2022咸阳武功县高三上学期第一次质量检测理科数学试题含答案

武功县2022届高三第一次质量检测

理科数学

注意事项：

1.本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷为选择题，用2B铅笔将答案涂在答题纸上。第Ⅱ卷为非选择题，用0.5mm黑色签字笔将答案答在答题纸上，考试结束后，只收答题纸。

2.答第Ⅰ卷、第Ⅱ卷时，先将答题纸首有关项目填写清楚。

3.全卷满分150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题  共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）

1.已知i为虚数单位，则（    ）

A. B. C. D.

2.已知集合，，则（    ）

A. B. C. D.

3.设平面向量，，则与垂直的向量可以是（    ）

A. B. C. D.

4.下列说法错误的是（    ）

A.命题“若，则”的逆否命题为“若，则”

B.“”是“”的充分不必要条件

C.若为假命题，则p、q均为假命题

D.若命题P：“，使得”，则：“，均有”

5.下列选项中，过点、，且圆心在直线上的圆的方程是（    ）

A. B.

C. D.

6.下列四个命题中，假命题的个数是（    ）

①垂直于同一直线的两条直线互相平行；

②垂直于同一平面的两个平面互相平行；

③若直线、与同一平面所成的角相等，则、互相平行；

④若直线、是异面直线，则与、都相交的两条直线是异面直线.

A.1 B.2 C.3 D.4

7.下列图像，函数的部分图像大致是（    ）

A.  B.  C.  D.

8.已知的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若，，则a的值为（    ）

A. B. C. D.

9.已知双曲线C：（，）的一条渐近线与直线垂直，则双曲线C的离心率为（    ）

A. B. C.3 D.或

10.将函数的图像向右平移（）个单位，再向上平移1个单位，若所得图像经过点，则的最小值为（    ）

A. B. C. D.

11.从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有（    ）

A.34种 B.35种 C.120种 D.140种

12.已知偶函数满足，现给出下列命题：①函数是以2为周期的周期函数；②函数是以4为周期的周期函数；③函数为奇函数；④函数为偶函数，这四个命题中真命题的个数是（    ）

A.1 B.2 C.3 D.4

第Ⅱ卷（非选择题  共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.已知，，，则___________.

14.___________.

15.已知正三棱柱的各条棱长都相等，且内接于球O，若正三棱柱的体积为，则球O的表面积为___________.

16.满分为100分的测试卷，60分为及格线.若100人参加测试，将这100人的卷面分数按照，，…，分组后绘制的频率分布直方图如图所示，由于及格人数较少，某老师准备将每位学生的卷面得分采用“开方乘以10取整”的方法进行换算以提高及格率（实数a的取整等于不超过a的最大整数）.如：某位学生卷面49分，则换算成70分作为他的最终考试成绩.则按照这种方式，这次测试的不及格的人数变为______人.

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）

（一）必考题（共60分）

17.（本小题满分12分）已知公差不为零的等差数列和等比数列满足：，，且、、成等比数列.

（1）求数列和的通项公式；

（2）令，求数列的前n项和.

18.（本小题满分12分）某天我市某高中组织高一年级学生开展了“百里远足”活动，受到了社会的普遍赞誉.本次远足活动结束后，该校体育课外兴趣小组在高一某班进行了对“本次远足活动高一同学们的表现”的满意度调查（结果只有“满意”和“不满意”两种），按分层抽样从被调查的学生中随机抽取了11人，具体调查结果如下表：

（1）若该班女生人数比男生人数多4人，求该班男生人数和女生人数；

（2）求在该班随机抽取一名学生，由以上统计数据估计该生持满意态度的概率；

（3）若从该班抽出的11名学生中任选2人进行追踪，记选中的2人中对“本次远足活动高一年级学生表现”满意的人数为，求随机变量的分布列和数学期望.

19.（本小题满分12分）如图所示，在四棱锥中，底面，，，，点E为棱的中点.

（1）证明：；

（2）若点F为棱上一点，且，求二面角的余弦值.

