2022张家口宣化一中高三上学期期初考试数学试题含答案

2021-2022学年上学期宣化一中高三期初考试

数学试卷

1. 已知复数，设复数，则w的虚部是

A.  B. 1 C. i D.

2. 已知a，b为非零实数，则“”是“”的

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

3. 在中，，，，则

A.  B. 1 C. 2 D. 3

4. 棱长为a的正方体中，点E，F，G分别为棱AB，，的中点，则过E，F，G三点的平面截正方体所得截面面积为

A.  B.  C.  D.

5. 若为锐角，，则

A.  B.  C.  D.

6. 将正整数12分解成两个正整数的乘积有，，三种，其中是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称为12的最佳分解当是正整数n的最佳分解时，我们定义函数，例如，则

A.  B.  C.  D.

7. 过点作倾斜角为的直线与抛物线C：交于两点A，B，若，则的值为

A. 4 B.  C.  D.

8. 已知，，且，则下列结论一定正确的是

A.  B.  C.  D.

9. 已知函数图象的一条对称轴为，且在内单调递减，则以下说法正确的是

A. 是其中一个对称中心 B.
C. 在单调递增 D.

10. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，将分别绕边a，b，c所在的直线旋转一周，形成的几何体的体积分别记为，，，侧面积分别记为，，，则

A.  B.  C.  D.

11. 设集合S，T，，，S，T中至少有两个元素，且S，T满足：
    对于任意x，，若，都有；
    对于任意x，，若，则；
    下列命题正确的是

A. 若S有4个元素，则有7个元素
B. 若S有4个元素，则有6个元素
C. 若S有3个元素，则有5个元素
D. 若S有3个元素，则有4个元素

12. 甲、乙两人进行围棋比赛，共比赛局，且每局甲获胜的概率和乙获胜的概率均为如果某人获胜的局数多于另一人，则此人赢得比赛记甲赢得比赛的概率为，则

A.  B.
C.  D. 的最大值为

13. 已知，，则 ______ ．
14. 根据下面的数据：

求得y关于x的回归直线方程为，则这组数据相对于所求的回归直线方程的4个残差的方差为______注：残差是指实际观察值与估计值之间的差．

15. 斜率为的直线l与椭圆C：相交于A，B两点，线段AB的中点坐标为，则椭圆C的离心率等于______．
16. “韩信点兵”问题在我国古代数学史上有不少有趣的名称，如“物不知数”“鬼谷算”“隔墙算”“大衍求一术”等，其中孙子算经中“物不知数”问题的解法直至1852年传由传教士传入至欧洲，后验证符合由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”原文如下：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”这是一个已知某数被3除余2，被5除余3，被7除余2，求此数的问题满足条件的数中最小的正整数是______ ；1至2021这2021个数中满足条件的数的个数是______ ．
17. 内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，．
    证明：a：b：：3：4；
    若，求的周长．
    
    
    
    
    
    
     
18. 设等差数列的前n项和为，已知，且．
    求和；
    是否存在等差数列，使得对成立？并证明你的结论．
    
    
    
    
    
    
     
19. 为保护学生视力，让学生在学校专心学习，防止沉迷网络和游戏，促进学生身心健康发展，教育部于2021年1月15日下发关于加强中小学生手机管理工作的通知，对中小学生的手机使用和管理作出了相关的规定．某研究型学习小组调查研究“中学生使用智能手机对学习的影响”，现对我校80名学生调查得到统计数据如下表，记A为事件：“学习成绩优秀且不使用手机”；B为事件：“学习成绩不优秀且不使用手机”，且已知事件A的频率是事件B的频率的2倍．

运用独立性检验思想，判断是否有的把握认为中学生使用手机对学习成绩有影响？
采用分层抽样的方法从这80名学生中抽出6名学生，并安排其中3人做书面发言，记做书面发言的成绩优秀的学生数为X，求X的分布列和数学期望．
参考数据：，其中．

