2022浙江省A9协作体高三上学期暑假返校联考数学试题含答案

绝密★考试结束前

浙江省A9协作体暑假返校联考

高三数学试题卷

考生须知：

1．本卷满分150分，考试时间120分钟；

2．答题前务必将自己的姓名，准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的地方．

3．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范答题，在本试卷纸上答题一律无效．

4．考试结束后，只需上交答题卷．

参考公式：

如果事件互斥那么

如果事件相互独立，那么

如果事件在一次试验中发生的概率为，那么次独立重复试验中事件恰好发生次的概率为

台体的体积公式，其中分别表示台体的上、下底面积，表示为台体的高

柱体的体积公式，其中表示柱体的底面积，表示柱体的高

锥体的体积公式，其中表示锥体的底面积，表示锥体的高

球的表面积公式

球的体积公式，其中表示球的半径

选择题部分

一、选择题：每小题4分，共40分

1．已知集合，则（    ）

A．     B．     C．     D．

2．双曲线，则其离心率为（    ）

A．    B．     C．2    D．

3．设实数满足，则的最大值为（    ）

A．0    B．2    C．3    D．6

4．已知函数，则下列说法中正确的是（    ）

A．函数有最小值和最大值    B．函数是周期函数

C．函数单调递增            D．函数只有3个零点

5．图象为右图的函数表达式可能为（    ）

A．    B．    C．    D．

6．“”是“”的（    ）

A．充分必要条件    B．充分不必要条件    C．必要不充分条件    D．既不充分也不必要条件

7．已知，则（    ）

A．     B．     C．     D．

8．已知是边长为3的等边三角形，点在边上，且满足，点在边上及其内部运动，则的最大值为（    ）

A．6    B．     C．     D．

9．如图，棱长为1的正方体中，点为线段上的动点，点分别为线段的中点，则下列说法错误的是（    ）

A．             B．三棱锥的体积为定值

C．    D．的最小值为

10．已知数列中，，（…是自然对数的底数）．记数列的前项和为，则（    ）

A．    B．    C．    D．

非选择题部分

二、填空题：单空题每题4分，多空题每题6分

11．《孙子算经》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗．问：五人各得几何?”其意思为：“有5个人分60个橘子，他们分得的橘子个数成公差为3的等差数列，问5人各得多少橘子．”得到橘子最少的人所得的橘子个数是________，得到橘子最多的人所得的橘子个数是_____．

12．已知函数，则______．

13．已知某几何体的三视图如图所示，则此几何体的表面积是___，体积是_______．

14．如图，在中，为边上的一点，，则的面积是_______，________．

15．设，则的最小值为__，若，则的最小值为_____．

16．如图，设圆，现将半圆所在平面沿轴折起（坐标轴不动），使之与半平面成的二面角，若点为半圆上的动点，则点在半圆所在平面上的射影的轨迹方程为____．

17．已知平面向量满足，则的取值范围为______．

三、解答题：5小题，共74分

18．（14分）设函数的最小正周期为．

（1）求的单调递增区间；

（2）求函数在上的值域．

19．（15分）如图，在四棱锥中，平面平面，底面为直角梯形，其中，，为中点．

（1）求证：平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值．

20．（15分）已知正项数列及其前项和满足：．

（1）求数列的通项公式；

（2）令，数列的前项和为．若不等式对任意都成立，求的取值范围．

21．（15分）如图，点为抛物线上一动点（不与重合），过作轴垂线交轴于点，抛物线在点处的切线交轴于点，过作切线的垂线与抛物线相交于另一点，

（1）证明：为的中点；

（2）当四边形面积取得最小值时，求点的纵坐标．

22．（15分）已知，其导函数为

（1）当时，求在处的切线方程；

（2）函数的图象上是否存在一个定点，使得对于任意的，都有成立?证明你的结论．

浙江省A9协作体暑假返校联考

高三数学参考答案

一、选择题

10．

，又

又，所以．

二、填空题

11．6，18    12．1    13．    14．    15．4，    16．

17．

解析：如右图，设，

，

，令

所以点的轨迹是

三、解答题

18．解：

（1）                2分

，所以，所以            2分

所以，的单调递增区间为            3分

（2）            3分

，则，        2分

则，

所以函数在上的值域为．            2分

19．解：

（1）因为，所以                    2分

又平面平面，平面平面，

所以平面．                    4分

（2）法1：如图，建立空间直角坐标系，，            2分

                    2分

设平面的一个法向量为

令，则                    3分

．                        2分

法2：

                    2分

，

所以                5分

所以直线与平面所成角的正弦值为．                2分

其它方法酌情给分

20．解：

（1），则得                    1分

当时，，                2分

得又是正项数列，所以，            2分

所以为等差数列

所以                    2分

（2）                    2分

所以                2分

故要使对任意都成立，

只需对任意都成立即可．                2分

又，

所以，当，即时，

所以                    2分

21．解：

（1）设，则，

切线，            3分

，故，所以为的中点                2分

（2），

，解得                    2分

                2分（有面积公式即给分）

                3分

不妨设，则，考虑函数，令，解得．在上单调递减，在上单调递增．

故当时，有最小值．

当四边形面积最小时，点的纵坐标为                3分

22．解：

（1），                1分

，            2分

切线方程：                     2分

（2）假设存在定点满足条件．

，                2分

故，                2分

变形得

令，则，            3分

考虑函数

所以在单调递增，又，故只有唯一解．又因为，所以，故不存在定点满足条件．                    3分