专题02：二次根式的乘除-2021-2022学年下学期八年级数学期末复习备考一本通（人教版&全国通用）

专题02：二次根式的乘除

1．下列等式一定成立的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】根据求一个数的算术平方根，二次根式的性质，二次根式的乘法运算求解即可．

【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；

B. ，故该选项正确，符合题意；

C. ，故该选项不正确，不符合题意；       

D. ，故该选项不正确，不符合题意．

故选：B．

【点评】本题考查了求一个数的算术平方根，二次根式的性质，二次根式的乘法运算，正确的计算是解题的关键．

2．当时，化简的结果是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】直接利用二次根式的乘法运算法则计算、化简得出答案．

【详解】解：∵a＜0，

∴

=

=

=a•（-4a）

=-4a2．

故选：C．

【点评】此题主要考查了二次根式的乘法运算，正确化简二次根式是解题关键．

3．下列各式是最简二次根式的是（     ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】根据最简二次根式的定义即被开方数不含分母，也不含能开的尽方的因数或因式，判断即可．

【详解】解：A.，故A不符合题意；

B.，故B不符合题意；

C.，故C不符合题意；

D.是最简二次根式，故D符合题意；

故选：D．

【点评】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．

4．下列式子中，是最简二次根式的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】根据最简二次根式的条件去判断即可．

【详解】∵=，

∴不是最简二次根式，

∴A不符合题意；

∵是最简二次根式，

∴B符合题意；

∵=，

∴不是最简二次根式，

∴C不符合题意；

∵=，

∴不是最简二次根式，

∴D不符合题意；

故选B．

【点评】本题考查了最简二次根式即被开方数中不含有等于或高于根指数2的因数，熟练掌握最简二次根式的条件是解题的关键．

5．当时，化简二次根式，结果正确的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】先判断 再利用进行化简即可.

【详解】解：

故选D

【点评】本题考查的是二次根式的化简，根据隐含条件判断是解本题的关键，易错点的是化简过程中出现二次根式没有意义的情况.

6．下列计算正确的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】根据二次根式的性质与运算法则逐项计算，即可求解．

【详解】解：A. ，故原选项计算错误，不合题意；

B. 被开方数要为非负数，故故原选项计算错误，不合题意；

C. ，故原选项计算错误，不合题意；

D. ，故原选项计算正确，符合题意．

故选：D

【点评】本题考查了二次根式的性质与除法运算，熟知二次根式的性质与运算法则是解题关键．

7．如图，中，，是斜边上一点，把沿直线折叠，点落在同一平面内的处，当//BC时，线段的长为（     ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】在中，，于是得到，，如图1，当A'D//BC，设，根据折叠的性质得到，，推出，求得，，然后列方程即可得到结果．

【详解】解：中，，

，，

①如图1，

当A'D//BC，设，

把沿直线折叠，点A落在同一平面内的处，

，，

，

，，

，

，

；

，

故选：D．

【点评】本题考查了翻折变换折叠问题，等腰直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握折叠的性质．

8．等式成立的条件是（   ）

A． B．且

C． D．

【答案】D

【解析】根据二次根式有意义，分式有意义的条件列出不等式求解即可．

【详解】解：根据题意得，，

∴，

∴

故选D．

【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，熟练掌握二次根式和分式成立的条件是解答此题的关键．

9．下列实数中，有理数是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】先化简二次根式，再根据有理数的定义选择即可

