2022年山东省济南市平阴县中考数学一模试卷（含解析）

2022年山东省济南市平阴县中考数学一模试卷

一．选择题（本题共12小题，共48分）

1. 的绝对值是

A.  B.  C.  D.

2. 如图，粮仓可以近似地看作由圆锥和圆柱组成，其主视图是

A.
B.
C.
D.
 

3. 年国民经济和社会发展统计公报显示，年我国共资助万人参加基本医疗保险其中万用科学记数法表示为

A.  B.  C.  D.

4. 如图，已知，一块含角的直角三角板，如图所示放置，，则等于

A.
B.
C.
D.

5. 下列四幅图案是四所大学校徽的主体标识，其中是中心对称图形的是

A.  B.
C.  D.

6. 如图，已知数轴上，两点表示的数分别是，，则计算正确的是

A.  B.  C.  D.

7. 计算的结果是

A.  B.  C.  D.

8. 在六张卡片上分别写有，，，，，六个数，从中随机抽取一张，卡片上的数为无理数的概率是

A.  B.  C.  D.

9. 在同一直角坐标系中，反比例函数与一次函数的图象大致是

A.  B.
C.  D.

10. 如图，在中，，按以下步骤作图：以为圆心，任意长为半径作弧，分别交、于、两点；分别以、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；作射线，交边于点若，，则线段的长为

A.  B.  C.  D.

11. 如图，为了测量某建筑物的高度，小颖采用了如下的方法：先从与建筑物底端在同一水平线上的点出发，沿斜坡行走米至坡顶处，再从处沿水平方向继续前行若干米后至点处，在点测得该建筑物顶端的仰角为，建筑物底端的俯角为，点、、、、在同一平面内，斜坡的坡度：根据小颖的测量数据，计算出建筑物的高度约为参考数据：

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米

12. 二次函数、、是常数，且的自变量与函数值的部分对应值如下表：

且当时，对应的函数值有以下结论：
；；关于的方程的负实数根在和之间；和在该二次函数的图象上，则当实数时，．
其中正确的结论是

A.  B.  C.  D.

二．填空题（本题共6小题，共24分）

13. 因式分解： ______ ．
14. 如图所示的六边形广场由若干个大小完全相同的黑色和白色正三角形组成，一只小鸟在广场上随机停留，刚好落在黑色三角形区域的概率为______．
     

15. 如图，在正五边形中，连结，交于点，则的度数为______ ．
    
    
    
     

16. 若关于的一元二次方程的一个解是，则的值是______ ．
17. 如图，正方形内接于，，分别与相切于点和点，的延长线与的延长线交于点已知，则图中阴影部分的面积为______．

18. 如图，正方形的边长为，将正方形绕点逆时针旋转角得到正方形，连接，当点恰好落在线段上时，线段的长度是______ ．

三．计算题（本题共1小题，共8分）

19. 计算：．

四．解答题（本题共8小题，共70分）

20. 解不等式组：，并写出它的所有整数解．
21. 如图，在平行四边形中，，为对角线上的两点，且求证：．

22. 为了解中考体育科目训练情况，某县从全县九年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次中考体育科目测试把测试结果分为四个等级：级：优秀；级：良好；级：及格；级：不及格，并将测试结果绘成了如下两幅不完整的统计图．请根据统计图中的信息解答下列问题：
    
    本次抽样测试的学生人数是______；
    图中的度数是______，并把图条形统计图补充完整；
    该县九年级有学生名，如果全部参加这次中考体育科目测试，请估计不及格的人数为______．
    测试老师想从位同学分别记为、、、，其中为小明中随机选择两位同学了解平时训练情况，请用列表或画树形图的方法求出选中小明的概率．
23. 如图，在中，，与相交于点，与相交于点，连接，已知．
    求证：为的切线；
    若，，求的长．
    
     

24. 年我国新型冠状病毒肺炎疫情防控工作进入常态化，某社区为检测出入小区人员体温情况，特采购了一批测温枪，已知支型号测温枪和支型号测温枪共需元，支型号测温枪和支型号测温枪共需元．
    两种型号的测温枪的单价各是多少元？
    已知该社区需要采购两种型号的测温枪共支，且型号的数量不超过型号的数量的倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．
25. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，与轴相交于点．
    求反比例函数的表达式；
    过点的直线交反比例函数的图象于另一点，交轴正半轴于点，当是以为底的等腰三角形时，求直线的函数表达式及点的坐标．

