2021-2022学年内蒙古乌兰察布市高二上学期期末考试数学（文）试题（解析版）

2021-2022学年内蒙古乌兰察布市高二上学期期末考试数学（文）试题

一、单选题

1．设x∈R，则x<3是0<x<3的（       ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

【答案】B

【分析】利用充分条件、必要条件的定义可得出结论.

【详解】，

因此，“”是“”的必要不充分条件.

故选：B.

2．已知命题，，则（       ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】C

【分析】利用全称量词命题的否定可得出结论.

【详解】命题为全称量词命题，该命题的否定为，.

故选：C.

3．抛物线的准线方程为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据抛物线方程求出，进而可得焦点坐标以及准线方程.

【详解】由可得，所以焦点坐标为，准线方程为：，

故选：D.

4．已知双曲线 ，则该双曲线的实轴长为（       ）

A．1 B．2 C． D．

【答案】B

【分析】根据给定的双曲线方程直接计算即可作答.

【详解】双曲线 的实半轴长，

所以该双曲线的实轴长为2.

故选：B

5．函数在处的切线方程为(       )

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用导数的几何意义即可求切线方程﹒

【详解】，

，，

，

在处的切线为：，即﹒

故选：C﹒

6．已知命题：；：若，则，则下列判断正确的是（     ）

A．为真，为真，为假 B．为真，为假，为真

C．为假，为假，为假 D．为真，为假，为假

【答案】D

【分析】先判断出命题，的真假，即可判断.

【详解】因为成立，所以命题为真，

由可得或，所以命题为假命题，

所以为真，为假，为假.

故选：D.

7．函数的最大值为（       ）

A．32 B．27 C．16 D．40

【答案】A

【分析】利用导数即可求解.

【详解】因为，所以当时，；

当时，.

所以函数在上单调递增；在上单调递增,，

因此，的最大值为.

故选：A

8．已知函数，若对任意两个不等的正数，，都有恒成立，则a的取值范围为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】将已知条件转化为时恒成立，利用参数分离的方法求出a的取值范围．

【详解】对任意都有恒成立，

则时，

，当时恒成立，

 ，当时恒成立，

，

故选：A

9．已知双曲线C：的右焦点为，一条渐近线被圆截得的弦长为2b，则双曲线C的离心率为（       ）

A． B． C．2 D．

【答案】A

【分析】求出圆心到渐近线的距离，根据弦长建立关系即可求解.

【详解】双曲线的渐近线方程为，即，

则点到渐近线的距离为，

因为弦长为，圆半径为，所以，即，

因为，所以，则双曲线的离心率为.

故选：A.

10．关于x的方程在内有解，则实数m的取值范围（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】当时，显然不成立，当时，分离变量，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解.

【详解】当时，可得显然不成立；

当时，由于方程可转化为，

令，可得，

当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，

所以当时，函数取唯一的极大值，也是最大值，

所以，所以，即，所以实数m的取值范围.

故选：A.

11．已知椭圆的左､右顶点分别为，上､下顶点分别为.点为上不在坐标轴上的任意一点，且四条直线的斜率之积大于，则的离心率的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】设，求得，得到，求得，结合，即可求解.

【详解】由椭圆的方程，可得，

设，则，

由

，

因为四条直线的斜率之积大于，即，所以，

则离心率，

又因为椭圆的离心率，

所以椭圆的离心率的取值范围是.

故选：A.

12．已知定义在R上的函数满足，且有，则的解集为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】构造，应用导数及已知条件判断的单调性，而题设不等式等价于即可得解.

【详解】设，则，

∴在R上单调递增.

又，则.

∵等价于，即，

∴，即所求不等式的解集为.

故选：A.

二、填空题

13．若p：存在，使是真命题，则实数a的取值范围是______．

【答案】

【分析】将问题分离参数得到存在，使成立，可得结论.

【详解】存在，使，即存在，使，所以．

故答案为：

14．若曲线在点处的切线斜率为，则___________.

【答案】

【分析】由导数的几何意义求解即可

【详解】，，解得.

故答案为：1

15．已知点P是双曲线右支上的一点，且以点P及焦点为定点的三角形的面积为4，则点P的坐标是_____________．

【答案】

【分析】由题可得P到x轴的距离为1，把代入，得，可得P点坐标．

【详解】设，．

由题意知，所以，

则，．

由题意可得，

把代入，得，

所以P点坐标为．

故答案为：．

16．已知，，，，使得成立，则实数a的取值范围是___________.