【详解】解：

A、∵是无理数，故是无理数

B、∵是无理数，故是无理数

C、为有理数

D、∵是无理数，故是无理数

故选：C

【点评】本题考查二次根式的化简、无理数的定义、有理数的定义、熟练掌握有理数的定义是关键

10．估计的值为（        ）

A．0和1 B．1和2 C．2和3 D．3和4

【答案】A

【解析】先计算二次根式的乘法运算，再化简，再利用不等式的基本性质判断结果的范围即可得到答案．

【详解】解：

＜＜

＜＜

＜＜

故选：

【点评】本题考查的是二次根式的乘法运算，二次根式的化简，无理数的估算，掌握以上知识是解题的关键．

11．下列命题中，为真命题的是（       ）

A．是13的算术平方根 B．三角形的一个外角大于任何一个内角

C．是最简二次根式 D．两条直线被第三条直线所截，内错角相等

【答案】A

【解析】根据算术平方根、三角形外角定理、最简二次根式定义、平行线性质逐项判断即可求解．

【详解】解：A. “是13的算术平方根”，判断正确，符合题意；

B. “三角形的一个外角大于任何一个内角”，应为“三角形的一个外角大于和它不相邻的任意一个内角”，判断错误，不合题意；

C.“是最简二次根式，被开方数中含有分母”，不是最简二次根式，判断错误，不合题意；

D. “两条直线被第三条直线所截，内错角相等”，两条直线不一定平行，判断错误，不合题意．

故选：A

【点评】本题考查了命题、算术平方根、三角形外角定理、最简二次根式定义、平行线性质等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键，注意：题设成立，结论一定成立的命题是真命题；题设成立，结论不一定成立的命题是假命题．

12．已知，则的值为（       ）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】C

【解析】根据题意，，变形为，两边平方得，代入求值即可．

【详解】解：，

，

两边平方得， ，

即，

两边再平方得， ，

化简，得，

把代入，

得，

，

，

．

故选C．

【点评】

本题考查了分母有理化，根据二次根式的乘除法法则进行二次根式有理化．所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子．

13．如图所示的幻方中，各行、各列及各条对角线上的三个实数之积均相等，则图中、、三个实数的积为______．

【答案】18

【解析】根据每一行、每一列以及每一条对角线上的三个数字或字母的积均相等和图中的数据，可以得到方，然后求解即可．

【详解】解：∵每一行、每一列以及每一条对角线上的三个数字或字母的积均相等，

∴，

解得，，

故答案为：18．

【点评】本题考查二次根式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的等式．

14．如果式子（a≥0，b≥0）成立，则有．请按照此性质化简，使被开方数不含完全平方的因数：=_______．

【答案】

【解析】本题需先根据式子（a≥0，b≥0）成立，再根据，即可求出的值．

【详解】解：∵（a≥0，b≥0）成立，

则有，

∴；

故答案为：．

【点评】本题主要考查了二次根式的乘法，在解题时要能灵活应用二次根式的乘法的法则是本题的关键．

15．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为，点、、都在格点上，则下列结论：①；②；③的面积为；④点到直线的距离是．其中正确的是________．（填序号）

【答案】①②④

【解析】利用勾股定理求出AB的长，即可判断①；利用勾股定理分别求出AB、AC、BC的长，然后用勾股定理的逆定理即可判断② ；利用②的结论即可求解判断③ ；设A到BC的距离为h，利用面积法即可求出h，即可判断④ .

【详解】解：如图所示：

∴①正确；

∵

∴三角形ABC是直角三角形，∠BAC=90°

∴②正确；

∴

∴③错误；

∵

∴h=2

∴A到BC的距离为2

∴④正确

故答案为：①②④.

【点评】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，三角形的面积公式，点到直线的距离，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.

16．已知：若的整数部分为a，小数部分为b，则3a﹣（b+3）2＝_____．

【答案】-1

【解析】先估算无理数的范围，求出a、b的值，代入求出即可．

【详解】解：∵3＜＜4，

∴整数部分a＝3，小数部分b＝﹣3，

∴3a﹣（b+3）2＝3×3﹣（﹣3+3）2＝﹣1．

故答案为：﹣1．

【点评】此题主要考查了估算无理数的大小，二次根式的乘法，正确得出的取值范围是解题关键．

17．如图，在中，，底边，线段AB的垂直平分线交BC于点E，则的周长为__________．

【答案】2+2

【解析】根据线段垂直平分线的性质得到BE=AE，∠B=∠BAE=30°，得到∠CAE=90°，可得AE+EC=BC=2，求得AE、EC的长，再求得AC的长，即可得到结论．

