第7章复数（单元基础卷）-2021-2022学年高一数学考试满分全攻略（人教A版2019必修第二册）（解析版）

第7章复数（单元基础卷）

考试时间：120分钟   满分：150分

一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．（2022·全国·高一）若复数为纯虚数，则的共轭复数是（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

由复数的类型有且，求参数m，进而写出的共轭复数.

【详解】

由题意知：且，

∴，即，故的共轭复数是.

故选：A.

2．（2021·浙江省桐乡市高级中学高一阶段练习）若复数（是虚数单位），则复数的虚部是（       ）

A．1 B．-2 C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

结合复数概念直接判断即可.

【详解】

的虚部是.

故选：B

3．（2022·全国·高一）已知复数，则（     ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

复数模的概念及复数运算法则.

【详解】

因为，所以．

故选:A.

4．（2022·全国·高一）已知i为虚数单位，若复数z满足，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

运用复数的运算法则即可.

【详解】

.

故选:A.

5．（2022·全国·高一）已知复数的实部与虚部的和为12，则（       ）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】C

【解析】

【分析】

先把已知化简，整理出复数的实部与虚部，接下来去求即可解决.

【详解】

，

则有，，解得，

则，，故．

故选：C

6．（2022·全国·高一）若，则在复平面内复数z对应的点位于（       ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】B

【解析】

【分析】

先利用复数的除法化简，再利用复数的几何意义判断.

【详解】

因为，

所以，

故z对应的点位于复平面内第二象限．

故选：B．

7．（2022·湖南·高一课时练习）已知关于x的方程（x2＋mx）＋2xi＝－2－2i（m∈R）有实数根n，且z＝m＋ni，则复数z等于（　　）

A．3＋i B．3－i

C．－3－i D．－3＋i

【答案】B

【解析】

【分析】

根据复数相等得出的值，进而得出复数z.

【详解】

由题意知（n2＋mn）＋2ni＝－2－2i，

即，解得，

故选：B

8．（2022·湖南·高一课时练习）在复平面内，把复数对应的向量按顺时针方向旋转，所得向量对应的复数是　　

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

由题意知复数对应的向量按顺时针方向旋转，需要把已知向量对应的复数乘以复数的沿顺时针旋转后的复数，相乘得到结果．

【详解】

解：由题意知复数对应的向量按顺时针方向旋转，

旋转后的向量为．

故选：B．

二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.

9．（2021·全国·高一单元测试）已知为虚数单位，则下面命题正确的是（       ）

A．若复数，则.

B．复数满足，在复平面内对应的点为，则.

C．若复数，满足，则.

D．复数的虚部是1.

【答案】ABC

【解析】

【分析】

对于A，直接利用复数的除法运算求解，对于B，利用复数的模求解，对于C，直接复数的乘法运算求解判断，对于D，利用虚部的定义判断

【详解】

对于A，因为，所以，所以A正确，

对于B，因为在复平面内对应的点为，所以，因为，所以，所以B正确，

对于C，令，因为，所以，所以，所以C正确，

对于D，复数的虚部为，所以D错误，

故选：ABC

10．（2021·全国·高一课时练习）设 (i为虚数单位)，则，，…，若为实数，则θ的值可能等于（       ）

A． B． C． D．

【答案】AC

【解析】

【分析】

由已知，结合复数的定义知，进而得，即可得解.

【详解】

由题意知，

若为实数，则，，故，

当时，；当时，，

故选：AC.

11．（2021·重庆市江津第五中学校高一期中）实数x，y满足(1+i)x+(1-i)y=2，设z=x+yi，则下列说法正确的是（       ）

A．z在复平面内对应的点在第一象限

B．|z|=

C．z的虚部是i

D．z的实部是1

【答案】ABD

【解析】

【分析】

根据题意先求出z，进而根据复数的概念和几何意义求得答案.

【详解】

实数x，y满足(1+i)x+(1-i)y=2，可化为x+y-2+(x-y)i=0，∴解得x=y=1，

∴z=x+yi=1+i.

对于A，z在复平面内对应的点的坐标为(1，1)，位于第一象限，故A正确.

对于B，|z|=，故B正确.

对于C，z的虚部是1，故C错误.

对于D，z的实部是1，故D正确.

故选：ABD.

12．（2021·河北·邯山区新思路学本文化辅导学校高一阶段练习）已知复数，是的共轭复数，则（       ）

A． B．

C．复数在复平面内所对应的点在第一象限 D．

【答案】ACD

【解析】

【分析】

求出，，再求出、，即得解.

【详解】

因为，

所以，

则，所以复数在复平面内所对应的点在第一象限.

，则选项A，C，D正确，选项B错误.