26. 在等腰中，，点是边上一点不与点、重合，连结．
    如图，若，点关于直线的对称点为点，连结，，则 ______ ；
    若，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连结．
    在图中补全图形；
    探究与的数量关系，并证明；
    如图，若，且试探究、、之间满足的数量关系，并证明．

27. 如图，抛物线经过点，，与轴正半轴交于点，且，抛物线的顶点为，对称轴交轴于点直线经过，两点．
    求抛物线及直线的函数表达式；
    点是抛物线对称轴上一点，当的值最小时，求出点的坐标及的最小值；
    连接，若点是抛物线上对称轴右侧一点，点是直线上一点，试探究是否存在以点为直角顶点的，且满足若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：．
故选：．
在数轴上，一个数所表示的点到原点的距离叫做这个数的绝对值，根据定义即可解答．
本题考查了绝对值的定义，理解绝对值的定义是解题的关键．
 

2.【答案】

【解析】解：粮仓主视图上部视图为等腰三角形，下部视图为矩形．
故选：．
粮仓主视图上部视图为等腰三角形，下部视图为矩形．
本题考查简单几何体的三视图，解题关键是掌握主视图是从正面看到的图形．
 

3.【答案】

【解析】解：万．
故选：．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少，据此判断即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键．
 

4.【答案】

【解析】解：，，


．
，
．



．
故选：．
利用三角形外角与内角的关系，先求出，利用平行线的性质得到的度数，再利用三角形外角与内角的关系求出．
本题考查了平行线的性质、直角三角形内角和定理的推论．本题亦可过点作直线的平行线，利用平行线的性质和平角求出的度数．
 

5.【答案】

【解析】解：不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B.不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C.是中心对称图形，故本选项符合题意；
D.不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：．
把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．据此判断即可．
本题考查了中心对称图形的概念，熟记定义是解答本题的关键．
 

6.【答案】

【解析】解：由图可知，，，
，，
，
故选：．
根据各点在数轴上的位置，利用绝对值的性质，把，化简即可．
本题考查了绝对值的性质，负数的绝对值等于它的相反数是解题的关键．
 

7.【答案】

【解析】解：原式，
故选：．
根据同分母的分式加减的法则计算，分母不变，分子相加减．
本题考查了分式的加减法，掌握分式的加减法的法则是解题的关键．
 

8.【答案】

【解析】解：六张卡片上分别写有，，，，，六个数，无理数的是，，
从中任意抽取一张卡片上的数为无理数的概率是：．
故选：．
先找出无理数，再利用概率公式求解即可求得答案．
此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

9.【答案】

【解析】解：当时，直线经过第一、三、四象限，双曲线经过第一、三象限，故C错误，B正确；
当时，直线经过第一、二、四象限，双曲线经过第二、四象限，故A、D错误；
故选：．
分别根据和讨论直线和双曲线在坐标系中的位置即可得．
本题主要考查反比例函数和一次函数的图象与性质，熟练掌握根据待定系数判断图象在坐标系中的位置是解题的关键．
 

10.【答案】

【解析】解：由作法得平分，
过点作于，如图，则，
在中，，
，
，
即，
．
故选：．
利用基本作图得平分，过点作于，如图，根据角平分线的性质得到则，再利用勾股定理计算出，然后利用面积法得到，最后解方程即可．
本题考查了作图基本作图：熟练掌握基本作图作已知角的角平分线也考查了角平分线的性质．
 

11.【答案】

【解析】解：如图作于，延长交于．

在中，米，：：，
米，
四边形是矩形，
米，
在中，，
米，
在中，，
米，
米．
故选：．
作于，延长交于则四边形是矩形，在中求出，再在中求出，在中求出即可解决问题．
本题考查了解直角三角形，坡度，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
 