【详解】解：∵DE垂直平分AB，∠B=∠C=30°，

∴BE=AE，∠B=∠BAE=30°，

∴∠CAE=180°-∠B-∠BAE-∠C =90°，

在Rt△CAE中，∠C=30°，

∴EC=2AE，

∴AE+EC=BE+EC=BC=2，即3AE=2，

∴AE=，EC=，

∴AC=，

∴∴△ACE的周长=AC+AE+CE=AC+BC=2+2，

故答案为：2+2．

【点评】本题考查了线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，二次根式的运算，等知识点，主要考查运用性质进行推理的能力．

18．在如图的方格中，若要使横，竖，斜对角的3个实数相乘都得到同样的结果，则图中的值为______．

【答案】

【解析】根据横，竖，斜对角的3个实数相乘都得到同样的结果得到关于m的方程，解方程即可求解．

【详解】解：由题意得，

解得：．

故答案为：

【点评】本题考查了一元一次方程，二次根式的乘除，根据题意列出方程是解题关键．

19．化简下列各题：

【答案】-6

【解析】根据二次根式四则运算法则计算即可．

【详解】解：原式

=3-3-1-5

=-6．

【点评】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．

20．计算：

【答案】

【解析】先运用平方差公式，完全平方公式进行运算，然后进行加减运算即可．

【详解】解：原式

【点评】本题考查了运用平方差公式，完全平方公式进行运算，二次根式的乘法．解题的关键在于熟练掌握乘法公式．

21．计算：

(1)

(2)

【答案】(1)5

(2)1

【解析】(1)利用二次根式的乘法，负整数指数幂的运算法则计算即可．

(2)先计算括号里的，把除法转化为乘法，后依次计算即可．

(1)

原式．

(2)

原式

．

【点评】本题考查了二次根式的乘法，负整数指数幂，分式的化简，熟练掌握运算法则，运算顺序是解题的关键．

22．小明在解方程时采用了下面的方法：

由，又有可得，将这两式相加可得，将两边平方可解得，经检验是原方程的解．

请你学习小明的方法，解下面的方程：

(1)解方程；

(2)解方程．

【答案】(1)

(2)x=3

【解析】（1）仿照题意求解即可；

（2）仿照题意求解即可．

(1)

解：

=-

=

=32

∵，

∴-=32÷16=2，

∴，

∴

∵=92=81，

∴，

经检验都是原方程的解，

∴方程的解是：；

(2)

解：

=

=

=8x，

∵+=4x，

∴-=8x÷4x=2，

∴

∴，

∵，

∴4x2+6x﹣5=4x2+4x+1，

∴2x=6，

解得x=3，

经检验x=3是原方程的解，

∴方程+=4x的解是：x=3．

【点评】本题主要考查二次根式的运算及乘法公式，求平方根的方法解方程，解二元一次方程组，熟练掌握二次根式的运算及乘法公式是解题的关键．

23．阅读下面问题：

＝＝－1；

1/＋＝1×(－)/ (＋)/ (－)＝－；

1/＋＝1×(－)/ (＋)/ (－)＝－；

试求：

(1)＝________；

(2)当n为正整数时，＝________；

(3)求＋＋＋…＋＋的值．

【答案】(1)

(2)

(3)9

【解析】（1）根据题目中的例子，可以将所求式子化简；

（2）根据题目中的例子，可以将所求式子化简；

（3）先将所求式子变形，然后计算即可．

【小题1】

解：，

故答案为：；

【小题2】

，

故答案为：；

【小题3】

．

【点评】本题考查二次根式的化简求值、分母有理化、平方差公式，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．

