2021甘肃省嘉陵关市一中高三下学期六模考试数学（理）试题含答案

这是一份2021甘肃省嘉陵关市一中高三下学期六模考试数学（理）试题含答案
理科数学试卷一、单选题（每小题5分）1．已知集合，则（ ）A． B． C． D．2．已知为虚数单位，复数，，则（ ）. A. B. C. D. 3．已知各项均为正数的等比数列的前项和为，，，则（ ）A．16 B．12 C．8 D．44. 有甲、乙、丙三项任务，甲需要 QUOTE 人承担，乙需要 QUOTE 人承担，丙需要 QUOTE 人承担，现从 QUOTE 个人中选派 QUOTE 人承担这三项任务，则不同的选派方法有(    ) A. QUOTE  B. QUOTE  C. QUOTE  D. QUOTE  5．已知，则a,b,c的大小关系为（ ）A． B． C． D．6.已知随机变量 X 服从二项分布 B(4, p ), 其期望 E (X ) =3, 随机变量 Y 服从正态分布N(l, 2) , 若 P (Y >0) = p, 则 P (0< Y < 2) =( )A． B.　　　　　　　C. 　　　　　　　D. 7. 若直线 QUOTE 与圆 QUOTE 相交于 QUOTE ， QUOTE 两点，且 QUOTE （ QUOTE 为原点），则 QUOTE 的值为（    ） A. QUOTE  B. QUOTE  C. QUOTE  D. QUOTE 8．学校艺术节对同一类的四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品获奖情况预测如下：甲说：“作品获得一等奖”； 乙说：“作品获得一等奖”；丙说：“两项作品未获得一等奖”； 丁说：“或作品获得一等奖”.评奖揭晓后发现这四位同学中只有两位预测正确，则获得一等奖的作品是( )A．A作品 B．B作品 C．C作品 D．D作品9. 函数 QUOTE 图象的大致形状是（    ）A. B. C. D.10.七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具，它由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成. (清)陆以活《冷庐杂识》卷中写道:近又有七巧图，其式五,其数七,其变化之式多至千余，体物肖形，随手变幻，盖游戏之具，足以排闷破寂,故世俗皆喜为之.右图是一个用七巧板拼成的正方形ABCD,若四边形ABEF的面积为7,则A. B. C. D. 11. 已知双曲线 QUOTE 的两条渐近线与抛物线 QUOTE 的准线分别交于 QUOTE ， QUOTE 两点， QUOTE 为坐标原点.若双曲线的离心率为 QUOTE ， QUOTE 的面积为 QUOTE ，则 QUOTE (    ) A. QUOTE  B. QUOTE  C. QUOTE  D.412．设是定义在上的偶函数，对任意的，都有，且当时，．若在区间内关于的方程恰有3个不同的实数根，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 二、填空题（每小题5分）13．设是等差数列的前项和，若，，则 .14．若点在函数的图象上，则的值是 .15．已知抛物线：的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的一个交点，若，则= .16.已知正项等比数列满足，则 .三、解答题（共计70分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（12分）已知四边形内接于圆，，，.（1）求证：的三边长度可以构成一个等差数列；（2）求的面积.18．（12分）某市调研机构对该市工薪阶层对“楼市限购令”态度进行调查，抽调了50名市民，他们月收入频数分布表和对“楼市限购令”赞成人数如表：（1）若所抽调的50名市民中，收入在[35，45）的有15名，求a，b，c的值，并完成频率分布直方图．（2）若从收入（单位：百元）在[55，65）的被调查者中随机选取2人进行追踪调查，选中的2人中恰有X人赞成“楼市限购令”，求X的分布列与数学期望．（3）从月收入频率分布表的6组市民中分别随机抽取3名市民，恰有一组的3名市民都不赞成“楼市限购令”，根据表格数据，判断这3名市民来自哪组的可能性最大？请直接写出你的判断结果．19.（12分） 已知某几何体的直观图和三视图如下图所示，其正视图为矩形，左视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形． QUOTE 为 QUOTE 中点，在线段 QUOTE 上是否存在一点 QUOTE ，使得 QUOTE 平面 QUOTE ？若存在，求出 QUOTE 的长；若不存在，请说明理由．（2）求二面角 QUOTE 的余弦值.20．（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为，过任作一条与两坐标轴都不垂直的直线，与椭圆交于两点，且的周长为8．当直线的斜率为时，与轴垂直．（1）求椭圆的标准方程；（2）在轴上是否存在定点，总能使平分？说明理由．21.（12分）已知函数，，．（1）求的单调区间；（2）若对于任意，恒成立，求的取值范围．22．选修4-4：坐标系与参数方程（10分）在平面直角坐标系中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系取相同的单位长度．已知曲线，过点的直线l的参数方程为(t为参数)．直线l与曲线C分别交于M、N两点.(1)求的取值范围；(2)若成等比数列，求实数的值．23.（10分） 已知 QUOTE ， QUOTE ， QUOTE ， QUOTE ， QUOTE ， QUOTE ． （1）求证： QUOTE （2）判断等式 QUOTE 能否成立，并说明理由．理 科 数 学 答 案 二、填空题（每小题5分）13. 3 14. 1/2 15. 3 16. 