12.【答案】

【解析】解：将，代入得：
，解得，
二次函数为：，
当时，对应的函数值，
，
，
，即，
，，，
，故不正确；
时，时，
，，
，
，
，故正确；
抛物线过，，
抛物线对称轴为，
又当时，对应的函数值，
根据对称性：当时，对应的函数值，
而时，
抛物线与轴负半轴交点横坐标在和之间，
关于的方程的负实数根在和之间，故正确；
和在该二次函数的图象上，
，，
若，则，
即，
，
，
解得，故不正确，
故选：．
将，代入得，可得二次函数为：，根据当时，对应的函数值，有，，即得，，，故不正确；由，，结合，可得，故正确；由抛物线过，，得抛物线对称轴为，而当时，对应的函数值，可知当时，对应的函数值，关于的方程的负实数根在和之间，故正确；由，，知时，，故不正确，
本题考查二次函数的综合应用，题目综合性较强，解题的关键是熟练掌握二次函数基本性质及图象特征，根据已知列方程或不等式．
 

13.【答案】

【解析】解：．
故答案为：．
利用提公因式法求解．
本题考查因式分解，解题关键是熟练掌握因式分解的各种方法．
 

14.【答案】

【解析】解：黑色三角形的面积占总面积的，
刚好落在黑色三角形区域的概率为；
故答案为：．
刚好落在黑色三角形上的概率就是黑色三角形面积与总面积的比值，从而得出答案．
本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件发生的概率．
 

15.【答案】

【解析】解：五边形是正五边形，
，
，
，
同理，
，
故答案为：．
根据五边形的内角和公式求出，根据等腰三角形的性质求出和，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和进行计算即可．
本题考查的是正多边形的内角，熟练掌握正多边形的内角的计算公式和等腰三角形的性质是解题的关键．
 

16.【答案】

【解析】解：把代入方程得，
所以，
所以．
故答案为：．
利用一元二次方程解的定义得到，然后把变形为，再利用整体代入的方法计算．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
 

17.【答案】

【解析】解：连接，，
四边形是正方形，
，
是的直径，，
，分别与相切于点和点，
，
四边形是矩形，
，
矩形是正方形，
，，，
，
是等腰直角三角形，
，
，，
，
，
图中阴影部分的面积，
故答案为：．
连接，，根据已知条件得到是的直径，，根据切线的性质得到，得到是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得到，根据梯形和圆的面积公式即可得到答案．
本题考查了正多边形与圆，正方形的性质，切线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
 

18.【答案】

【解析】解：如图，连接，过点作于，则，

将正方形绕点逆时针旋转角得到正方形，点恰好落在线段上，
，，，
，，
在中，由勾股定理得：，
．
故答案为：．
如图，作辅助线，构建直角三角形，利用勾股定理分别计算，，和的长，根据线段的和可得结论．
本题考查了旋转的性质，勾股定理，正方形的性质，等腰直角三角形，解题的关键是：作辅助线，构建等腰直角三角形和直角三角形．
 

19.【答案】解：

．

【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地化简各式是的解题的关键．
 

20.【答案】解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
原不等式组的解集为：，
该不等式组的所有整数解为：，，，，．

【解析】按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，然后再确定出其范围内的整数．
本题考查了解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

21.【答案】证明：在平行四边形中，，，
，
在和中，

≌，
．

【解析】由在平行四边形中，，易证得≌，继而证得结论．
此题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质．注意证得≌是关键．
 

22.【答案】 
 ，级的人数是：人，
如图：

 
根据题意画树形图如下：

共有种情况，选中小明的有种，
则选中小明．

【解析】解：本次抽样测试的学生人数是：人，
故答案为：；       

见答案；

根据题意得：
人，
答：不及格的人数为人．  
故答案为：；

见答案．
用级的人数除以所占的百分比求出总人数；
用乘以级所占的百分比求出的度数，再用总人数减去、、级的人数，求出级的人数，从而补全统计图；
用九年级所有得学生数乘以不及格的人数所占的百分比，求出不及格的人数；
根据题意画出树状图，再根据概率公式进行计算即可．
此题考查了条形统计图和扇形统计图的综合应用，用到的知识点是用样本估计总体、频数、频率、总数之间的关系等，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
 

23.【答案】证明：，
，
，
，
，
为的切线；
解：作于，
，，
，
，
即，
，
，
，，
，
∽，
，
即，
，
，
，
，
，
．

【解析】证即可证为的切线；
作于，利用三角形相似和勾股定理分别求出和的长度，再利用勾股定理求出即可．
本题主要考查切线的判定和性质，相似三角形的判定，勾股定理等知识，熟练利用勾股定理解直角三角形是解题的关键．
 