24．材料1：因为无理数是无限不循环小数，所以无理数的小数部分我们不可能全部写出来．比如：π，等，而常用的“…”或者“≈”的表示方法都不够百分百准确．

材料2：2.5的整数部分是2，小数部分是0.5，小数部分可以看成是2.5−2得来的．

材料3：任何一个无理数，都夹在两个相邻的整数之间，如，是因为．

根据上述材料，回答下列问题：

（1）的整数部分是，小数部分是．

（2）也是夹在相邻两个整数之间的，可以表示为，求的值．

（3）已知，其中x是整数，且0＜y＜1，求x+4y的倒数．

【答案】（1）4，；（2）13；（3）

【解析】（1）先估算在哪两个整数之间，即可确定的整数部分和小数部分；

（2）先估算出的整数部分，再利用不等式的性质即可确定答案；

（3）先求出的整数部分，得到3+的整数部分即为x的值，从而表示出y，求出x+4y的结果，再求x+4y的倒数即可．

【详解】解：（1）∵，

∴，

∴的整数部分是4，小数部分是-4，

故答案为：4，；

（2）∵，

∴，

∴，

∵，

∴a=6，b=7，

∴a+b=13；

（3）∵1＜＜2，

∴1+3＜3+＜2+3，

∴4＜3+＜5，

∴x=4，

y=3+-4=，

x+4y=4+4(-1）=4，

∴x+4y的倒数是．

【点评】此题主要考查了不等式的性质，以及估算无理数的大小，在确定形如（a≥0）的无理数的整数部分时，常用的方法是“夹逼法”，其依据是平方和开平方互为逆运算．在应用“夹逼法”估算无理数时，关键是找出位于无理数两边的平方数，则无理数的整数部分即为较小的平方数的算术平方根．

25．计算与化简求值：

（1）计算：；

（2）先化简，再求值（x﹣1）（x﹣2）﹣（x+1）2，其中．

（3）已知的结果中不含关于字母x的一次项，求（a+2）2﹣（1﹣a）（﹣a﹣1）的值．

（4）先化简代数式，再从2，﹣2，1，﹣1四个数中选择一个你喜欢的数代入求值．

【答案】（1）5；（2）﹣5x+1，；（3）11；（4），当a＝﹣1时，．

【解析】（1）先计算二次根式除法，化去绝对值，零指数幂，然后化简二次根式为最简二次根式，合并同类二次根式即可；

（2）根据多项式乘法法则计算，完全平方公式计算，去括号合并同类项化简后，把字母的值代入计算即可；

（3）利用完全平方公式与平方差公式，然后去括号，合并同类项，再利用多项式乘以多项式法则展开，根据没有一次项，构造方程得，解方程求出a的值，再求代数式的值即可；

（4）先把分式因式分解，通分合并，化除为乘，然后约分化为最简分式，除式的分子与分母变为0，被除式分母变为0，得出a只能取﹣1，最后代入计算求值即可．

【详解】解：（1），

原式=，

=，

＝5；

（2），

=，

=，

=，

当时，

原式＝；

（3），

=，

∵结果中不含关于字母x的一次项，

∴，

∴，

，

=，

=，

=，

∴原式＝，

＝6+5，

＝11；

（4），

=，

=，

=，

∵a+2≠0，a﹣2≠0，a﹣1≠0，

∴a不能取±2和1，

∴a只能取﹣1，

当a＝﹣1时，原式＝．

【点评】本题考查二次根式混合计算，绝对值，零指数幂，公式化简求值，多项式与x某项无关，公式化简求值，分式化简求值，掌握二次根式混合计算，绝对值，零指数幂，公式化简求值，多项式与x某项无关，公式化简求值，分式化简求值是解题关键．

26．在进行二次根式的化简与运算时，如遇到，，这样的式子，还需做进一步的化简：

==．①

==．②

===﹣1．③

以上化简的步骤叫做分母有理化．

还可以用以下方法化简：

====﹣1．④

（1）请用不同的方法化简．

（I）参照③式化简=________；

（II）参照④式化简________；

（2）化简：．

【答案】（1）（I）；（II）；（2）．

【解析】（1）根据提供的方法进行化简即可；

（2）先分母有理化，然后合并即可．

【详解】解：（1）（I）

故答案为：；

（II）

故答案为

（2）

=

=．

【点评】本题考查了分母有理化在二次根式混合运算中的应用，读懂阅读材料中所展示的方法是解答此题的关键．