2022全国高三上学期9月第一次学业质量联合检测数学（理）含答案

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2022届全国高三第一次学业质量联合检测

理科数学

本试卷4页。总分150分。考试时间120分钟。

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合A＝{x∈N|－1<x<2}，B＝{y|y＝2x，x∈A}，则A∪B的子集的个数为

A.2     B.3     C.7     D.8

2.某学校开展了“勤俭节约，从我做起”活动，活动开始前，该学校对学生每周的消费情况做了问卷调查，将统计数据整理得频率分布直方图如图，根据此频率分布直方图估计该校学生每周消费金额的众数为

A.99.4     B.99.5     C.105     D.110

3.已知z(2＋3i)－＝－2＋6i，是z的共轭复数，则z＝

A.1＋i     B.1－i     C.－1＋i     D.－1－i

4.圆的内接正方形的边长与圆的半径的比例称为白银比例，它在东方文化中的重要程度不亚于西方文化中的“黄金比例”。山西应县释迦塔(即著名的应县木塔)，是中国现存较为古老的木构塔式建筑。该木塔总高度与顶层檐柱柱头以下部分的高度之比与白银比例高度吻合。已知木塔顶层檐柱柱头以下部分的高度为46.83米，则应县木塔的总高度大约是(参考数据：≈1.414)

A.60.22米     B.63.23米     C.66.22米     D.70.50米

5.已知椭圆C：的离心率为，直线ax－by＝0与圆M：x2＋y2－mx＋1＝0相切，则实数m的值是

A.±1     B.±2     C.±4     D.±8

6.如图，网格纸上小正方形的边长为1，实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为

A.     B.     C.7     D.

7.已知数列{an}的前n项和为Sn，则“Sn＝3n＋1”是“数列{an}是常数列”的

A.充分不必要条件     B.必要不充分条件     C.充要条件     D.既不充分也不必要条件

8.在△ABC中，∠B＝，AB＝2，BC边上的中线AD的长度为2，则△ABC的外接圆的面积为

A.     B.     C.     D.

9.某公司为方便员工停车，租了6个停车位，编号如图所示。公司规定：每个车位只能停一辆车，每个员工只允许占用一个停车位。记事件A为“员工小王的车停在编号为奇数的车位上”，事件B为“员工小李的车停在编号为偶数的车位上”，则P(A|B)＝

A.     B.     C.     D.

10.已知A是锐角△ABC的一个内角，若(2－sinA)tan2A－cosA＝0，则cosA＝

A.     B.     C.     D.

11.某圆锥的侧面展开图是一个半径为4的半圆，正方体ABCD－A1B1C1D1内接于这个圆锥的内切球，则该圆锥的体积与正方体ABCD－A1B1C1D1的体积的比值为

A.4π     B.     C.4π     D.24π

12.设函数f(x)＝ax(a>1)，对任意实数b>2e2(e为自然对数的底数)，关于x的方程f(x)＝bx－e2恒有两个不相等的实数根，则a的取值范围是

A.(1，e2]     B.(1，e2)     C.(e2，＋∞)     D.[e2，＋∞)

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.直线l与曲线y＝(x2＋1)lnx在点(1，0)处相切，则直线l在y轴上的截距为           。

14.已知向量e1，e2是两个互相垂直的单位向量，O是坐标原点，＝3e1＋e2，＝2e1＋ke2(k>0)，若△OAB是直角三角形，则实数k的值为           。

15.已知双曲线C：的左、右焦点分别是F1，F2，直线l过坐标原点O且与双曲线C交于点M，N。若|MN|＝|F1F2|，则四边形MF1NF2的面积为           。

16.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的部分图象如图所示，B是某个三角形的内角，若关于a的不等式f(B)≤ea－a在R上恒成立，则B的取值范围为           。

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

(一)必考题：共60分。

17.(12分)

梨树绝大多数品种自花授粉，结实率很低，因此果农在栽培梨树的时候，必须在果园配置授粉树，并结合适当的辅助授粉方法，以便更顺利地完成梨树的授粉受精过程，以此达到果园丰产稳产、高品质的目的。某地区将梨树蜜蜂授粉和自然授粉的花朵坐果率进行比较，统计数据如下：

(1)自然授粉和蜜蜂授粉的花朵坐果数的频率分别是多少？

(2)根据数据完成下列2×2列联表，并据此判断能否有99.9%的把握认为自然授粉与蜜蜂授粉的花朵坐果率有差异？

附：，n＝a＋b＋c＋d。

18.(12分)

已知数列{an}，{bn}，Sn是数列{an}的前n项和，Tn＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn，从①bn＝3n；②Sn＝n2＋n；③Tn＝＋(n－)·3n＋1中选取两个作为条件，证明另外一个成立。

注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分。

19.(12分)

如图，在多面体ABC－A1B1C1中，侧面AA1B1B为菱形，BB1⊥平面ABC，CC1⊥平面ABC，AB＝BC＝2CC1＝2，N是AC的中点，M为棱A1B1上的动点，BC1⊥A1B1。

(1)证明：平面BC1N⊥平面A1B1N；

(2)当点M位于棱A1B1的什么位置时，面BB1C1C与面MNC1所成的二面角的正弦值最小？

20.(12分)

已知函数f(x)＝sinx－x＋x2。

(1)求函数f(x)的单调区间及最值；

(2)证明：，n∈N*。

21.(12分)

已知直线l过原点O，且与圆A交于M，N两点，|MN|＝4，圆A与直线y＝－2相切，OA与直线l垂直，记圆心A的轨迹为曲线C。

(1)求C的方程；

(2)过直线y＝－1上任一点P作C的两条切线，切点分别为Q1，Q2，证明：

①直线Q1Q2过定点；

②PQ1⊥PQ2。

(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22.[选修4－4：坐标系与参数方程](10分)

在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ2－2ρ(1＋sinθ－2sin2)＋1＝0。

(1)求C1的直角坐标方程；

(2)设点M的直角坐标为(0，－1－)，点N的直角坐标为(0，－1＋)，动点P满足＝0，求点P的轨迹C2的参数方程，并判断C1与C2的位置关系。

23.[选修4－5：不等式选讲](10分)

已知不等式|2x－1|＋|2x＋1|>|4a－2|(a∈R)对任意的x∈R都成立，方程|2x－1|＝b(b∈R)有两个不相等的实数根。

(1)求实数a，b的取值范围；

(2)若a＋b＝1，求的最大值。