2021-2022学年山西省晋中市祁县中学高二下学期4月月考数学试题（B）（解析版）

2021-2022学年山西省晋中市祁县中学高二下学期4月月考数学试题（B）

一、单选题

1．从1，2，3，4，5五个数中任取3个，可组成不同的等差数列的个数为(　)

A．2 B．4 C．6 D．8

【答案】D

【分析】先分析等差数列的公差可能为，再列举出所有等差数列即可．

【详解】易知组成的等差数列的公差可能为，公差为的等差数列有、、；公差为的等差数列有、、；公差为的等差数列有；公差为的等差数列有；一共个．故选D．

【点睛】本题主要考查等差数列，意在考查学生的基本运算能力，属于基础题．

2．用0到9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数（       ）

A．648 B．512 C．729 D．1000

【答案】A

【分析】0不能做首位,故按特殊位置先排法,先排百位,再排十位,个位即可.

【详解】0不能做首位,故按照百位,十位,个位的顺序排列,

共有种排法,

故选:A.

【点睛】本题考查排列组合的基本应用,属于简单题.在答题时,一般遵循特殊元素(位置)先排原则.

3．一袋中有大小相同的3个红球和2个白球，从中不放回地取球2次，每次任取一球，在第一次取到红球的条件下，第二次也取到红球的概率为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由条件概率的含义以及古典概型的概率公式求解即可．

【详解】解：因为第一次取到红球，

所以还剩下2个红球和2个白球，

故第二次也取到红球的概率为．

故选：C．

4．已知等差数列的前项和为，若，，则（       ）

A．165 B．176 C．180 D．187

【答案】D

【分析】利用等差数列通项及求和公式，根据题目条件求得公差，从而求得第6项，最后求得前11项和.

【详解】设等差数列的首项为，公差为，由，，可得解得，所以，故.

故选：D.

5．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某队员每次投篮投中的概率为0.8，且各次投篮是否投中相互独立，则该队员通过测试的概率为（       ）

A．0.896 B．0.640 C．0.512 D．0.384

【答案】A

【分析】每人投3次，至少投中2次即投中2次或3次，利用二项分布概率计算公式分别计算，然后求和即得.

【详解】该同学通过测试的概率为

故选：A．

【点睛】本题考查次独立重复试验的概率计算的应用，涉及二项分布的概率公式，考查计算能力和理解辨析能力，属基础题．

6．现有A、B、C、D、E五人，随意并排站成一排，那么A、B相邻且B在A左边的概率为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先将求出A、B、C、D、E五人，随意并排站成一排的排列种数，再运用捆绑法求得将A、捆绑，则、相邻且在A左边的排法种数，利用古典概型公式可得选项.

【详解】有A、B、C、D、E五人，随意并排站成一排的排列种数有，将A、捆绑，则、相邻且在A左边的排法种数为种，

因此，A、相邻且在左边的概率为.

故选：B.

【点睛】方法点睛：本题主要考查排列的应用，以及古典概型问题，属于中档题.常见排列数的求法为：

（1）相邻问题采取“捆绑法”；

（2）不相邻问题采取“插空法”；

（3）有限制元素采取“优先法”；

（4）特殊元素顺序确定问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数.

7．已知是各项均为正数的等比数列，若是与的等差中项，且，则（       ）

A． B．16 C． D．32

【答案】B

【分析】根据等差中项的概念及等比数列的通项公式即可求解.

【详解】设各项均为正数的等比数列的公比为，则

由等比数列{}满足是与的等差中项，

因为，即，得或（舍），

由，得，解得，

所以.

故选：B.

8．二项式的展开式中常数项为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】先根据题意求二项式展开式的通项公式，再令，解得，最后求常数项即可.

【详解】解：二项式展开式的通项公式为：，

令，解得，

所以常数项

故选：C.

【点睛】本题考查求二项式展开式的常数项，是基础题.

9．函数的图象如图所示，其导函数为，则不等式的解集为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】首先根据函数图象判断的单调区间，进而得到或时，；时，，然后将转化为或，解不等式组即可.

【详解】由函数的图象可知在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；

所以或时，；时，，

又因为或，

解得：或，

故选：C.

10．已知随机变量服从正态分布，，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由可确定，利用正态曲线的对称性，可求得答案.

