2022江苏省海安市南莫中学高三上学期第一次月考备考金卷B卷数学试题含答案

这是一份2022江苏省海安市南莫中学高三上学期第一次月考备考金卷B卷数学试题含答案

数 学 （B）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则（ ）A． B．C． D．【答案】C2．复数满足条件（为虚数单位），则（ ）A．1 B．5 C． D．25【答案】A3．已知直线，．则“”是“”的（ ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B4．设双曲线的左、右焦点分别是，，过作渐近线的垂线，垂足为．若的面积为，则双曲线的离心率为（ ）A． B． C．2 D．【答案】D5．设是两个不同平面，是两条不同直线，下列说法正确的是（ ）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】C6．已知数列中，，，则（ ）A． B． C． D．【答案】C7．已知函数，且，则实数a的取值范围是（ ）A． B． C． D．【答案】A8．已知定直线l的方程为，点Q是直线l上的动点，过点Q作圆的一条切线，是切点，C是圆心，若面积的最小值为，则此时直线l上的动点E与圆C上动点F的距离的最小值为（ ）A． B．2 C． D．【答案】B二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．在中，角A，B，C所对的三边分别是a，b，c，以下条件中，使得无解的是（ ）A． B．C． D．【答案】ABD10．下列结论中，所有正确的结论是（ ）A．若，则函数的最大值为B．若，，则的最小值为C．若，，，则的最大值为1D．若，，，则的最小值为【答案】BC11．在中，内角的对边分别为，下列说法中正确的是（ ）A．若为锐角三角形且，则B．若，则为等腰三角形C．若，则D．若，，，则符合条件的有两个【答案】AC12．在平面直角坐标系中，已知双曲线的离心率为，，分别是双曲线的左，右顶点，点是双曲线的右支上位于第一象限的动点，记，的斜率分别为，则（ ）A．双曲线的焦点到其一条渐近线的距离为1时，双曲线的方程为B．双曲线的渐近线方程为C．为定值D．存在点，使得【答案】AC第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．的展开式中常数项是________．【答案】48114．一只口袋内装有4个白球，5个黑球，若将球不放回地随机一个一个摸出来，则第4次摸出的是白球的概率为________．【答案】15．如图所示，已知点G是的重心，过点G作直线分别交，两边于M，N两点，且，，则的最小值为_________．【答案】16．若用一个棱长为6的正四面体坯料制作一个正三棱柱模型，使其底面在正四面体一个面上，并且要求削去的材料尽可能少，则所制作的正三棱柱模型的高为_________，体积的最大值为_________．【答案】，四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知数列的前n项和为，满足．（1）求数列的通项公式；（2）记，求数列的前n项和．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由，得，又，作差得，所以，所以是以为首项，为公比的等比数列，则有．（2）由题得，所以．18．（12分）在中，角，，的对边分别为，，，且．（1）求角的大小；（2）若点在边上，且，，求的值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）依题意，根据正弦定理得，整理得，即．因为，所以，又，所以．（2）如图，作，垂足为，则，所以．设，因为，，所以，，．在中，，在中，，所以，，所以．19．（12分）数学建模是高中数学核心素养的一个组成部分，数学建模能力是应用意识和创新意识的重要表现．为全面推动数学建模活动的开展，某学校举行了一次数学建模竞赛活动，已知该竞赛共有60名学生参加，他们成绩的频率分布直方图如下．（1）为了对数据进行分析，将60分以下的成绩定为不合格，60分以上（含60分）的成绩定为合格．为科学评估该校学生数学建模水平，决定利用分层抽样的方法从这60名学生中选取10人，然后从这10人中抽取4人参加座谈会．记为抽取的4人中，成绩不合格的人数，求的分布列和数学期望；（2）已知这60名学生的数学建模竞赛成绩服从正态分布，其中可用样本平均数近似代替，可用样本方差近似代替（用一组数据的中点值作代表），若成绩在46分以上的学生均能得到奖励，本次数学建模竞赛满分为100分，试估计此次竞赛受到奖励的人数有多少？（结果根据四舍五入保留到整数位）解题中可参考使用下列数据：，，．【答案】（1）分布列见解析，数学期望为；（2）50．【解析】（1）由频率分布直方图和分层抽样的方法，可知抽取的10人中合格的人数为，不合格的人数为．因此，的可能值为0，1，2，3，4，则，，，，．故的分布列为所以的数学期望．（2）由题意可知，，，所以．由服从正态分布，得，则，，，所以此次竞赛受到奖励的人数为50．20．（12分）中国古代数学名著《九章算术》中记载了一种名为“堑堵”的几何体：“邪解立方，得二堑堵，邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑”．“堑堵”其实就是底面为直角三角形的直棱柱．某“堑堵”如图所示，，点在线段上，平面．（1）证明：；（2）若点是底面内的动点，且，求三棱锥体积的最小值．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】（1）证明：如图，连接，设，再连接．由题知四边形是正方形，所以是的中点．因为平面，平面，平面平面，所以，在中，因为是的中点，所以是的中点，所以．（2）连接，在直三棱柱中，平面，平面，所以．又，，所以平面．又平面，所以，所以点的轨迹是以为直径的半圆（不包含，点）．又，所以点到直线的最小距离．又点是的中点，所以点到平面的距离．又三棱锥的体积等于三棱锥的体积，所以三棱锥体积的最小值为．21．（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为，，半焦距为1，以线段为直径的圆恰好过椭圆的上、下顶点．（1）求椭圆的方程；（2）若关于直线对称的射线与分别与椭圆位于轴上方的部分交于，两点，求证：直线过轴上一定点．【答案】（1）；（2）证明见解析．【解析】（1）以线段为直径的圆恰好过椭圆的上下顶点，，，，，椭圆的方程为．（2）由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为，联立，消去并整理得．设点，，则，．，且由题意知和必存在，．又，，即，整理得，得，即，解得，的方程为．，即，，解得，，位于椭圆轴上方，，此时直线过轴上的定点．22．（12分）已知函数，．（1）当时，求的最小值；（2）当时，不等式恒成立，求的取值范围．【答案】（1）0；（2）．【解析】（1）当时，，其导函数为，所以在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为．（2）由，由，所以，所以在上单调递增，所以在恒成立，即，恒成立，设，，所以，由（1）知，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，即的取值范围为．01234