50 三、解答题（共计70分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（12分）已知四边形内接于圆，，，.（1）求证：的三边长度可以构成一个等差数列；（2）求的面积.18．解：（1）先根据频率和为1，得到a+b＝0.5，若所抽调的50名市民中，收入在[35，45）的有15名，则，所以a＝0.2，c＝10，最后求出每组数据对应的频率/组距即可画出频率分布直方图；（2）由表中数据可知，收入在[55，65）中赞成人数为2，不赞成人数为3，所以X的可能取值为0，1，2，然后根据超几何分布求概率的方式逐一求出每个X的取值所对应的概率即可得分布列，进而求得数学期望；（3）表中赞成人数最少的那组可能性更大．解：（1）由频率分布表得，0.1+a+b+0.2+3.1+0.1＝1，∴a+b＝0.4，∵所抽调的50名市民中，收入在[35，45）的有15名，故a＝0.2，b＝0.3，c＝10．∴X的可能取值为0，6，2，∴X的分布列为：（3）来自[65，75）的可能性更大．19.解：（1）由几何体的三视图可知证明 QUOTE ， QUOTE ， QUOTE 两两垂直， QUOTE ， QUOTE .如图，分别以 QUOTE ， QUOTE ， QUOTE 所在直线 QUOTE 轴， QUOTE 轴， QUOTE 轴建立空间直角坐标系 QUOTE ，则 QUOTE ， QUOTE ， QUOTE ， QUOTE ， QUOTE ， QUOTE . ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈1分设 QUOTE 为平面 QUOTE 的一个法向量，∵  QUOTE ， QUOTE ，∴  QUOTE .令 QUOTE ，可得平面 QUOTE 的一个法向量为 QUOTE . ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈3分设 QUOTE .由 QUOTE ，得 QUOTE . ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈4分∵  QUOTE 平面 QUOTE ，∴  QUOTE ，解得 QUOTE .∴ 在线段 QUOTE 上存在一点 QUOTE ，使得 QUOTE 平面 QUOTE ，此时 QUOTE . ┈┈┈┈┈┈┈┈6分 QUOTE 解：平面 QUOTE 的法向量为 QUOTE .∵  QUOTE ， QUOTE ，∴  QUOTE 令 QUOTE ，可得平面 QUOTE 的一个法向量为 QUOTE . ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈8分∴  QUOTE ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈11分由图可知，所求二面角为锐角，∴ 二面角 QUOTE 的余弦值为 QUOTE . ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈12分20．解：(1) 因为，即，又，所以．当直线的斜率为时，与轴垂直，所以由，且，解得，即又因为，所以，所以．结合，解得．所以，椭圆的标准方程为．(2) 由(1)得，，设直线的方程为，，联立，消去，整理得，所以 QUOTE m·ED'=0m·CE=0 ，如果平分，则，即，所以，即，所以，即，所以，即所以为所求．21.（12分）已知函数，，．（1）求的单调区间；（2）若对于任意，恒成立，求的取值范围．（1）解：，①当时，，在上增函数；②当 时，令，解得：，当时，，在上为减函数，当时，，在上为增函数．综上所述，当 时，的单调递增区间为；当时，的单调递减区间是，单调递增区间是；（2）对任意的，恒成立，即恒成立，将代入，并整理得：， 设， 则原式等价于对任意的，恒成立，则，下面证明：，令，则，令，解得：，当，单调递减；当，单调递增；故，即，，①当时， 在上恒成立，在上单调递增，恒成立，即，对恒成立．②当 时，，，即 ，在成立，故当时，，时，，知在上为减函数，，即在上，不存在使得不等式对任意恒成立．综上所述：实数的取值范围是．22．选修4-4：坐标系与参数方程解：(1)由题意可得曲线C的直角坐标方程为y2＝2ax(a>0)，将直线l的参数方程eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝－2＋\f(\r(2),2)t，,y＝－4＋\f(\r(2),2)t))(t为参数)代入曲线C的直角坐标方程，得eq \f(1,2)t2－(4eq \r(2)＋eq \r(2)a)t＋16＋4a＝0，因为直线l与曲线C交于M、N两点，所以Δ>0，即a>0或a0，所以a的取值范围为(0，＋∞)．(2)设交点M、N对应的参数分别为t1，t2.则由(1)知t1＋t2＝2(4eq \r(2)＋eq \r(2)a)，t1t2＝2(16＋4a)，若|PM|、|MN|、|PN|成等比数列，则|t1－t2|2＝|t1t2|，解得a＝1或a＝－4(舍去)，所以实数a的值为1.23.证明：（1）由题意得 QUOTE ，当且仅当 QUOTE 时取等号；解得 QUOTE ，又 QUOTE ， QUOTE ；∴  QUOTE ；┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈5分（2）不能成立； QUOTE ；∵  QUOTE ；∴  QUOTE ；∵  QUOTE ， QUOTE ， QUOTE ；∴  QUOTE ；故 QUOTE 不能成立．┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈10分月收入（单位：百元）[15，25）[25，35）[35，45）[45，55）[55，65）[65，75）频数5c1055频率0.1ab0.20.10.1赞成人数4812521题号123456789101112答案CDAABDACCCBA