第7章复数（单元提升卷）-2021-2022学年高一数学考试满分全攻略（人教A版2019必修第二册）（解析版）

第7章复数（单元提升卷）

考试时间：120分钟   满分：150分

一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．（2021·全国·高一课时练习）已知z是复数，且p:z=i；q:z+∈R.则p是q的（）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】

根据充分不必要条件的定义，先判断能不能推，再判断能不能推，即可得到答案；

【详解】

显然,当时,,

但当时,若令,

则,

所以有或,不一定有，

故是的充分不必要条件,

故选：

2．（2021·全国·高一课时练习）已知在复平面内对应的点在第四象限，则复数z的模的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

根据在复平面内对应的点在第四象限，求出m的范围，再根据复数的模结合二次函数的性质即可得出答案.

【详解】

解：因为在复平面内对应的点在第四象限，

所以，解得，

，

因为，所以，则，

所以复数z的模的取值范围是.

故选：A.

3．（2021·全国·高一课时练习）若z是复数，|z+2-2i|＝2，则|z+1-i|+|z|的最大值是（　　）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

设z＝x+yi（x，y∈R），由题意可知动点的轨迹可看作以为圆心，2为半径的圆，|z+1-i|+|z|可看作点P到和的距离之和，然后即可得到P，A，O三点共线时|z+1-i|+|z|取得最大值时,从而可求出答案.

【详解】

设z＝x+yi(x，y∈R)，

由|z+2-2i|＝2知，动点的轨迹可看作以为圆心，2为半径的圆，

|z+1-i|+|z|可看作点P到和的距离之和，

而|CO|＝，|CA|＝，

易知当P，A，O三点共线时，|z+1-i|+|z|取得最大值时，

且最大值为|PA|+|PO|＝(|CA|+2)+(|CO|+2)＝，

故选：D．

4．（2021·全国·高一课时练习）已知为虚数单位，复数，则的共轭复数在复平面内对应的点位于（       ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】A

【解析】

【分析】

利用复数的除法运算化简，求出即可得在复平面内对应的点的坐标以及所在的象限.

【详解】

，

，所以在复平面内对应的点坐标为，

所以在复平面内对应的点位于第一象限，

故选：A.

5．（2021·河北省盐山中学高一阶段练习）已知复数，则下列说法正确的是（　　）

A．z的虚部为4i B．z的共轭复数为1﹣4i

C．|z|＝5 D．z在复平面内对应的点在第二象限

【答案】B

【解析】

【分析】

根据复数的乘法除法运算化简，再由共轭复数的概念求解.

【详解】

∵，

∴ z的虚部为4,  z的共轭复数为1﹣4i，|z|，z在复平面内对应的点在第一象限.

故选：B

6．（2021·河北省盐山中学高一阶段练习）已知复数，则z的共轭复数在复平面内对应的点位于（       ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】A

【解析】

【分析】

根据复数的运算，求得复数，再利用复数的表示，即可得到复数对应的点，得到答案．

【详解】

复数，

则

所以复数在复平面内对应的点的坐标为，位于复平面内的第一象限.

故选：A

7．（2021·上海·高一期末）设，复数在复平面内对应的点位于实轴上，又函数，若曲线与直线：有且只有一个公共点，则实数的取值范围为

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

由已知求得，得到，利用导数研究单调性及过的切线的斜率，再画出图形，数形结合，即可求得实数的取值范围．

【详解】

由题意，复数在复平面内对应的点位于实轴上，

所以，即，所以，则，所以函数单调递增，且当时，，

作出函数的图象，如图所示：

又由直线过点，

设切点为，则在切点处的切线方程为，

把代入，可得，即，即，

即切线的坐标为，代入，可得，即，

又由图象可知，当，即时，

曲线与直线有且只有一个公共点，

综上所述，当时，曲线与直线有且只有一个公共点，

故选A．

【点睛】

本题主要考查了复数的基本概念，考查函数零点的判定，以及导数的几何意义和利用导数研究函数的单调性的应用，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.