20. 如图，四棱柱中，面面ABCD，面面ABCD，点E、M、N分别是棱、BC、CD的中点．
    证明：面ABCD．
    若四边形ABCD是边长为2的正方形，且，面面直线l，求直线l与所成角的余弦值．

已知双曲线E：过点，且该双曲线的虚轴端点与两顶点，的张角为．
求双曲线E的方程；
过点的直线1与双曲线E左支相交于点M，N，直线DM，DN与y轴相交于P，Q两点，求的取值范围．


 

21. 已知函数在处的切线方程为．
    求a的值；
    若方程有两个不同实根、，证明：．
     

2021-2022学年上学期宣化一中高三期初考试

数学试卷答案和解析

1.【答案】A
 

【解析】解：复数，
复数，
则w的虚部是，
故选：A．
利用复数的运算法则、共轭复数的定义、虚部的定义即可得出．
本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、虚部的定义，考查了推理能力，属于基础题．
 

2.【答案】C
 

【解析】解：设，则为偶函数且在上为增函数，
，
是的充要条件，
故选：C．
构造函数，利用函数的奇偶性和单调性判断即可．
本题考查了充要条件的判定，利用构造函数的性质是关键，属于中档题．
 

3.【答案】C
 

【解析】解：因为，所以点D为BC的中点，
因为，
所以，即，
所以．
故选：C．
由题意可得点D为BC的中点，由向量的线性运算可得，从而可得，即可求得的值．
4.【答案】B
 

【解析】解：取中点M，连结MG、ME，
则，且，
四边形EFGM是平行四边形，
过E，F，G三点的平面截正方体所得截面为四边形EFGM，
以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，
则0，，，，a，，
，，
，，四边形EFGM是矩形，
，
过E，F，G三点的平面截正方体所得截面面积为：
．
故选：B．
取中点M，连结MG、ME，推导出四边形EFGM是平行四边形，从而过E，F，G三点的平面截正方体所得截面为四边形EFGM，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出过E，F，G三点的平面截正方体所得截面面积．
本题考查截面面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 

5.【答案】B
 

【解析】解：为锐角，，
又，
，
，
，
．
故选：B．
由为锐角，，运用三角函数的同角公式，可得，进而可得 的值，再结合正切函数的两角差公式，即可求解．
本题考查了三角函数的同角公式，以及正切函数的两角差公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
 

6.【答案】C
 

【解析】解：当时，，
当i4时，，，
所以n为偶数时，；
当时，，
当时，，，
所以i为奇数时，，
所以



．
故选：C．
n为偶数时，；n为奇数时，，把数列的前2021项和转化为等比数列求和即可．
本题考查数列的求和，注意讨论n为奇数和偶数得到规律，考查推理能力与计算能力，属于中档题．
 

7.【答案】A
 

【解析】解：由题意可得，直线AB的方程为，
联立直线与抛物线方程，整理可得，
设，，
由韦达定理可得，，，
又，
，
，
点，，，
．
故选：A．
由题意可得，直线AB的方程为，联立直线与抛物线方程，整理可得，再结合韦达定理和两点之间的距离公式，即可求解．
本题主要考查了直线与抛物线的综合应用，需要学生熟练掌握两点之间的距离公式，属于中档题．
 

8.【答案】B
 

【解析】解：令，，
，
可得时，函数单调递增，
，，且，，
，
，
，因此B正确；
，不一定成立，因此A不正确；
，因此C不正确；
因此不一定成立，因此不正确．
故选：B．
令，，利用导数研究函数的单调性即可判断出结论．
本题考查了利用导数研究函数的单调性、不等式的性质、指数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
 

9.【答案】AD
 

【解析】解：由题意可得关于对称，且在内单调递减，
，
，故B选项错误，
，
，
是其中一个对称中心，故A选项正确，
，
，
当时，在 上单调递增，故C选项错误，
，故D选项正确，
故选：AD．
分别根据三角函数对称轴、对称中心、单调性的性质，以及将代入，即可求解．
本题主要考查了三角函数的性质，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
 

