2022唐山十一中高三上学期9月月考数学试题含答案

唐山市第11高中2022届高三上学期9月月考

数学学科试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.若，则(   )

A.0 B.1 C. D.2

2.设集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

3. 已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（    ）

A.  B.  C.  D.

4.已知为抛物线上一点，点到的焦点的距离为12，到轴的距离为9，则(   )

A.2 B.3 C.6 D.9

5.函数的图像在点处的切线方程为(   )

A. B. C. D.

6. 下列区间中，函数单调递增的区间是（    ）

A.  B.  C.  D.

7. 有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（    ）

A. 甲与丙相互独立 B. 甲与丁相互独立

C. 乙与丙相互独立 D. 丙与丁相互独立

8.的展开式中的系数为(   )

A. 5 B. 10 C. 15 D. 20

二､选择题：本题共2小题，每小题5分，共10分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 有一组样本数据，，…，，由这组数据得到新样本数据，，…，，其中

(为非零常数，则（    ）

A. 两组样本数据的样本平均数相同

B. 两组样本数据的样本中位数相同

C. 两组样本数据的样本标准差相同

D. 两组样数据的样本极差相同

10. 已知为坐标原点，点，，，，则（    ）

A  B.

C.  D.

三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

11.若满足约束条件则的最大值为____________.

12.已知为双曲线的右焦点，为的右顶点，为上的点，且垂直于轴.若的斜率为3，则的离心率为______________.

13. 函数的最小值为______.

14.如图，在三棱锥的平面展开图中，，，，，，则______________.

四､解答题：本题共4小题，共50分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

15. （12分）

设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项．

(1)求的公比；

(2)若，求数列的前项和.

16. （12分）

如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，.是底面的内接正三角形，为上一点，.

(1)证明：平面；

(2)求二面角的余弦值.

17. （12分）

甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为.

(1)求甲连胜四场的概率；

(2)求需要进行第五场比赛的概率；

(3)求丙最终获胜的概率.

18.（14分）

 已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：.

答案

1.答案：D

解析： .故选D.

2.答案：B

解析：，选B.

3.答案：B

解析：如图设母线长为，则.

4.答案：C

解析： 因为点到轴的距离为9，所以可设点，所以.又点到焦点的距离为12，所以，所以，即，解得(舍去)或.故选C.

5.答案：B

解析：通解 ，，，又，所求的切线方程为，即.故选B.

优解 ，，，切线的斜率为2，排除C，D.又，切线过点，排除A.故选B.

6.答案：A

解析：单调递增区间为：
令，故选A.

7.答案：B

解析：由题意知，两点数和为8的所有可能为：
，，，，
两点数和为7的所有可能为：
，，，，，
，，，
，，，
故，正确，故选B.

8.答案：C

解析：因为的展开式的第项，所以的展开式中的系数为.故选C.

9.答案：CD

解析：，，A错
设第一组中位数为，则第二组中位数为，B错
一组，二组，C正确
设一组中最大为，最小为，极差
则二组中最大为，最小为，极差，D正确
故选CD.

10.答案：AC

解析：，，A正确
，，
B错
，，C正确
，，D错
故选AC.

11.答案：1

解析：通解 作出可行域，如图中阴影部分所示，由得故.作出直线，数形结合可知，当直线过点时，取得最大值，为1.

优解 作出可行域，如图中阴影部分所示，易得，，，当直线过点时，；当直线过点时，；当直线过点时，.所以的最大值为1.

12.答案：2

解析：设，因为为双曲线上的点，所以，所以.因为的斜率为3，所以，，所以，所以，所以，解得(舍去)或，所以的离心率.

13.答案：1

解析：，当时，等号成立，故最小值为1.

14.答案：

解析：依题意得，，在中，，，由余弦定理得，所以，所以.又，，所以在中，由余弦定理得.

15..答案：(1)；(2).

解析：(1)设的公比为，由题设得，即.

所以，解得(舍去)，.

故的公比为.

(2)记为的前项和.由(1)及题设可得，.所以，

.

可得

.

所以.

16.答案：(1)见解析；(2).

解析：(1)设，由题设可得，

.

因此，从而.

又，故.

所以平面.

(2)以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系.

由题设可得.

所以.

设是平面的法向量，则

即

可取.

由(1)知是平面的一个法向量，记，

则.

所以二面角的余弦值为.

17.答案：(1)；(2)；(3).

解析：(1)甲连胜四场的概率为.

(2)根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛.

比赛四场结束，共有三种情况：

甲连胜四场的概率为；

乙连胜四场的概率为；

丙上场后连胜三场的概率为.

所以需要进行第五场比赛的概率为.

(3)丙最终获胜，有两种情况：

比赛四场结束且丙最终获胜的概率为；

比赛五场结束且丙最终获胜，则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空结果有三种情况：胜胜负胜，胜负空胜，负空胜胜，概率分别为.

因此丙最终获胜的概率为.

18.答案：（1）解析一：，令
当，，；当时，，
解析二：因为，故在，

（2）解析一：，
令，，即证

令，，令
当时，，；当时，，
，，，
要证，即证，即证，
令，
，，，
左边证毕!
再证右边：，
要证，即证
令，
，在上
，，证毕!
解析二：，不妨设，，且
则有，即，要证，即证
先证：
令，
则
故，则，即，则得证!
再证：，不妨设，则，由可得，计算可得
而
，再令，则，再
则，故，则，故，则
即，则得证
故