8．（2021·全国·高一课时练习）已知复数对应的点在第二象限，为的共轭复数，有下列关于的四个命题：

甲：；       乙：；

丙：；       丁：．

如果只有一个假命题，则该命题是（       ）

A．甲 B．乙 C．丙 D．丁

【答案】B

【解析】

【分析】

设，根据复数所在象限、复数加法、减法、乘法和除法，结合“只有一个假命题”进行分析，由此确定正确选项.

【详解】

设，

由于对应点在第二象限，所以，

，，

，.

甲，

乙，

丙，

丁，

由于“只有一个假命题”，所以乙是假命题，的值应为.

故选：B

二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.

9．（2021·福建省漳州第一中学高一期中）已知为虚数单位，以下关于复数的四个命题中说法正确的是（       ）

A．

B．若复数满足，则

C．若是方程的虚数根，则

D．若，则复平面内对应的点位于第一象限

【答案】AC

【解析】

【分析】

根据复数的运算和复数的几何意义，逐项判断各选项的对错.

【详解】

，A对，

取，则，B错，

∵ 是方程的虚根，

∴   ，

当时，，

当时，，C对，

由可得，所以，

复平面内的对应点为，该点在第四象限，D错，

故选：AC.

10．（2021·重庆第二外国语学校高一阶段练习）下列命题为真命题的是（        ）

A．若互为共轭复数，则为实数

B．若为虚数单位，为正整数，则

C．复数（为虚数单位，为实数）为纯虚数，则

D．若为实数，为虚数单位，则“”是“复数在复平面内对应的点位于第四象限”的充要条件

【答案】ACD

【解析】

【分析】

根据共轭复数、复数运算、纯虚数、复数对应象限、充要条件等知识对选项逐一分析，由此确定正确选项.

【详解】

A选项，互为共轭复数，则，即为实数，A选项正确.

B选项，，B选项错误.

C选项，为纯虚数，所以，C正确.

D选项，在第四象限，所以，所以D选项正确.

故选：ACD

11．（2021·湖北·丹江口市第一中学高一阶段练习）设，，为复数，.下列命题中正确的是（       ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】BC

【解析】

【分析】

对于A：取特殊值判断A不成立；

对于B、C、D：直接利用复数的四则运算计算可得.

【详解】

对于A：取，满足，但是不成立，故A错误；

对于B：当时,有，又，所以,故B正确;

对于C：当时,则,所以,故C正确;

对于D：当时,则,可得.

因为，所以.故D错误

故选：BC

12．（2021·全国·高一课时练习）已知方程，则下列说法正确的是（       ）

A．若方程有一根为0，则且

B．方程可能有两个实数根

C．时，方程可能有纯虚数根

D．若方程存在实数根，则或

【答案】AD

【解析】

【分析】

将方程进行等价变形为，利用复数的定义，若复数为0，则实部为0，虚部也为0，判断AB选项；结合基本不等式求解实根的范围判断D选项；举例当且时，无纯虚根判断C.

【详解】

解：A选项：若方程有一根为0，则代入方程有，则有，，即且，故A正确；

B选项：方程可变形为：，

即，则，只有一解，故B错误；

C选项：当且时，方程仅存在一解，此时无纯虚根，故C错误；

D选项：若方程存在实数根，则，代入方程可得：，即，即，解得：或，即或，故D正确

故选：AD

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.

13．（2021·山东邹城·高一期中）设复数，其中是虚数单位，则的虚部是______．

【答案】

【解析】

【分析】

先求出，根据，最后算出答案.

【详解】

∵，

∴，

∴的虚部是．

故答案为：．

14．（2021·全国·高一课时练习）÷()=_____.