故选：ACD

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.

13．（2022·全国·高一）在复平面内，复数z对应的点的坐标是.则___________.

【答案】##

【解析】

【分析】

根据给定条件求出复数，再利用复数的乘法运算计算作答.

【详解】

在复平面内，复数z对应的点的坐标是，则，

所以.

故答案为：

14．（2022·湖南·高一课时练习）若复数是纯虚数，，则___________．

【答案】或.

【解析】

【分析】

利用纯虚数的概念，以及三角函数求值即可.

【详解】

由题意，， ，

∴，，或，

∴或；

故答案为：或.

15．（2022·湖南·高一课时练习）把复数在复平面内对应的点向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到点，把所得向量绕点按逆时针方向旋转90°，得到向量，则点对应的复数为____________．

【答案】

【解析】

【分析】

根据条件先得出点的坐标，然后得出点的坐标即可.

【详解】

复数在复平面内对应的点为，

将其向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到点，所以

所以，即点对应的复数为

故答案为：

16．（2021·江苏鼓楼·高一期中）已知复数满足，则的最大值为___________.

【答案】

【解析】

【分析】

设，由已知条件求出复数对应的点的轨迹为圆，根据复数模的几何意义和圆的性质即可求解.

【详解】

设，由，可得，

则，即，

复数对应的点的轨迹是以为圆心，半径的圆，

而表示复数对应的点到坐标原点的距离，

所以的最大值就是.

故答案为：.

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（2021·全国·高一课时练习）计算：

(1)(1－2i)(1＋2i)；

(2)[(5－4i)＋(1＋3i)](5＋2i)．

【答案】(1)5  (2)32＋7i

【解析】

【分析】

（1）根据复数的乘法法则或平方差公式即可求得答案；

（2）根据复数的乘法法则即可求得答案.

(1)方法一：原式＝1＋2i－2i－4i2＝5；

方法二：原式＝1－(2i)2＝1－4i2＝5.

(2)原式＝(6－i)(5＋2i)＝30＋12i－5i－2i2＝32＋7i.

18．（2021·全国·高一课时练习）已知，求集合中元素的个数．

【答案】2

【解析】

【分析】

根据复数的乘方运算，化简，即可得到答案；

【详解】

，

，

集合中元素的个数为2个.

19．（2022·全国·高一）复数，当m取何实数时：

(1)z为实数；

(2)z为纯虚数；

(3)z对应的点在复平面上实轴的上半部分．

【答案】(1)或(2)(3)或

【解析】

【分析】

（1）由虚部为0可得；

（2）由实部为0，虚部不为0可得；

（3）由虚部大于0可得．

(1)因为z为实数，所以，解得或

(2)由z为纯虚数，则解得

(3)由z对应的点在复平面上实轴的上半部分，则，解得或

20．（2022·全国·高一）已知复数，.

(1)求；

(2)若满足为纯虚数，求.

【答案】(1)         (2)

【解析】

【分析】

（1）根据复数代数形式的运算法则即可求出；

（2）根据纯虚数的概念即可求出参数，再根据复数模的计算公式即可求出．

(1)．

(2)因为为纯虚数，∴，∴.

即，．

21．（2022·湖南·高一课时练习）已知复数z1＝4－m2＋（m－2）i，z2＝λ＋2sin θ＋（cos θ－2）i（其中i是虚数单位，m，λ，θ∈R）.

(1)若z1为纯虚数，求实数m的值；

(2)若z1＝z2，求实数λ的取值范围.

【答案】(1)-2；(2)[2，6]

【解析】

【分析】

（1）z1为纯虚数，则其实部为0，虚部不为0，解得参数值；

（2）由z1＝z2，实部、虚部分别相等，求得关于的函数表达式，根据的范围求得参数取值范围.

(1)由z1为纯虚数，

则解得m＝－2.

(2)由z1＝z2，得

∴λ＝4－cos2θ－2sin θ＝sin2θ－2sin θ＋3.

∵－1≤sin θ≤1，

∴当sin θ＝1时，λmin＝2，

当sin θ＝－1时，λmax＝6，

∴实数λ的取值范围是[2，6].

22．（2022·全国·高一）已知复数，是实数.

(1)求复数z；

(2)若复数在复平面内所表示的点在第二象限，求实数m的取值范围.

【答案】(1) (2)

【解析】

【分析】

（1）先将代入化简，再由其虚部为零可求出的值，从而可求出复数，

（2）先对化简，再由题意可得从而可求得结果

(1)因为，

所以，

因为是实数，所以，解得.

故.

(2)因为，

所以.

因为复数所表示的点在第二象限，

所以

解得，即实数m的取值范围是.