2022年安徽省安庆四中中考数学二模试卷（含解析）

2022年安徽省安庆四中中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40分）

1. 在下列四个实数中，最小的数是

A.  B.  C.  D.

2. 下列计算正确的是

A.  B.  C.  D.

3. 截至年月日，全国已接种新冠病毒疫苗万剂次．万用科学记数法可表示为

A.  B.
C.  D.

4. 某个几何体的三视图如图所示，该几何体是

A.
B.
C.
D.

5. 已知：如图，，，，则的值为

A.
B.
C.
D.

6. 共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放辆单车，计划第三个月投放单车数量比第一个月多辆．设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为，则所列方程正确的为

A.  B.
C.  D.

7. 已知：如图，是的直径，弦、相交于点，那么的值为

A.
B.
C.
D.

8. 若一次函数与反比例函数的图象在第二象限内有两个交点，且其中一个交点的横坐标为，则二次函数的图象可能是

A.  B.  C.  D.

9. 已知，，则可表示为

A.  B.  C.  D.

10. 如图，已知正方形的边长为，点是正方形内部一点，连接，，且，点是边上一动点，连接，，则长度的最小值为

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共4小题，共20分）

11. 分解因式：______．
12. 若二次根式有意义，则的取值范围是________．
13. 如图，内接于，于点，连接，于点，若，则的长为______．
    
     

14. 对于一个函数，自变量取时，函数值也等于，则称是这个函数的不动点．已知二次函数．
    若是此函数的不动点，则的值为______．
    若此函数有两个相异的不动点、，且，则的取值范围为______．

三、解答题（本大题共9小题，共90分）

15. 先化简、再求值：，其中．
16. 平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．
    画出将向上平移个单位后得到的；
    以点为位似中心，在网格中画出与位似的图形，且使得与的相似比为：．

17. 观察以下等式：
    第个等式：，
    第个等式：，
    第个等式：，
    第个等式：，
    
    按照以上规律，解决下列问题：
    写出第个等式：；
    写出你猜想的第为正整数个等式：用含的等式表示，并证明．
18. 年北京冬奥会吉祥物冰墩墩和雪容融在一开售时，就深受大家的喜欢．某供应商今年月购进一批冰墩墩和雪容融，已知一个冰墩墩的进价比一个雪容融的进价多元，并且购买个冰墩墩和个雪容融的价格相同．
    问每个冰墩墩和雪容融的进价分别是多少元？
    根据市场实际，供应商计划用元购进这两种吉祥物个，则他本次采购时最多可以购进多少个冰墩墩？
19. 如图，某无人机兴趣小组在操场上开展活动，此时无人机在离地面米的处，无人机测得操控者的俯角为，测得点处的俯角为又经过人工测量操控者和教学楼距离为米，则教学楼的高度为多少米？
20. 如图，是的外接圆，是的直径，是延长线上一点，连接，，且．
    求证：是的切线；
    若，，求的长．

21. 某市某区在今年四月开始了第一剂新冠疫苗接种，为了解疫苗的安全、有效情况，从全区已接种市民中随机抽取部分市民进行调查．调查结果根据年龄岁分为四类：类：；类：；类：；类：现将调查结果绘制成如下不完整的统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题：
    
    抽取的类市民有______人，并补全条形统计图；
    若本次抽取人数占已接种市民人数的，估计该区已接种第一剂新冠疫苗的市民有多少人？
    区防疫站为了获取更详细的调查资料，从类市民中选出两男两女，现准备从这四人中随机抽取两人进行访谈，请用列表法或画树状图的方法求出抽取的两人恰好是一男一女的概率．
22. 关于的二次函数的图象经过点，．
    求二次函数的表达式；
    求当时，的最大值与最小值的差；
    一次函数的图象与二次函数的图象的交点坐标是，，且，求函数的最大值．
23. 如图，在四边形中，，点为上一点，且，过点作交的延长线于点，连接，．
    求证：≌；
    如图，连接交于点．
    若求证：平分；
    若，求的值．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：根据实数大小比较的方法得：
，
四个实数中，最小的数是．
故选：．
正数大于，负数小于，正数大于负数，两个负数绝对值大的反而小，据此判断即可．
本题考查了实数的大小比较方法，解答此题的关键是要明确：负数正数，两个负数绝对值大的反而小．
 

2.【答案】

【解析】解：、与不属于同类项，不能合并，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、与不属于同类项，不能合并，故C不符合题意；
D、，故D符合题意；
故选：．
利用合并同类项的法则，积的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查积的乘方，合并同类项，解答的关键是对相应的运算法则的掌握与运用．
 

