．

【解析】由在平行四边形中，是边上的中点，易证得≌，继而证得，易得．
此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质．关键是掌握平行四边形的对边平行且相等．
 

19.【答案】解：原式

，
当，时，
原式．

【解析】先将除法转化为乘法，再约分，然后利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果，最后把与的值代入计算即可求出值．
此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

20.【答案】解：如图，点为所作；

证明：，
，
，
，
为等边三角形．

【解析】作的垂直平分线交于；
利用得到，再计算出，，然后根据等边三角形的判定方法得到结论．
本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等腰三角形的性质和等边三角形的判定．
 

21.【答案】解：，
是直径，
连接，
根据同弧对的圆周角相等得，
由题意知，，
，
即圆的半径为，
阴影部分的面积等于半圆的面积减去的面积，
．

【解析】从图中明确，然后依公式计算即可．
本题考查了扇形的面积的计算，利用了：同弧对的圆周角相等；的圆周角对的弦是直径；锐角三角函数的概念；圆、直角三角形的面积分式．
 

22.【答案】 

【解析】解：设该店每天大份菜品卖份，小份菜品卖份，
由题意得：，
解得：，
则，
该店总利润为元，
该店每天销售这款爆品菜品获得的总利润为元；
小份菜售价提高元之后，售价为元，
利润为元
小份菜售价增加元后，销量减少了份，
则目前每天销售小份菜份，
因为该菜品每天限量份，小份菜减少了份，则大份菜会增加份，
则大份菜销量为份．
每售出一份小份菜可获利元，大份菜可售出份，
故答案为：，；
假设利润为，则
，
该二次函数开口向下，对称轴为，
此时有最大值需要满足两个条件：
，
解得：，
是整数，
最大取得，
当时，元，
当时，每天获利最多，最大利润为多少元．
设该店每天大份菜品卖份，小份菜品卖份，根据题意列出方程，解方程即可；
小份装售价每升元，每天会少销售份；大份装售价每降元，每天可多销售份列出代数式即可；
根据总利润小份装利润大份装利润写出函数解析式，再根据函数的性质求函数最值．
本题考查了二次函数的应用和列代数式，关键是找出等量关系列出函数解析式．
 

23.【答案】解：由图可知，再位客户中，位客户更换滤芯的个数是个，
在十年使用期内更换滤芯的个数大于的概率：，
即估计一台净水器在十年使用期内更换滤芯的个数大于的概率为；

若每台净水器在购买同时都购买个滤芯，则这台净水器中有台在购买滤芯上的费用为，台的费用为，台的费用为，
这台机器再购买滤芯上所需费用的平均数为，
若每台净水器在购买同时都购买个滤芯，则这台净水器中有台在购买滤芯上的费用为，
台的费用为，
这台机器在购买滤芯上所需费用的平均数为，
比较两个平均数可知，购买台净水器同时应购买个滤芯．

【解析】统计出一台净水器在十年使用期内更换滤芯的个数大于的客户数，根据概率的公式计算即可；
计算总费用的平均数时，要分别将更换个滤芯所需总费用、更换个滤芯所需总费用、更换个滤芯所需总费用、更换个滤芯所需总费用乘频数．
本题考查了利用频率估计概率及平均数的应用，概率的定义：一般地，如果在一次试验中，有种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件包含其中的种结果，那么事件发生的概率，熟练掌握定义是解题关键．
 

24.【答案】证明：如图，连接，

将绕点顺时针旋转得到，
≌，，
，，，，
，
，
、、三点共线；
将线段绕点顺时针旋转得到，
，，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是矩形，
，
，，
，
；
如图，

点在边上，
当时，的长度有最小值，
由旋转的性质可得：，
，
，
，
点，点，点三点共线，
，
，
又，
四边形是正方形，
，
，，，
，
，
线段的最小值为．

【解析】由旋转的性质可得，，，，，由等腰三角形的性质可得，可证，可得结论；
通过证明四边形是矩形，可得，由等腰直角三角形的性质可求解；
由垂线段最短可得当时，的长度有最小值，先证点，点，点三点共线，由勾股定理可求的长，由正方形的性质可得，即可求解．
本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，全等三角形的性质，等腰三角形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
 

25.【答案】

【解析】解：由抛物线可得，
抛物线的对称轴为，
故答案为：；
抛物线在轴下方，
，
解得，
符合条件的整数有三个，
，
解得，
的最小值为；
点的坐标是，
，
，
时，抛物线与轴只有一个公共点，
当时，，
直线与抛物线交点坐标为，
当时，，
直线与抛物线交点坐标为，
当时，抛物线顶点在轴上，满足题意，
解得舍或；
当时，若点在轴或轴下方，点在轴上方满足题意，
则，
解得，
当时，若在轴上方，点在轴上或轴下方满足题意，
，
解得．
综上所述，或或．
由抛物线解析式直接求出对称轴即可；
由抛物线恒在轴下方可得，由符合条件的整数只有三个可得的取值范围，进而求解．
由点坐标求出的值为，求出直线，直线与抛物线的交点坐标，分类讨论，两种情况，列不等式组求解．
本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系，掌握二次函数图象与系数的关系，通过分类讨论求解．