2022淮安车桥中学高三上学期入学调研（B）数学（理）试题含答案

2022届高三入学调研试卷

理 科 数 学 （B）

注意事项：

1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷（选择题）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由可得，可得，

所以集合，，

所以，故选C．

2．若复数，则（    ）

A．0 B．2 C．4 D．6

【答案】B

【解析】由题意可得，则，

所以，故选B．

3．对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数的比较，正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】由给出的四组数据的散点图可以看出，题图1和题图3是正相关，相关系数大于0，

题图2和题图4是负相关，相关系数小于0，

题图1和题图2的点相对更加集中，所以相关性更强，所以接近于1，接近于，

由此可得，故选A．

4．函数的部分图象大致形状是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】定义域为，关于原点对称，

，

所以是偶函数，图象关于轴对称，故排除选项B、D；

当时，令，可得或，

所以时，两个相邻的零点为和，

当时，，，，

故排除选项A，

故选C．

5．已知数列{an}的前n项和Sn满足，记数列的前n项和为Tn，．则使得T20的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由可得，当时，；当时，，

作差可得，即，

而，符合，那么．

，

，

所以，故选C．

6．已知函数，若，，，则，，的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】因为，所以为奇函数；

因为，所以在上单调递减，

，

又，，所以，故选D．

7．已知的外心为，，，则的值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】，则，

即，则为的中点，

又因为为的外心，则，

所以，为直角三角形，且，如下图所示：

，所以，为等边三角形，则，

由勾股定理可得，

，故选D．

8．已知，的展开式中二项式系数的和为128，则展开式中的系数是（    ）

A．7 B． C．21 D．

【答案】C

【解析】由题意，二项式的展开式中二项式系数的和为128，

可得，解得，

所以二项式，

则展开式的通项为，

当时，可得，

所以展开式中的系数是，故选C．

9．甲、乙、丙人从楼乘电梯去商场的到楼，每层楼最多下人，则下电梯的方法有（    ）

A．种 B．种 C．种 D．种

【答案】D

【解析】分两种情况讨论：

①每个楼层下1人，则3人下电梯的方法种数为；

②3人中有2人从一个楼层下，另1人从其它楼层选一个楼层下，此时，3人下电梯的方法种数为，

由分类加法计数原理可知，3人下电梯的方法种数为种，

故选D．

10．已知函数在上可导且恒成立，则下列不等式中一定成立的是（    ）

A．、 B．、

C．、 D．、

【答案】A

【解析】由题意，设，则，

又由，所以，即函数在R上单调递增，

则，即，

变形可得，，故选A．

11．已知双曲线的一条渐近线方程为，右焦点为，点在双曲线左支上运动，点在圆上运动，则的最小值为（    ）

A．6 B．7 C．8 D．9

【答案】C

【解析】由双曲线方程，得，

所以渐近线方程为，比较方程，得，

所以双曲线方程为，点，

记双曲线的左焦点为，且点在双曲线左支上，所以，

所以，

由两点之间线段最短，得最小为，

因为点在圆上运动，

所以最小为点到圆心的距离减去半径1，

所以，所以的最小值为8，故选C．

12．在三棱锥中，平面，，，．若P，Q分别是，的中点，则平面被三棱锥的外接球所截得的截面面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由题意得，知球心O为中点，

故球O的直径，

因为平面，

设球心O到平面的距离为d，截面圆的半径为r，

由题设球心O到平面的距离等于点S到平面的距离等于点B到平面的距离，

在三棱锥中，由等体积法得，所以，

故截面面积为，故选A．

第Ⅱ卷（非选择题）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．已知实数m，n满足，则直线必过定点________．

【答案】

【解析】由已知得，

代入直线，得，即，

由，解得，

直线必过定点，故答案为．

14．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则________．

【答案】

【解析】因为，由正弦定理得，

因为，所以，所以，

又，所以，

因为，，

由余弦定理得，解得，

故答案为．

15．如图所示，满足如下条件：

①第行首尾两数均为；

②表中的递推关系类似“杨辉三角”．

则第行的第2个数是__________．

【答案】

【解析】由图表可知第行的第2个数为：

，

故答案为．

16．设函数，若存在唯一的整数使得，则实数m的取值范围是________．

【答案】

【解析】由题意知：函数定义域为，且，

∴当时，，单调递增，显然不止有一个整数使，不合题意；

当时，要使，则，

令，则，有，易知上，，单调递增，上，，单调递减，且；

令，过定点，图象如下：

∴要使存在唯一的整数使得，即的解集只有一个整数，

则与的一个交点在、之间（含），

∴当过时，，可得；

当过时，，可得，

∴，故答案为．

三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（12分）已知的内角，，的对边分别为，，，且满足．

（1）求；

（2）若，为边的中点，求的最小值．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）中，内角，，的对边分别为，，，且．