3.【答案】

【解析】解：万．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

4.【答案】

【解析】解：由三视图可知：该几何体为上下两部分组成，上面是一个圆柱，下面是一个长方体且圆柱的高度和长方体的高度相当．
故选：．
由三视图可知：该几何体为上下两部分组成，上面是一个圆柱，下面是一个长方体．
本题考查了由三视图判断几何体的知识，解题的关键是具有较强的空间想象能力，难度不大．
 

5.【答案】

【解析】解：，
，；
，
．
故选C．
本题考查的是平行线的性质．由可得，，即可求解．
此类题解答的关键是熟练应用平行线的性质．
 

6.【答案】

【解析】解：由题意可得，
，
故选：．
根据题意可以列出相应的一元二次方程，从而可以解答本题．
本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，这是一道典型的增长率问题．
 

7.【答案】

【解析】解：连接．

，，
∽．
．
是的直径，
．
．
．
故选：．
连接，证明∽，从而可证明，由直径所对的圆周角是可知，故此，即可得解．
本题主要考查的是圆周角定理、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数的定义，由直角所对的圆周角是构造直角三角形是解题的关键．
 

8.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数 ，二次项系数 决定抛物线的开口方向和大小：当 时，抛物线向上开口，当 时，抛物线向下；一次项系数 和二次项系数 共同决定对称轴的位置：当 与 同号时 即 ，对称轴在 轴左； 当 与 异号时 即 ，对称轴在 轴右；常数项 决定抛物线与 轴交点．
依据直线 与反比例函数 的图象在第二象限内有一个交点的横坐标为 ，即可得 ， ，进而得出结论．
【解答】
解： 直线 与反比例函数 的图象在第二象限内有一个交点的横坐标为 ，
，
，
一次函数 与反比例函数 的图象在第二象限内有两个交点，
， ，
二次函数 的图象开口向上，
当 时， ，
抛物线 过 点，
故选： ．   

9.【答案】

【解析】解：，
，
两边同时平方得：，
移项得：，
又，
，
，
，
故选：．
把第一个式子中的移项到等号的右侧，等式两边同时平方，经过变形为，再结合第二个式子即可．
本题主要考查了完全平方公式的应用，在解题过程中的整体性代入思想也很重要．
 

10.【答案】

【解析】解：四边形是正方形，
，
，
，
，
，
点在以为直径的半圆上移动，
如图，设的中点为，作正方形关于直线对称的正方形，则点的对称点是，
连接交于，交半圆于，则线段的长即为的长度最小值，，
，，
，
，
，
的长度最小值为，
故选：．
根据正方形的性质得到，推出，得到点在以为直径的半圆上移动，如图，设的中点为，作正方形关于直线对称的正方形，则点的对应点是，连接交于，交于，则线段的长即为的长度最小值，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了轴对称最短路线问题，正方形的性质，勾股定理的综合运用．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
 

11.【答案】

【解析】解：

．
故答案为：．
先提取公因式，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
 

12.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式中被开方数是非负数的条件是解题的关键．
根据被开数 即可求解．
【解答】
解：若二次根式 有意义，
则 ，
．
故答案为 ．   

13.【答案】

【解析】解：连接并延长交于点，连接，

则为的直径，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
又，，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
连接并延长交于点，连接，由中位线定理求出，证得，则，求出，则可求出答案．
此题主要考查了圆周角定理、垂径定理、等腰直角三角形的性质、中位线定理等知识；能够将已知和所求的条件构建到同一个直角三角形中，是解答此题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：若是此函数的不动点，则抛物线经过，
将代入得，
解得，
故答案为：．
，在直线上，
令，整理得，
函数有个不动点，
，
解得，
设，
，
时，，
解得，
故答案为：．
将代入解析式求解．
，在直线上，令可得，设，由可得时，进而求解．
本题考查二次函数的新定义问题，解题关键是理解题意，掌握二次函数与方程的关系，掌握函数与方程的转化．
 

15.【答案】解：


，
当时，原式．

【解析】先将括号内的式子通分，同时将除法转化为乘法，然后约分，再算加法即可，最后将的值代入化简后的式子计算．
本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式减法和除法的运算法则．
 

16.【答案】解：如图，为所作；
如图，为所作．
 

【解析】利用点平移的坐标变换规律写出、、的坐标，然后描点即可；
延长到使，延长到使，延长到使，从而得到．
本题考查了作图位似变换：掌握画位似图形的一般步骤为先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；然后根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；最后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形也考查了平移变换．
 