【详解】由知，又因为，

所以，

故,

故选：D

11．菊花是开封市花，1983年开封市人大把菊花命名为开封市“市花”，并且举办“菊花花会”，每年10月18日至11月18日为“菊花花会”的会期.如图是某展区的一个菊花布局图，现有5个不同品种的菊花可供选择，要求相邻的两个展区不使用同一种菊花，则不同的布置方法有（       ）

A．种 B．种 C．种 D．种

【答案】D

【分析】利用分步乘法计数原理，分步完成布置这个事件，第一步布置，第二步布置，第三步布置，第四步布置，此时需分类，到相同和不相同分类，第五步布置，由计数计算可得．

【详解】先布置中心区域共有种方法，从开始沿逆时针方向进行布置四周的区域，则有种布置方法，有种布置方法.

如果与选用同一种菊花，则有种布置方法；如果与选用不同种类菊花，则有种布置方法，有种布置方法.按照分步乘法与分类加法计数原理，

则全部的布置方法有（种），

故选：.

12．已知e为自然对数的底数，是可导函数.对于任意的，恒成立且，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】由，构造函数，求导后可得在上单调递减，则有，从而可得结论

【详解】解：令，则由，

可得，

所以在上单调递减，

所以，

所以，

所以，

故选：D

【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，考查利用导数判断函数的单调性，解题的关键是由，构造函数，利用导数判断其单调性，再利用单调性可得答案，考查数学转化思想，属于中档题

二、填空题

13．数列满足，且，则_________.

【答案】

【分析】由得到是等比数列，再计算，从而得到.

【详解】由题意知：，又，故是1为首项，4为公比的等比数列，

故，故.

故答案为：.

14．有一批产品，其中有6件正品和4件次品，从中任取3件，至少有2件次品的概率为____．

【答案】

【详解】试题分析：从10件产品任取3件的取法共有，其中所取的三件中“至少有2件次品”包括2件次品、3件次品，取法分别为，．利用互斥事件的概率计算公式和古典概型的概率计算公式即可得出．

解：从10件产品任取3件的取法共有，其中所取的三件中“至少有2件次品”包括2件次品、3件次品，取法分别为，．

因此所求的概率P==．

故答案为．

点评：本题考查了互斥事件的概率计算公式和古典概型的概率计算公式，属于基础题．

15．曲线在点处的切线与直线垂直，则该切线的方程为__________.

【答案】

【分析】根据导数的几何意义，先求切线斜率，而直线的斜率，根据两条直线垂直则，代入即可得解.

【详解】由题意得，则，

所以切线的斜率.直线的斜率.

因为两直线相互垂直，所以，解得，

则.所以，则，

故该切线的方程为，即.

故答案为：

16．在疫情防控常态化条件下，各地电影院有序开放，某影院一排共有10个座位，选出3个用于观影，防疫要求选出座位的左右两边都是空位，则不同的选法有_______种（用数字回答）.

【答案】20

【解析】先将其中的7个空位排成一排，其中有6个空隙，再把三个座位放在其中的3个空隙中，结合组合数的运算公式，即可求解.

【详解】由某影院一排共有10个座位，选出3个用于观影，要求选出座位的左右两边都是空位，

可先将其中的7个空位排成一排，其中有6个空隙，

再把三个座位放在其中的3个空隙中，共有种不同方法.

故答案为：

【点睛】本题主要考查了组合的应用，其中解答中熟记组合的概念，以及组合数的计算公式，合理应用插空法求解是解答的关键，其中本题的解答中注意座位是相同元素，防止出错，着重考查分析问题和解答问题的能力.

三、解答题

17．甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量与，且的分布列为：

(1)求a，b的值；

(2)计算的均值与方差，并以此分析甲、乙的技术状况.

【答案】(1)

(2)；，；甲得分的稳定性比乙好

【分析】（1）由离散型随机变量的分布列的性质可求

（2）由离散型随机变量的分布列数学期望和方差公式，直接求解即可

【详解】(1)由离散型随机变量的分布列的性质可知，所以，

同理

(2)，

由于说明一次射击中，甲的平均得分与乙相同，但，说明甲得分的稳定性比乙好.

18．已知等差数列{an}中，a1+a5＝16，a6＝17．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2){bn}为正项数列，若{bn}的前n项和为Sn，且S1＝2，bn+1＝Sn+2，

求数列{anbn}的前n项和Tn．

【答案】(1)an＝3n﹣1；

(2).