20.（本小题满分12分）如图所示，是圆M：内一个定点，P是圆上任意一点.线段的垂直平分线和半径相交于点Q.

（1）当点P在圆上运动时，点Q的轨迹E是什么曲线？并求出其轨迹方程；

（2）过点作直线l与曲线E交于A、B两点，点A关于原点O的对称点为点D，求的面积S的最大值.

21.（本小题满分12分）已知函数.

（1）求函数的单调区间；

（2）若函数在区间上的最小值为0，求a的值.

（3）若对于任意，恒成立，求a的取值范围.

（二）选考题（共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分）

22.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，已知曲线C：（）；直线l：（t为参数）与曲线C相交于M、N两点.

（1）求曲线C与直线l的普通方程；

（2）点，若、、成等比数列，求实数a的值.

23.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

已知函数.

（1）若，求函数的最小值；

（2）如果关于x的不等式的解集不是空集，求实数a的取值范围.

武功县2022届高三第一次质量检测

理科数学参考答案及评分标准

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）

1．B  2．D  3．A  4．C  5．C  6．D  7．C  8．D  9．B  10．D  11．A  12．B

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．1 14． 15． 16．18

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）

（一）必考题（共60分）

17．（本小题满分12分）

解：（1）设的公差为d，由已知得，

即，解得：或（舍），所以；

因为，，所以的公比，所以．

（2）由（1）可知，

所以，，

所以

，

所以．

18．（本小题满分12分）

解：（1）设该班男生人数为x，则女生人数为，由条件可得：，

解得：，故该班男生有20人，女生有24人；

（2）由条件知在该班随机抽取一名学生，持满意态度的概率为；

（3）由题意知、1、2，服从参数为，，的超几何分布，

，，，

故的分布列为：

于是，．

19．（本小题满分12分）

解:（1）证明：∵底面，．

∴以A为原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系如图所示，

由题意得：，，，，，，

∴，，

∴，即．

（2）∵，，，，由点F在棱上，设，（），

∴，

∵，∴，

解得：，∴．

设平面的法向量为，则

，不妨令，可得为平面的一个法向量，

取平面的一个法向量，

则，

易知，二面角是锐角，所以其余弦值为．

20．（本小题满分12分）

解：（1）由题意得，

根据椭圆的定义得点Q的轨迹E是以M、N为焦点的椭圆，

∴，，∴，∴轨迹方程为．

（2）由题意知（d为点O到直线l的距离），

设l的方程为，联立方程得，

消去y得，

设，，则，，

则，

又，∴，

令，由，得，

∴，，易证在上递增，∴，，∴面积S的最大值为．

21．（本小题满分12分）

解：（1）当时，函数，在上单调递增；

当时，函数，

，得，∴当时，

，函数单调递减；

∴当时，，函数单调递增

（2）由（1）知：当时，函数，不符合题意．

当时，函数，

，得，∴当时，

，函数单调递减；

∴当时，，函数单调递增

①当，即时，在上的最小值为．

令，得，符合题意．

②当，即时，最小值为

令，得，不符合题意，综上．

（3）构建新函数，，

①当时，即，因为，所以，

（，仅当时，），所以在上单调递增.又，

所以当时，对于任意都有．

②当时，即时，，即，得

，（，，）

所以，

且，，

所以在上单调递减，又，

所以存在，，不符合题意.

综上，a的取值范围为.

（二）选考题（共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分）

22.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

解：（1）因为，所以，

即曲线C的普通方程为（），

由直线l：，得直线l的普通方程为.

（2）直线l的参数方程为（t为参数），代入，

得到，.

设点M、N分别对应参数、，恰为上述方程的根，则有，，则.

又，，.

因为，

所以，代入、的值得，

得或.

因为，所以.

23．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

解:（1）当时，知，

当，即时取等号，

∴的最小值是3.

（2）∵，当时取等号，

∴若关于x的不等式的解集不是空集，只需，解得，即实数a的取值范围是.