利用正弦定理得，整理得，

即，

由于，所以．

（2）因为的面积为，解得，

在中，，

两边同平方得：，

当且仅当时，等号成立，

所以，即的最小值为．

18．（12分）我国是全球最大的口罩生产国，在2020年3月份，我国每日口罩产量超一亿只，已基本满足国内人民的需求，但随着疫情在全球范围扩散，境外口罩需求量激增，世界卫生组织公开呼吁扩大口罩产能，常见的口罩有KN90和KN95（分别阻挡不少于和的到微米的氯化钠颗粒）两种．某口罩厂两条独立的生产线分别生产KN90和KN95两种口罩，为保证质量对其进行多项检测并评分（满分100分），规定总分大于或等于85分为合格，小于85分为次品，从流水线上随机抽取这两种口罩各100个进行检测并评分，结果如下表：

（1）试分别估计两种口罩的合格率；

（2）假设生产一个KN90口罩，若质量合格则盈利3元，若为次品则亏损1元；生产一个KN95口罩，若质量合格，则盈利8元，若为次品则亏损2元，在（1）的前提下，求生产一个KN90口罩和生产一个KN95口罩所得利润和不少于7元的概率．

【答案】（1），；（2）．

【解析】（1）由题意知生产KN90口罩合格率为，

生产KN95口罩合格率为．

（2）设X为生产一个KN90口罩和生产一个KN95口罩所得利润和，

利润和不少于7元有两种可能性，

一是KN90不合格，KN95合格，则；

二是KN90和KN95均合格，则，其他情况利润和是小于7元的，

∴，

故生产一个KN90口罩和生产一个KN95口罩所得利润和不少于7元的概率为．

19．（12分）已知正方形的边长为2，沿将折起至位置（如图），为的重心，点在边上，且．

（1）证明：平面；

（2）若，求二面角的余弦值．

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】（1）连接延长交于点，连接，，

因为是的重心，所以，

因为，所以，所以，

因为平面，平面，所以平面．

（2）因为，，所以，

在中，为的中点，所以为等腰三角形，

可得，

延长交于点，则为的中点，且，

所以，所以，

因为，，所以两两垂直，建系如图所示：

可得，，，，

，，，

，，

设平面的一个法向量为，

则，令，则，，

所以，

因为平面，所以平面的一个法向量为，

所以，

因为二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为．

20．（12分）设椭圆的左､右焦点分别为，，离心率为，过原点O的动直线l与椭圆C交于M，N两点，其中点M在第一象限，且．

（1）求椭圆C的方程；

（2）过的直线交C于A，B两点，求面积的最大值．

【答案】（1）；（2）3．

【解析】（1）根据对称性知，MN与互相平分，

则四边形为平行四边形，则，

又，结合椭圆定义知，，故，

由离心率，故，，

椭圆方程为．

（2）设，，AB的直线方程为，

联立椭圆方程，化简得，

则，，

则的面积为

，

令，，

则上式，

函数在时，单调递增，则上式在，即时取得最大值，

且最大值为．

21．（12分）已知函数，其中．

（1）讨论函数的单调性；

（2）记函数的导函数为．当时，若满足，证明：．

【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析．

【解析】（1）由函数的定义域为，且，

①当时，则当时，恒成立，

所以在上单调递减，无单调递增区间；

②当时，令，可得，

当时，；当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增，

综上所述，当时，在上单调递减，无单调递增区间；

当时，在上单调递减，在上单调递增．

（2）由函数，可得．

因为满足，可得，

即，

又由，

欲证，即证，

即证，即证，

因为，设，即证，

设，可得在上恒成立，

所以在上单调递减，所以，

所以，即成立．

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．

22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】

在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．

（1）若，求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；

（2）若直线l与C交于A，B两点，与x轴交于点P，且，求直线l的倾斜角．

【答案】（1），；（2）或．

【解析】（1）因为的参数方程为，所以，

所以的普通方程为，

又因为，所以，所以，

所以曲线的直角坐标方程为．

（2）将代入中，

得，即，

所以，

因为，所以，所以，

又因为，所以或，

所以直线倾斜角为或．

23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】

已知，且满足．

（1）证明：；

（2）证明：．

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．

【解析】（1）因为，所以，

则

，

当且仅当，即时等号成立，

所以．

（2），

，

所以，

所以，

即，当且仅当等号成立．