【分析】（1）设等差数列{an}的公差为d，结合等差数列的性质可得d＝3，从而写出通项公式；

（2）由bn+1＝Sn+2及S1＝2可推导出数列{bn}是以2为首项，2为公比的等比数列，从而利用错位相减法求数列{anbn}的前n项和Tn．

【详解】(1)设等差数列{an}的公差为d，

∵a1+a5＝2a3＝16，∴a3＝8，

∴d3，

故an＝8+（n﹣3）3＝3n﹣1；

(2)当n≥2时，

∵bn+1＝Sn+2，bn＝Sn﹣1+2，

∴bn+1﹣bn＝bn，即bn+1＝2bn，

当n＝1时，b2＝S1+2＝4，也满足bn+1＝2bn，

故数列{bn}是以2为首项，2为公比的等比数列，

即bn＝2n，

故an bn＝（3n﹣1）2n，

Tn＝（3﹣1）2+（6﹣1）22+……+（3n﹣1）2n，①

2Tn＝（3﹣1）22+（6﹣1）23+……+（3n﹣1）2n+1，②

①﹣②得，

﹣Tn＝（3﹣1）2+322+323+……+3 2n﹣（3n﹣1）2n+1，

故Tn＝﹣4（3n﹣1）2n+1

＝．

19．有男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1名.选派5人外出比赛,在下列情形中各有多少种选派方法？

(1)男运动员3名，女运动员2名；

(2)至少有1名女运动员；

(3)既要有队长，又要有女运动员.

【答案】（1）共有(种)选法；（2）246；（3）191.

【详解】试题分析：（1）第一步：选3名男运动员，有种选法.第二步：选2名女运动员，有种选法.（2）将“至少1名女运动员”转化为其反面“全是男运动员”.(种).（3）当有女队长时，其他人选法任意，不选女队长时，必选男队长.其中不含女运动员的选法有种，所以不选女队长时共有种选法

试题解析：

⑴第一步：选3名男运动员，有种选法.

第二步：选2名女运动员，有种选法.

共有(种)选法.

⑵“至少1名女运动员”的反面为“全是男运动员”.

从10人中任选5人，有种选法，其中全是男运动员的选法有种.

所以“至少有1名女运动员”的选法有(种).

(3)当有女队长时，其他人选法任意，共有种选法.不选女队长时，必选男队长，共有种选法.其中不含女运动员的选法有种，所以不选女队长时共有种选法.故既要有队长，又要有女运动员的选法有(种).

点睛：做排列组合问题时首先将题意分析清楚，当遇到正面情况比较多时，可以先求其反面然后再求解，对于情况比较多的可以根据元素分析法逐一讨论分析，务必要注意讨论的完整性

20．己知函数.

(1)若，求的单调区间；

(2)若在上恒成立，求a的取值范围.

【答案】(1)增区间为，减区间为；

(2).

【分析】(1)求f(x)的定义域和导数，在定义域内研究其导数的正负，由此即可判断f(x)的单调区间；

(2)参变分离不等式，构造函数，利用导数求F(x)的最大值即可得a的范围.

【详解】(1)时，.

时，单调递增，

时，单调递减，

∴的增区间为，减区间为；

(2)由在上恒成立，故，

设，则.

当时，F(x)单调递增；当时，F(x)单调递减，

故，故.

21．某工厂为检查生产情况进行调查，从若干产品中随机抽取60件产品作为样本并称出它们的重量（单位：克），将产品按重量分成5组，分别为，并整理得到产品重量的频率分布直方图.

(1)求a的值；

(2)从上述抽取的60件产品中任取2件产品，记随机变量X为重量超过50克的产品数量，求X的分布列及数学期望；

(3)用频率代替概率，从此工厂生产的产品中任取5件产品，求恰有3件产品的重量超过40克的概率.

【答案】(1)0.035

(2)分布列见解析，

(3)

【分析】（1）根据频率分布直方图中的数据求解参数即可；

（2）先根据频率分布直方图中的数据求解出60件样本中重量在的产品的个数，再写出随机变量的所有可能取值并计算相应的概率，最后写出分布列及数学期望；

（2）根据二项分布的公式计算相应概率即可.

【详解】由频率分布直方图可知

.

由题意可知重量在的产品个数为（个），

则随机变量的所有可能取值为，

则，

，

，

故随机变量的分布列为

故.

由频率分布直方图可知重量在的产品个数为（个），

故重量在的频率为 .

由题意可知，

∴.

22．在数字通信中心信号是由数字0和1组成的序列．由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0．已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05．假设发送信号0和1是等可能的．

(1)分别求接收的信号为0和1的概率；

(2)已知接收的信号为0，求发送的信号是1的概率．

【答案】(1)0.475，0.525

(2)

【分析】（1）由全概率公式和对立事件概率公式计算．

（2）由条件概率公式计算．

【详解】(1)设“发送的信号为0”，“接收到的信号为0”，则“发送的信号为1”，“接收到的信号为1”．由题意得

，，，

，．

；

．

(2)．