专题01：二次根式-2021-2022学年下学期八年级数学期末复习备考一本通（人教版&全国通用）

专题01：二次根式

1．化简得（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】先根据题意判断出a的符号，再把二次根式进行化简即可．

【详解】解：∵有意义，

∴a＜0，

∴原式=a•=，

故选：D.

【点评】本题考查的是二次根式的性质与化简，先根据题意判断出a的符号是解答此题的关键．

2．先阅读下面例题的解答过程，然后作答（       ）

例题：化简。

解：先观察，

由于，即，

且，即，

则有，试用上述例题的方法化简：

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】先将原式变形，再由15=8+7，，仿照阅读材料中的方法计算即可．

【详解】解：，

由15=8+7，

即，

则，

∴．

故选：D．

【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，读懂阅读材料中的方法是解题关键．

3．若式子有意义，则的取值可以是（       ）

A．0 B．2 C．5 D．3

【答案】D

【解析】根据分式有意义的条件，二次根式有意义的条件列出不等式，进而即可求解

【详解】解：∵式子有意义，

∴且

解得或

解得或无解

故选D

【点评】本题考查了分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，解不等式组，掌握以上知识是解题的关键．

4．下列计算结果正确的有（       ）

① ②=   ③      ④    ⑤1   ⑥

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

【答案】A

【解析】由同底数幂除法、单项式除以单项式、积的乘方、幂的乘方、零指数幂、二次根式的性质等知识，分别进行判断，即可得到答案．

【详解】解：①，故①错误；

②=，故②错误；

③不能合并，故③错误；

④ ，故④正确；

⑤1（），故⑤错误；

⑥，故⑥正确；

∴正确的选项只有④⑥；

故选：A．

【点评】本题考查了同底数幂除法、单项式除以单项式、积的乘方、幂的乘方、零指数幂、二次根式的性质等知识，解题的关键是掌握所学的知识，正确的进行判断．

5．若a＝2021×2022﹣20212，b＝1013×1008﹣1012×1007，c，则a，b，c的大小关系是（　　）

A．c＜b＜a B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a

【答案】D

【解析】先分别化简各数，然后再进行比较即可．

【详解】解：a=2021×2022-20212

=2021×（2022-2021）

=2021，

b=1013×1008﹣1012×1007

=（1012+1）（1007+1）-1012×1007

=1012×1007+1012+1007+1-1012×1007

=1012+1007+1

=2020，

c

=

=

=

=，

∴2020<c<2021，

∴b<c<a，

故选D．

【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，实数的大小比较，准确化简各数是解题的关键．

6．实数a、b在数轴上的位置如图，则的值为（　　）

A．﹣2b B．2a C．﹣2a D．2b

【答案】A

【解析】根据数轴可判断b＜-a＜0＜a＜-b，然后根据绝对值的性质以及二次根式的性质即可求出答案．

【详解】解：由数轴可知b＜-a＜0＜a＜-b，

∴b-a＜0，a+b＜0，

∴原式=-（b-a）-（a+b）

=-b+a-a-b

=-2b，

故选：A．

【点评】本题考查二次根式与数轴，解题的关键是熟练运用二次根式的性质以及绝对值的性质，本题属于基础题型．

7．若代数式有意义，则的取值范围是（       ）

A． B． C．且 D．且

【答案】B

【解析】根据二次根式被开方数大于等于零及分式有意义的条件：分母不等于零解答．

【详解】解：由题意得：，

得，

故选：B．

【点评】此题考查二次根式被开方数大于等于零及分式有意义的条件，熟记两个条件是解题的关键．

8．如图，数轴上与1，对应的点分别为A，B，点B关于点A的对称点为C，设点C表示的数为x，则化简得（　　）

A．2 B．2 C．2＋ D．3

【答案】C

【解析】首先根据对称的性质即可确定x的值，代入所求代数式进行化简变形即可；

【详解】解：∵点B关于点A的对称点为点C，

∴AB＝AC．

∴，

解得：，

∴点C表示的数x为，

∴，，

∴，

故选择：C．

【点评】本题考查了绝对值的化简、二次根式的化简等知识点．利用对称的性质求出x的值是解决本题的关键．

9．要使等式＝0成立的x的值为（　　）

A．3 B．﹣1 C．3或﹣1 D．以上都不对

【答案】A

【解析】根据二次根式有意义的条件求解即可．

【详解】且

解得

或

或（舍）

故选A

【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，以及与0相乘的数等于0，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．

