2021甘肃省嘉陵关市一中高三下学期四模考试数学（理）试题含答案

理科数学试卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．

1. 已知集合，则（     ）

A.                 B.               C.            D.

2.抛物线的准线方程是（    ）

A.              B.                C.            D.

3. 设是函数的一个极值点，则（     ）

A.                B.                   C.                D.

4．某学校制订奖励条例，对在教育教学中取得优异成绩的教职工实行奖励，其中有一个奖励项目是针对学生高考成绩的高低对任课教师进行奖励的，奖励(单位：元)的计算公式为f(n)＝k(n)(n－10)(其中n是指任课教师所任学科成绩的平均分与本省该科成绩平均分之差)，而k(n)＝现有甲、乙两位数学任课教师，甲所教的学生高考数学成绩的平均分超出本省高考数学成绩平均分18分，乙所教的学生高考数学成绩平均分超出本省高考数学成绩平均分21分，则乙所得奖励比甲所得奖励多(　　)

A．600元            B．900元                C．1 600元           D．1 700元

5.公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名阿基里斯悖论：他提出让乌龟在阿基里斯前面1000米处开始，和阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍.当比赛开始后，若阿基里斯跑了1000米，此时乌龟便领先他100米；当阿基里斯跑完下一个100米时，乌龟仍然前于他10米.当阿基里斯跑完下一个10米时，乌龟仍然前于他1米……，所以，阿基里斯永远追不上乌龟.根据这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为米时，乌龟爬行的总距离为（    ）

A.           B.               C.             D.

6．已知圆心在直线上的圆，其圆心到轴的距离恰好等于圆的半径，在轴上截得弦长为，则圆的方程为（    ）

A．          B．

C．          D．

7．甲、乙、丙、丁四个人去旅游，可供选择的景点有3个，每人只能选择一个景点且甲、乙不能同去一个景点，则不同的选择方案的种数是（    ）

A．      B．         C．            D．

8．已知A、B是圆上的两个动点，且，．若点M是线段的中点，则（    ）

A．      B．2         C．             D．3

9．已知是双曲线的一个焦点，点在上，为坐标原点，若，则的面积为（    ）

A．     B．         C．             D．

10. 若，则（     ）

A.             B.           C.             D.      

11. 设函数，则下列说法正确的是（    ）．

A. 是奇函数                              B. 是周期函数   

C. 的图象关于点对称 D.

12.若数列满足: ，使得对于，都有，则称具有“三项相关性”下列说法正确的有（    ）

①若数列是等差数列,则具有“三项相关性”

②若数列是等比数列,则具有“三项相关性”

③若数列是周期数列,则具有“三项相关性”

④若数列具有正项“三项相关性”，且正数满足，，数列的通项公式为，与的前项和分别为，则对，恒成立.

 A.③④   B.①②④   C.①②③④   D.①②

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．正弦函数在上的图像与轴所围成曲边梯形的面积为__________.

14.设是虚数单位，复数（其中），则的最小值为_________.

15. 若命题“”是假命题，则实数的取值范围是______．

16.已知四棱锥的五个顶点在球的球面上，平面与平面都与底面垂直，且,，则球的体积为________.

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．(本小题满分12分)设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.

（1）用表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量的分布列和数学期望；

（2）设为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件发生的概率.

18.(本小题满分12分)在中，角的对边分别为，且满足.

（Ｉ）求角；

（Ⅱ）若，的中线，求的面积.

19. （本小题满分12分）已知椭圆：，离心率为，

且点（，）在椭圆上.

（1）求椭圆的方程；

（2）若椭圆上的任意一点（除短轴的端点外）与短轴的两个端点，的连线分别与轴交于，两点，求证为定值.

20.(本小题满分12分)如图，三棱柱中，侧面，已知，，，点是棱的中点.

（1）求证：平面；

（2）在棱上是否存在一点，使得与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

21．(本小题满分12分)已知函数.

（1）讨论的单调性；
（2）若，是的两个零点 .

证明：（i）；         （ii） .

选考题：请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．

22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点O为极点、x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.

（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；

（2）已知点，直线l与曲线C相交于AB两点，求的值.

23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数.

（1）求不等式的解集；

（2）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围.

理科数学试题(答案)

一、选择题：BDCDB     DACBA     BB

12.

二、填空题

三、解答题

17．(Ⅰ)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7:30之前到校的概率均为，

故，从面.

所以，随机变量的分布列为：

随机变量的数学期望.

(Ⅱ)设乙同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数为，则.

且.

由题意知事件与互斥，且事件与，事件与均相互独立，从而由(Ⅰ)知：

.

18.

19.（1）

（2）解：由题意可知，设椭圆上任意一点

则直线的方程为；直线的方程为，

分别在两个方程中令，则得到。

那么：（定值）。此题定值为4

20.（1）由题意，因为，，，∴，

又∴，∴，∵侧面，∴.

又∵，，平面∴直线平面.

（2）以为原点，分别以，和的方向为，和轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则有，，，，

设平面的一个法向量为，，，

∵，∴，令，则，∴，

假设存在点，设，∵，，

∴，∴∴

设平面的一个法向量为，

∴，得.

即，∴或，∴或.

21.

22．(1)由,两式相加可得,即.

又,即即.

(2)将化简成关于点的参数方程有：,（为参数）,

代入有,

则.