【答案】

【分析】由题可得，求导可得的单调性，将的最小值代入，即得.

【详解】∵，，使得成立，

∴．

由，得，

当时，，

∴在区间上单调递减，在区间上单调递增，

∴函数在区间上的最小值为．

又在上单调递增，

∴函数在区间上的最小值为，

∴，即实数的取值范围是．

故答案为：.

三、解答题

17．已知集合，.

(1)当a=3时，求.

(2)若“”是 “x∈A”的充分不必要条件，求实数a的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）解不等式求出集合、，然后根据交集的运算法则求交集；

（2）解不等式求出集合、，求出，然后根据充分不必要性列出不等式组求解.

【详解】(1)解：由题意得：当时，

可解得集合的解集为

由可解得或

故.

(2)的解集为

又

又“”是“x∈A”的充分不必要条件

解得：，故实数a的取值范围

18．已知函数．若图象上的点处的切线斜率为．

(1)求a，b的值；

(2)的极值．

【答案】(1)

(2)极大值为，极小值为

【分析】（1）求出函数的导函数，再根据图象上的点处的切线斜率为，列出方程组，解之即可得解；

（2）求出函数的导函数，根据导函数的符号求得函数的单调区间，再根据极值的定义即可得解.

【详解】(1)解：，

，

；

(2)解：由（1）得

，令，得

或，，

的极大值为，极小值为.

19．已知命题：方程表示焦点在轴上的双曲线，命题：关于的方程无实根．

(1)若命题为真命题，求实数的取值范围；

(2)若“”为假命题，"”为真命题，求实数的取值范围．

【答案】(1)；

(2).

【分析】(1)由双曲线标准方程的性质得，即可求m的范围；

(2)当q命题为真时，方程无实根，判别式小于零，求得m的范围，再由复合命题的真假得和一真一假，列出不等式组运算可得解．

【详解】(1)∵方程表示焦点在轴上的双曲线，∴，解得．

(2)若为真命题，则，解得，

∵“”为假命题，”为真命题，∴一真一假．

当真假时，“”且“或”，则；

当假真时，，则．

综上所述，实数的取值范围是．

20．已知抛物线的焦点在直线上

(1)求抛物线的方程

(2)设直线经过点，且与抛物线有且只有一个公共点，求直线的方程

【答案】(1)

(2)的方程为、、

【分析】（1）求得点的坐标，由此求得，进而求得抛物线的方程.

（2）结合图象以及判别式求得直线的方程.

【详解】(1)抛物线的焦点在轴上，且开口向上，

直线与轴的交点为，则，

所以，抛物线的方程为.

(2)当直线的斜率不存在时，直线与抛物线只有一个公共点.

那个直线的斜率存在时，设直线的方程为，

，，

，解得或.

所以直线的方程为或.

综上所述，的方程为、、.

21．已知椭圆的短轴长是2，且离心率为．

(1)求椭圆E的方程；

(2)已知，若直线与椭圆E相交于A，B两点，线段AB的中点为M，是否存在常数，使恒成立，并说明理由．

【答案】(1)；

(2)存在，理由见解析.

【分析】(1)利用离心率，短轴长求出a，b，即可求得椭圆方程.

(2)联立直线与椭圆方程，利用韦达定理计算判定，由M为线段AB的中点即可确定存在常数推理作答.

【详解】(1)因椭圆的短轴长是2，则，而离心率，解得，

所以椭圆方程为.

(2)存在常数，使恒成立， 

由消去y并整理得：，

设，，则，，

又，，

，

则有，而线段AB的中点为M，于是得，并且有

所以存在常数，使恒成立.

22．已知函数，，其中.

(1)试讨论函数的单调性；

(2)若，证明：.

【答案】(1)答案见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）先求出函数的定义域，然后求导，再根据导数的正负求出函数的单调区间，

（2）要证，只要证，由于时，，当时，令，再利用导数求出其最小值大于零即可

【详解】(1)的定义域为

当时，，在上单调递增；

当时，令，解得；令，解得；

综上所述：当时，在上单调递增，无减区间；

当时，在上单调递减，在上单调递增；

(2)，，即证：

，即证：

当时，，，

当时，令，则

在上单调递增

在上单调递增

综上所述：，即