10．若y＝﹣3，则（x+y）2021等于（　　）

A．1 B．5 C．﹣5 D．﹣1

【答案】D

【解析】直接利用二次根式中的被开方数是非负数，进而得出x的值，进而得出y的值，再利用有理数的乘方运算法则计算得出答案．

【详解】解：由题意可得：x﹣2≥0且4﹣2x≥0，

解得：x＝2，

故y＝﹣3，

则（x+y）2021＝﹣1．

故选：D．

【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件以及有理数的乘方运算，正确掌握被开方数的符号是解题关键．

11．下列等式一定正确的是（　　）

A．＝±9 B．﹣＝3 C．＝a D．＝-3

【答案】D

【解析】根据二次根式的性质即可判断A、B、C，根据立方根的性质即可判断D．

【详解】解：A．＝9，故本选项不符合题意；

B．﹣＝﹣3，故本选项不符合题意；

C．当a<0时，=-a，故本选项不符合题意；

D．＝﹣3，故本选项符合题意；

故选：D．

【点评】本题考查了立方根的性质和二次根式的性质与化简，能熟记二次根式的性质是解此题的关键，注意：当a≥0时，=a，当a＜0时，=-a．

12．若最简二次根式和能合并，则a、b的值分别是（　　）

A．2和1 B．1和2 C．2和2 D．1和1

【答案】D

【解析】由二次根式的定义可知，由最简二次根式和能合并，可得，由此即可求解．

【详解】解：∵最简二次根式和能合并，

∴，

∴，

解得，

故选D．

【点评】本题主要考查了二次根式的定义和最简二次根式的定义，熟知定义是解题的关键．

13．若分式有意义，则x的取值范围为_________．

【答案】

【解析】【详解】根据分式和二次根式有意义的条件即可得出答案．

解答：解：∵2021-x≥0，x−2022≠0，

∴．

故答案为：．

【点评】本题考查了分式和二次根式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是分母不等于0，二次根式有意义的条件是被开方数是非负数是解题的关键．

14．若与互为相反数，则______．

【答案】－8

【解析】根据相反数的定义得+=0，从而由，，可得， ，解出m、n的值，代入所求式子就可以求解．

【详解】解：因为，

所以m=2，n=3，所以．

故答案为：－8．

【点评】本题主要考查了非负数的性质和有理数的乘方等知识点，理解并并能应用几个非负数的和为0，则这几个数都为0是解题的关键．

15．计算：＝_____________．

【答案】

【解析】根据负整数指数幂、去绝对值及二次根式化简的法则，计算即可得到答案．

【详解】解：

＝﹣3＋3﹣＋2

＝，

故答案为：．

【点评】本题考查实数计算，解题的关键是掌握负整数指数幂、去绝对值及二次根式化简的法则．

16．若在实数范围内有意义，则的取值范围是____________．

【答案】且

【解析】根据分母不等于0，且被开方数是非负数列式求解即可．

【详解】由题意得且

解得

且

故答案为：且

【点评】本题考查了代数式有意义时字母的取值范围，代数式有意义时字母的取值范围一般从几个方面考虑：①当代数式是整式时，字母可取全体实数；②当代数式是分式时，考虑分式的分母不能为0；③当代数式是二次根式时，被开方数为非负数．

17．已知a、b满足，则的值为______．

【答案】

【解析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，求出a，进而求出b，根据有理数的乘方法则计算即可．

【详解】解：由题意得：3-a≥0，a-3≥0，

解得：a=3，

则b=-5，

∴b3=（-5）3=-125，

故答案为：-125

【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．

18．观察下列各式的特点：

①，，，，…；

②，，，，…

计算：++…+

＝_________．

【答案】

【解析】直接利用①和②得出的变化规律，进行计算即可得出答案．

【详解】解：根据①得， ，

根据②得， ，

∴原式=

 =

 =

=

 故答案为 .

【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出数字变化规律是解题的关键.