17.【答案】解：第个等式为：；
第个等式为：；

等式成立；

【解析】根据提供的算式写出第个算式即可；
根据规律写出通项公式然后证明即可．
本题考查了数字的变化类问题，解题的关键是仔细观察各个等式并从中找到规律．
 

18.【答案】解：设每个雪容融的进价是元，则每个冰墩墩的进价是元，
依题意得：，
解得：，
．
答：每个冰墩墩的进价是元，每个雪容融的进价是元．
设购进个冰墩墩，则购进个雪容融，
依题意得：，
解得：．
答：他本次采购时最多可以购进个冰墩墩．

【解析】设每个雪容融的进价是元，则每个冰墩墩的进价是元，利用总价单价数量，结合购买个冰墩墩和个雪容融的价格相同，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出每个雪容融的进价，再将其代入中即可求出每个冰墩墩的进价；
设购进个冰墩墩，则购进个雪容融，利用总价单价数量，结合总价不超过元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元一次方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
 

19.【答案】解：过点作于点，过点作于点，

则四边形是矩形，
由题意得：米，米，，．
在中，，
，
米，
米，
四边形是矩形，
米，
在中，，，
是等腰直角三角形，
米，
米，
答：教学楼的高度为米．

【解析】过点作于点，过点作于点，由题意得米，米，，，再由矩形的性质米，然后证是等腰直角三角形，得米，即可解决问题．
本题考查了解直角三角形的应用中的仰角俯角问题，正确作出辅助线，构造直角三角形是解题的关键．
 

20.【答案】证明：连接，如图，

是的直径，
，
，
，
，
．
，
，
，
即，
是的半径，
是的切线；
解：，
，
，
在中，
，
，
，
，，
∽，
，
．
设，则，，
，
，
解得：或取正值，
．

【解析】根据切线的判定，连接，证明出即可，利用直径所得的圆周角为直角，三角形的内角和以及等腰三角形的性质可得答案；
由，根据锐角三角函数的意义和勾股定理可得：：：：，再根据相似三角形的性质可求出答案．
本题主要考查了圆的切线的判定，圆周角定理，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，直角三角形的边角关系定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线．
 

21.【答案】

【解析】解：根据题意可得，其他三类的百分比为，
其他三类的人数和为人，
抽取的总数为人，
抽取的类市民有人，
补全条形统计图如下：

故答案为：；

人，
答：估计该区已接种第一剂新冠疫苗的市民有人；

画树状图得：

共有种等可能的结果，抽取的两人恰好是一男生和一女生的有种结果，
抽取的两人恰好是一男生和一女生的概率为．
根据抽取的类的百分比求出其他三类的百分比，由其他三类的人数和除以其他三类的百分比可得抽取的总数，乘以抽取的类的百分比即可得抽取的类人数，从而补全条形统计图；
根据本次抽取人数占已接种市民人数的即可求解；
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好抽到一男生和一女生的情况，再利用概率公式即可求得答案．
此题考查了树状图法与列表法求概率以及条形统计图，扇形统计图．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

22.【答案】解：关于的二次函数的图象经过点，，
，
解得，
二次函数的表达式为．
，
当时随增大而减小，当时随增大而增大，
，
当时，取最小值，当时，取最大值，
的最大值与最小值的差为．
当时，
直线经过定点，
，
，，
抛物线顶点坐标为，
，
，
的最大值为．

【解析】将代入求解．
根据抛物线开口方向及顶点坐标可得当时取最小值，时取最大值，然后作差求解．
由一次函数解析式可得直线过定点，可得，因为抛物线顶点坐标为，则的最小值为，然后作差求解．
本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握抛物线图象的性质，掌握求函数经过定点的方法．
 

23.【答案】证明：，
，
，
，
，
，，
四边形是平行四边形，
，，
，
，，
，
即，
，
在和中，
，
≌；
证明：如图，连接，
由得：≌，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，，
，，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是菱形，
平分；
解：由可知，≌，
，
，
，，
，
∽，
，
四边形是平行四边形，
，
，
由可知，四边形是平行四边形，
，
∽，
，
，
，
，
即，
两边除以得：，
解得：或舍去，
．

【解析】先证，再证四边形是平行四边形，则，，然后证，则，由即可得出结论；
连接，先证四边形是平行四边形，得，，再证四边形是平行四边形，然后证平行四边形是菱形，即可得出结论；
先证∽，得，再由，得，进而证∽，得，则，然后求出，即可得出结论．
本题是四边形综合题目，考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识，本题综合性强，熟练掌握菱形的判定与性质和平行四边形的判定与性质是解题的关键，属于中考常考题型．