2021-2022学年宁夏六盘山高级中学高二下学期第一次月考数学（理）试题（解析版）

2021-2022学年宁夏六盘山高级中学高二下学期第一次月考数学（理）试题

一、单选题

1．函数，自变量x由改变到（k为常数）时，函数的改变量为（       ）．

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据定义求解即可.

【详解】解：由变化率的关系，.故选：D．

2．若，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用导数的定义可求得结果.

【详解】由导数的定义可得：.

故选：A.

3．已知函数在处的切线与直线垂直，则（     ）

A．2 B．1 C．0 D．

【答案】A

【分析】根据导数的几何意义，曲线上某点处的导数值即为曲线在该点处切线的斜率，由此可得答案。

【详解】直线的斜率为 ，

则由函数在处的切线与直线垂直可得：

函数在处的切线斜率为2，即，

故选：A

4．下列命题中，真命题是（ ）

A．函数的最大值一定不是该函数的极大值

B．函数的极大值可以小于该函数的极小值

C．函数在某一闭区间上的极小值就是函数的最小值

D．函数在开区间内不存在最大值和最小值

【答案】B

【详解】函数的最值是在定义域内某个封闭区间上的最大、最小值，最值可能是极值，也可能是区间端点值；由函数图象可知，极大值可能小于极小值.结合选项可知B正确.

【解析】最值与极值的关系判断.

5．下列求导错误的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据导数的运算法则，结合基本函数的求导公式，即可判断答案.

【详解】,故A正确；

，故B正确；

，故C正确；

，故D错误；

故选：D

6．定积分的值为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】用定积分公式即可.

【详解】.

故选:D

【点睛】本题考查了定积分计算，属于基础题．

7．函数在上的极大值点为（       ）

A．0 B． C． D．

【答案】C

【分析】求出函数的导数，讨论其符号后可得函数的极大值点.

【详解】函数的导数为，令得，

又因为，所以，

当时，，当时，，

所以函数在上单调递增，在上单调递减，

所以使得函数取得极大值的的值为.

故选：C.

8．若函数在区间内满足，且，则函数在内有（     ）

A． B． C． D．无法确定

【答案】C

【分析】结果导数判断函数单调性，然后可得.

【详解】因为函数在区间内满足，所以函数在区间上单调递增，又，所以时，，即.

故选：C

9．已知，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】求出函数的导数，结合，求得答案.

【详解】由题意得：，

由得：，则 ，

故选：B

10．已知函数的导函数的图像如图所示，则下列判断正确的是（       ）

A．在区间上，函数是增函数 B．在区间上，函数是减函数

C．为函数的极小值点 D．2为函数的极大值点

【答案】D

【分析】根据导函数与原函数的关系可求解.

【详解】对于A，在区间，，故A不正确；

对于B，在区间，，故B不正确；

对于C、D，由图可知在区间上单调递增，在区间上单调递减，且，所以为函数的极大值点，故C不正确，D正确.

故选：D

11．若函数的单调递减区间为，则实数的值为

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由f′（x）=3x2-a，f（x）的单调递减区间为（-1，1），可得方程3x2-a=0的根为±1，即可得出．

【详解】由f′（x）=3x2﹣a，f（x）的单调递减区间为（﹣1，1），

可得方程3x2﹣a=0的根为±1，∴a=3．

故选：D．

【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性求参数的问题，属于基础题．

12．设 ， ，（其中是自然对数的底数），则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据题意，构造函数，进而利用函数的单调性求解即可.

【详解】解：因为，，

所以构造函数，

所以，

令，则在上恒成立，

所以在上单调递增，

因为

所以在上恒成立，即在上恒成立，

所以在上单调递增，

因为，

所以，即.

故选：C

二、填空题

13．若函数，则_____________.

【答案】

【分析】根据复合函数的导数公式求导，然后计算可得.

【详解】因为，所以.

故答案为：

14．一汽车做变速直线运动，在时刻的速度为（的单位：，的单位：）那么它在这段时间内行驶的路程为____________.

【答案】

【分析】路程为速度对时间的积分，然后运算求积分即可得到结果.

【详解】路程，

故答案为：.

15．已知函数在定义域内可导，其图象如下图，记的导函数为，则不等式的解集为______________.

【答案】

【分析】结合函数的图象，根据导函数与函数的单调性之间的关系，可得答案.

【详解】由函数图象可得，在定义域内函数的单调递减区间为 ，

故不等式的解集为：，

故答案为：

16．函数是上的单调增函数，则的取值范围是_________.

【答案】

【分析】求出函数的导数，根据函数的单调性可得不等式恒成立，求得答案.