24.【答案】解：设型号测温枪的单价为元，型号测温枪的单价为元，
依题意，得：，
解得：，
答：型号测温枪的单价为元，型号测温枪的单价为元；
设购进型号测温枪支，则购进型号测温枪支，
依题意，得：，
解得：，
设本次采购所花总金额为元，则，
，值随值的增大而减小，
当时，取得最小值，最小值为，
当购进支型号测温枪、支型号测温枪时，所花费用最少，最少费用为元．

【解析】设种型号的测温枪的单价是元，种型号的测温枪的单价是元，根据支型号测温枪和支型号测温枪共需元，支型号测温枪和支型号测温枪共需元，列出关于，的二元一次方程组即可；
设购买型号测温枪的数量为支，则购买型号测温枪的数量为支，购买测温枪的总费用为元，根据题意列出函数关系式，再根据型号测温枪的数量不超过型号测温枪的数量的倍．得到的取值范围，根据函数的性质求出购买方案和函数最值．
本题考查了一次函数的应用、二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据个数量关系，找出关于的函数关系式．
 

25.【答案】一次函数的图象经过点，
，
解得：，
，
将代入，
得：，
，
反比例函数的表达式为；
如图，过点作轴于点，
在中，令，得，
解得：，
，
，
，
是以为底边的等腰三角形，
，
，
，
，
设直线的函数表达式为，
，，
，
解得：，
直线的函数表达式为，
联立方程组：，
解得：舍去，，
点的坐标为

【解析】根据一次函数的图象经过点，求出点的坐标，再代入，即可求得答案；
过点作轴于点，先求出点的坐标，再根据是以为底边的等腰三角形，可求出点的坐标，利用待定系数法即可求出直线的解析式，联立直线解析式和反比例函数解析式并求解即可得出点的坐标．
本题是一次函数与反比例函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，一次函数图象与坐标轴的交点，一次函数图象与反比例函数图像的交点，等腰三角形性质等，熟练掌握待定系数法和等腰三角形性质等相关知识是解题关键．
 

26.【答案】
补全图形如下：

，证明如下：
，，
是等边三角形，
，，
线段绕点顺时针旋转得到线段，
，，
，
，即，
在和中，
，
≌，
；
，证明如下：
连接，如图：

，
，
，
，
，
∽，
，，
，即，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
而，
，即．

【解析】解：，，
是等边三角形，
，
点关于直线的对称点为点，
，
；
故答案为：；
见答案
见答案

由，，可得，点关于直线的对称点为点，可得，即可得到答案；
根据题意补全图形即可；
由已知得，，，从而可得，≌，即可得；
连接，根据已知可证∽，，，从而可得≌，，又，即可得到．
本题考查等边三角形性质及应用，解题的关键是掌握有一个角等于的等腰三角形是等边三角形．
 

27.【答案】解：由点的坐标知，，
，故点的坐标为，
将点、、的坐标代入抛物线表达式得：，解得，
故抛物线的表达式为；
将点、的坐标代入一次函数表达式得：，解得，
故直线的表达式为；

点、关于抛物线的对称轴对称，
设抛物线的对称轴交于点，则点为所求点，此时，当的值最小，

理由：由函数的对称性知，，
则为最小，
当时，，故点，
由点、的坐标知，，
则，
即点的坐标为、的最小值为；

存在，理由：
设点的坐标为、点的坐标为，
当点在点的左侧时，
如图，过点、分别作轴的垂线，垂足分别为、，

由题意得：，
，
，
，
，
∽，
，
则，，，，
，
解得舍去负值，
当时，，
故点的坐标为
当点在点的右侧时，

分别过点、作抛物线对称轴的垂线，垂足分别为、，
则，，、，
同理可得：∽，
，
即，
解得舍去负值，
故，
故点的坐标为，
故点的坐标为或

【解析】用待定系数法即可求解；
点、关于抛物线的对称轴对称，设抛物线的对称轴交于点，则点为所求点，此时，当的值最小，进而求解；
当点在点的左侧时，证明∽，则，进而求解；当点在点的右侧时，同理可解．
本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．