10.【答案】ABC
 

【解析】解：如图所示，过点C作，垂足为D，设，则，．
由题意可得：，，，
，

因此A正确；
，，
，因此C正确．
侧面积分别记为，，．
，因此B正确；
，，
，，因此D不正确．
故选：ABC．
如图所示，过点C作，垂足为D，设，则分别计算出体积，，，侧面积，，通过作差即可比较出大小关系．
本题考查了圆锥的体积与侧面积计算公式、直角三角形的边角关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
 

11.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题考查集合的基本运算，元素与集合的关系，利用特殊集合排除选项是选择题常用方法，属于拔高题．
利用特殊集合排除选项，推出结果即可．

【解答】

解：取：2，，则4，，2，4，，4个元素，排除C；
4，，则16，，4，8，16，，5个元素，排除D；
4，8，，则16，32，64，，4，8，16，32，64，，7个元素，排除B；
故选：A．

12.【答案】CD
【解析】解：若甲、乙比赛4局甲获胜，则甲在4局比赛中至少胜3局，，故A错误；
若甲、乙比赛6局甲获胜，则甲在6局比赛中至少胜4局，
，故B错误；
在2n局比赛中甲获胜，则甲胜的局数至少为局，



，故C正确；
，当时，取最大值，故D正确．
故选：CD．
若甲、乙比赛4局甲获胜，则甲在4局比赛中至少胜3局，利用相互独立事件概率乘法公式能求出；若甲、乙比赛6局甲获胜，则甲在6局比赛中至少胜4局，利用相互独立事件概率乘法公式能求出；在2n局比赛中甲获胜，则甲胜的局数至少为局，利用相互独立事件概率乘法公式得；由，知当时，取最大值．
本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查函数与方程思想，考查运算求解能力，是基础题．
 

13.【答案】4
 

【解析】解：，，
所以，
因为，
所以．
故答案为：4．
由已知代入可得，然后代入即可求解．
本题主要考查了函数值的求解，解题的关键是发现的规律．
 

14.【答案】
 

【解析】解：将，2，3，4代入回归方程可得的值依次为，，，，
所以残差分别为：，，，，
则残差的平均数为0，
所以残差的方差为．
故答案为：．
先求出估计值，然后求出残差，求出残差的平均数，利用方差的计算公式求解即可．
本题考查了方差的求解，解题的关键是正确理解残差的定义，掌握方差的计算公式，考查了运算能力，属于基础题．
 

15.【答案】
 

【解析】解：设，，
则，，
因为是线段AB的中点，
所以，，
因为直线AB的方程为，
所以，
两式相减可得，
所以，
所以，
所以有，
所以，
所以，
故答案为：．
利用点差法，结合是线段BA的中点，斜率为，即可求出椭圆C的离心率．
本题考查直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．
 

16.【答案】23  20
 

【解析】解：从3和5的公倍数中找出被7除余1的最小数15，
从3和7的公倍数中找出被 5除余1的最小数21，
最后从5和7的公倍数中找出除3余1的最小数70，
用15乘以为最终结果除以7的余数，
用21乘以为最终结果除以5的余数，
同理，用70乘以为最终结果除以3的余数，
然后把三个乘积相加，
即，
用233除以3，5，7三个数的最小公倍数105，得到余数23，
同理可得余下的数前后两个数的差为
将1至2017这2017个数中满足条件的数依次为：
23，128，233，338，443，548，653，758，863，968，1073，1178，1283，1388，1493，
1598，1703，1808，1913，2018共有20个，
故答案为：23，20．
推导出满足条件的一个数为，用233除以3，5，7三个数的最小公倍数105，得到余数23，由此求出将1至2021这2021个数中满足条件的数．
本题考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．
 