【答案】

【解析】

【分析】

先复数化成三角形式，再利用乘方和除法运算，即可得到答案；

【详解】

解：原式

，

故答案为：

15．（2021·全国·高一课时练习）在复平面内，复数对应点，复数对应点，把向量绕点顺时针旋转得到向量，则点P对应的复数是______．

【答案】

【解析】

【分析】

求出向量对应的复数，再由复数乘法的几何意义求得向量对应的复数，最后由复数加法的几何意义即可求得答案.

【详解】

解：由题意知向量对应的复数是，

再由复数乘法的几何意义得，

向量对应的复数是，

最后由复数加法的几何意义得，向量，

其对应的复数是，

所以点P对应的复数是.

故答案为：.

16．（2021·全国·高一课时练习）已知方程的两个根在复平面上对应的两点之间的距离为，则__________．

【答案】或

【解析】

【分析】

设方程的两根分别为，，用表示出，利用韦达定理求得或，分情况结合两个根在复平面上对应的两点之间的距离为，求得的值.

【详解】

解：方程的两个根在复平面上对应的两点之间的距离为，

设方程的两根分别为，，

则，得，，则，

则，

则或

当时，，

，

设在复平面上对应的点为，则，设在复平面上对应的点为，则，

则，得，

则，

当时，，，

，

此时，即，即，

∴，

故答案为：或.

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（2022·湖南·高一课时练习）计算：

(1)；

(2)．

【答案】(1)；

(2).

【解析】

【分析】

(1)利用复数三角形式的乘法法则直接进行计算作答.

(2)利用复数三角形式的除法法则直接进行计算作答.

(1).

(2)

.

18．（2022·湖南·高一课时练习）已知复数满足，的虚部为2，在复平面上所对应的点在第一象限．

(1)求；

(2)若，在复平面上的对应点分别为，，求．

【答案】(1)；

(2).

【解析】

【分析】

(1)设出复数的幅角主值，再根据已知计算求解作答.，

(2)由(1)求出点A，B，C的坐标，再借助向量数量积计算作答.

(1)因在复平面上所对应的点在第一象限，设，则，

有，因的虚部为2，即，解得，，

所以.

(2)由(1)知，，，，则点，

，，因此，，

所以.

19．（2022·湖南·高一课时练习）化简：

(1)；

(2)．

【答案】(1)；(2).

【解析】

【分析】

(1)利用复数三角形式的乘法法则直接进行计算作答.

(2)利用复数三角形式的除法法则直接进行计算作答.

(1).

(2)

.

20．（2022·湖南·高一课时练习）求实数取何值时，复数在复平面内对应的点；

(1)位于第二象限；

(2)位于第一或第三象限；

(3)在直线上．

【答案】(1)或；(2)或或；(3)或.

【解析】

【分析】

（1）可得点的坐标为，然后可得，解出即可；

（2）可得或，解出即可；

（3）将点的坐标代入直线的方程求解即可.

(1)复数在复平面内对应的点的坐标为

若点位于第二象限，则，解得或

(2)若点位于第一或第三象限，则或

解得或或

(3)若点在直线上，则

解得或

21．（2022·湖南·高一课时练习）由方程得的三个根为，则．将上式右边的各个一次因子适当分组相乘，则可变成有理系数多项式，就得到了的有理分解式．请你仿此将进行有理分解．

【答案】

【解析】

【分析】

根据题目所给的信息即可求解.

【详解】

根据题目有理分解式原理可知

的个根为，

则.

22．（2021·福建省宁化第一中学高一阶段练习）（1）已知关于的实系数方程，若是方程的一个复数根，求出，的值；

（2）已知，，均为实数，且复数在复平面内对应的点在第一象限，求实数的取值范围.

【答案】（1） （2）

【解析】

（1）把代入方程即可求解；

（2）设，计算出，均为实数，即虚部为0，求出x,y的值，，根据所在象限列不等式组得解.

【详解】

（1）由题得，

解得

（2）设，为实数，.为实数，，.，

由已知得解得，即的取值范围是.

【点睛】

此题考查复数的运算和概念辨析，关键在于根据复数的运算法则准确计算求解