【详解】由题意可得，

因为函数是上的单调增函数，

故恒成立，即 ，

因为，故 ，

经验证：时，恒成立，符合题意，

故答案为：

三、解答题

17．已知函数的导函数为，且满足．

(1)求

(2)求在点处的切线的方程．

【答案】(1)

(2)

【分析】利用导数的运算法则，直接计算即可

【详解】(1)∵，

(2)∴，，

∴在点处的切线方程为，即.

18．已知函数．

(1)求的单调区间；

(2)若，求的最大值与最小值．

【答案】(1)单调递增区间是和，单调递减是；

(2)函数的最大值是，函数的最小值是.

【分析】（1）利用导数和函数单调性的关系，求函数的单调区间；

（2）利用函数的单调性，列表求函数的最值.

【详解】(1)，

当，解得：或，所以函数的单调递增区间是和，

当，解得：，所以函数的单调递减区间是，

所以函数的单调递增区间是和，单调递减是；

(2)由（1）可得下表

所以函数的最大值是，函数的最小值是

19．已知函数.

(Ⅰ)求函数的单调区间；

(Ⅱ)求证：当时，.

【答案】(1)f(x)的单调增区间为(1，＋∞), 单调减区间为(0，1)；(2)见解析.

【分析】(Ⅰ)明确定义域，求出导函数，解不等式即可得到函数的单调区间；

(Ⅱ)作差构造新函数，研究函数的最值即可.

【详解】(1)依题意知函数的定义域为{x|x>0}，

∵f′(x)＝2x-2=，

由f′(x)>0， 得x>1; 由f′(x)<0， 得0<x<1

∴f(x)的单调增区间为(1，＋∞), 单调减区间为(0，1)．

 (2)设g(x)＝f（x）-3x+1=x2－2lnx-3x+4，

∴g′(x)＝2x-2--3=，

∵当x>2时，g′(x)>0，

∴g(x)在(2，＋∞)上为增函数，

∴g(x)>g(2)＝4-2ln2-6+4>0，

∴当x>2时， x2-2lnx>3x-4,

即当x>2时..

【点睛】本题考查函数的单调区间的求法，考查不等式的证明．解题时要认真审题，仔细解答，注意导数性质的灵活运用．

20．已知函数．

(1)若函数在处取得极值，求，的值；

(2)讨论函数的单调性．

【答案】(1)，

(2)答案见解析

【分析】（1）由函数在处取得极值，列方程组求出，，并验证得在处取得极小值成立.

（2）对b分类讨论，利用导数研究函数的单调性.

【详解】(1)（1）由题知，，则，即．

∴．

∵，即．

∴.

当，时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以在处取得极小值，成立.

所以，.

(2)函数的定义域为，，

所以当时，在恒成立，所以函数在单调递减；

当时，由得或，

由得，

所以在上单调递增，在和上单调递减；

综上，当时，函数在单调递减；当时， 在上单调递增，在和上单调递减；

21．已知函数，．

(1)若，求函数的极值；

(2)若函数恰有三个零点，求实数的取值范围．

【答案】(1)的极大值为，的极小值为

(2)

【分析】（1）对函数求导后，通过导数的正负可求出函数的单调区间，从而可求出函数的极值，

（2）先求出函数的极大值和极小值，则由极大值大于零，极小值小于零，可求出的取值范围

【详解】(1)因为，所以，

所以，当或时，；当时，；

所以在和单调递增，在单调递减，

所以的极大值为，的极小值为；

(2)，

当时，令，则，

所以，当或时，；当时，；

所以在和单调递增，在单调递减，

所以的极大值为，

的极小值为

又恰有三个零点，所以，解得．

综上，的取值范围为．

22．设为实数，函数，.

(1)当时，求函数与轴围成的封闭图形的面积；

(2)对于，，都有，试求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）研究的单调性，极值，画出相应的函数图象，再利用微积分定理求出函数与轴围成的封闭图形的面积；（2）问题转化为对于，，都有，则，求出相应的最值，得到不等式，求出实数的取值范围.

【详解】(1)当时，，令得，

，得:，

所以当上，，当上，，

所以函数在和上单调递增，在上单调递减，

所以当时，有极大值，

当时，有极小值，

所以其图像大致为：

函数与轴围成的封闭图形的为阴影部分，

所以其面积为

(2)函数的定义域为，，

令，可得或，列表如下：

故函数的极大值为，极小值为.

对于，，都有，则.

由（1）可知，函数在上单调递减，在上单调递增，

故当时，，

因为，且，则且不恒为零，

故函数在上单调递增，故，

由题意可得，故，实数的取值范围是.