17.【答案】解：证明：，
，A为锐角，，
，
由正弦定理可得，得证．
由知，
，
，
设，，，则，解得，
的周长为．
 

【解析】利用同角三角函数基本关系式可求sinB，cosA，利用两角和的正弦公式可求sinC的值，进而根据正弦定理即可证明．
由利用两角和的余弦公式可求cosC的值，将已知等式平方，设，，，利用平面向量数量积的运算即可求解．
本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角和的正弦公式，正弦定理，两角和的余弦公式，平面向量数量积的运算在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
 

18.【答案】解：设数列的公差为d，则，
解得，，
，，
；
设，由可得，
由可得，
故存在等差数列满足条件，其中，，
下面用数学归纳法证明：当时，对成立，
当时，由上面过程可知，等式成立，
假设时等式成立，即，
则当时，，
，即当时等式成立，
由可知，其中对成立．
 

【解析】根据等差数列的通项公式和求和公式即可求出首项和公差，可得通项公式和求和公式；
存在等差数列满足条件，其中，，用数学归纳法证明即可．
本题考查数列递推式，训练了利用数学归纳法证明与自然数有关的命题，是中档题．
 

19.【答案】解：由题意可知，，解得，，
所以列联表如下：

所以，
故有的把握认为中学生使用手机对学习有影响；
根据题意，由分层抽样可知，抽取成绩优秀的学生3名，成绩不优秀的学生3名，
所以X的可能取值为0，1，2，3，
则，
，
，
，
所以X的分布列为：

故E．
 

【解析】根据所给的数据补全列联表，再由列联表中的数据，计算的值，对照临界表中的数据，比较即可得到答案；
先求出随机变量X的可能取值，然后求出其对应的概率，列出分布列，由数学期望的计算公式求解即可．
本题考查了列联表的应用以及独立性检验的应用，离散型随机变量及其分布列和离散型随机变量期望的求

解与应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．
 

20.【答案】证明：在面ABCD内，过点C作于P，作于Q，
面面ABCD，面面，
面，，
同理可得，，
，CP、平面ABCD，
面ABCD．

解：设，连接EF，
，平面EMN，
平面EMN，即平面EMN，
同理平面，
直线EF即为直线l，
，∽，
，
以A为原点，AB，AD，所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则0，，2，，0，，3，，
2，，3，，
，，
直线l与所成角的余弦值为．
 

【解析】在面ABCD内，过点C作于P，作于Q，再结合面面垂直的性质定理，线面垂直的性质定理和判定定理，得证；
设，连接EF，可证直线EF即为直线l，再以A为原点建立空间直角坐标系，由，，得解．
本题考查空间中线与面的垂直关系，异面直线夹角的求法，熟练掌握线面垂直的判定定理或性质定理，以及利用空间向量求异面直线夹角的方法是解题的关键，考查空间立体感、推理论证能力和运算能力，属于中档题．
 

21.【答案】解：由已知可得，结合，解得，
故双曲线E的方程；．
设直线方程，，，
直线DM的方程为，可得，
直线DN的方程为，可得，
联立，消去y，整理可得，
则，可得，




，
又，
的取值范围是
 

【解析】由已知可得，结合，解得a，b即可；
设直线方程，，，由直线DM的方程和直线DN的方程可得P，Q的坐标，，联立直线与双曲线方程，利用韦达定理即可求解．
本题考查了双曲线方程，考查了直线与双曲线的位置关系，考查了计算能力，属于中档题．
 

22.【答案】解：，
，；
证明：有唯一实根，
时，，递减，
时，，递增，
故两根分别在与内，不妨设，
设，，
则，时，，递减，
时，，递增，
有最小值，即恒成立，
，，
又因为函数在处的切线方程为，
同上可证得恒成立，
，，
于是．
 

【解析】求出函数的导数，计算，得到关于a的方程，解出即可；
根据函数的单调性分别求出以及，证明结论成立即可．
本题考查了求切线方程问题，考查函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查不等式的证明以及转化思想，是难题．