19．计算

(1)计算：．

(2)因式分解：．

【答案】(1)-36

(2)

【解析】（1）原式根据有理数的乘方，二次根式的性质，立方根的意义以及算术平方根的运算法则化简各项后，再进行乘法运算，最后进行加减运算即可得到结果；

（2）原式前三项化成完全平方，再运用平方差公式进行分解即可．

(1)

(2)

【点评】本题主要考查了实数的混合运算和因式分解，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．

20．（1）计算：．

（2）因式分解：．

【答案】（1）8 ； （2）

【解析】（1）先根据二次根式、三次根式的性质进行化简，再进行加减运算即可；

（2）先提公因式，再根据平方差公式分解即可．

【详解】（1）原式，

（2）原式．

【点评】本题考查二次根式的化简计算、三次根式的化简、有理数的混合运算及提公因式法和公式法综合运用提公因式，熟练掌握运算法则及分解因式的步骤是解题的关键．

21．（1）计算：；

（2）已知，求的值．

【答案】（1）；（2）x的值为6或-4

【解析】（1）利用绝对值的意义，二次根式的性质和零指数幂的意义解答即可；

（2）利用平方根的意义解答即可．

【详解】解：（1）

=

=

=；

（2）∵3（x-1）2-75=0，

∴3（x-1）2=75

∴（x-1）2=25

∴x-1=±5．

∴x=1±5．

∴x=6或-4．

【点评】本题主要考查了实数的运算，平方根的意义，绝对值，二次根式的性质，零指数幂的意义，正确使用上述法则进行运算是解题的关键．

22．（1）计算：       

（2）计算：

【答案】（1）2.5；（2）

【解析】（1）首先计算乘方、开方和开立方，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可．

（2）首先计算乘方，然后计算乘法、除法即可．

【详解】（1）解：原式=4-3++1

=2.5；

（2）解：原式=

=

=．

【点评】本题考查了实数的运算，在进行实数运算时，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行，有乘方、乘除的整式混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算解答．

23．先阅读下面的解答过程，然后再解答：

要对形如的式子化简，只要找到两个数，使，，即，，那么便有

．

(1)用上述方法化简：；

(2)若的整数部分为，小数部分为，求的值．

【答案】(1)

(2)

【解析】（1）利用完全平方公式得到，然后根据二次根式的性质化简即可；

（2）利用完全平方公式得到，根据二次根式的性质化简，再进行估算出a，b的值计算即可．

(1)

=

=

=

=

=

(2)

=

=

=

∵

∴

∵的整数部分为，小数部分为，

∴

∴=

【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，掌握是解题的关键．

24．先阅读下列材料，再解决问题：

阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及一次根式的性质化去一层根号．

例如：

．

解决问题：化简下列各式

(1)；

(2)．

【答案】(1)

(2)

【解析】（1）将根号里面的7拆分成4和3，4写成2的平方，3写成的平方，进而逆用完全平方和公式，最后将算式整体开方；

（2）将根号里面的9拆分成4和5，4写成2的平方，5写成的平方，进而逆用完全平方差公式，最后将算式整体开方．

(1)

解：

(2)

解：

【点评】本题考查乘法公式的逆用，能够快速的寻找，归纳，总结，并应用规律是解决本题的关键．

25．计算

(1)分解因式：

(2)计算：

【答案】(1)

(2)

【解析】（1）先提公因式，再利用平方差公式分解即可；

（2）利用二次根式化简，负指数及零指数计算即可．

(1)

原式；

(2)

原式．

【点评】本题考查了分解因式及实数的混合运算，解题的关键是找出公因式及熟记负指数及零指数的法则．

26．已知正实数a满足a+＝5，且＝1﹣a，求a﹣的值．

【答案】

【解析】【详解】由题意根据a+＝5，且＝1﹣a，利用完全平方公式和算术平方根的定义，可以求得所求式子的值．

【分析】

解：∵a+＝5，

∴，

∴，

∴a2﹣2+＝（a﹣）2＝21，

∴a﹣＝±，

∵＝1﹣a，

∴1﹣a≥0，

∴0＜a≤1，

∴a﹣＜0，

∴a﹣＝﹣．

【点评】本题考查分式的化简求值以及实数的运算，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．