2022重庆市育才中学高三上学期8月高考适应性考试（二）数学试题含答案

重庆育才中学高2022届高考适应性考试二

数学

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合，，若，则实数的值为（    ）

A.0     B.    C.0或   D.0或

2.已知复数，则在复平面内对应的点在（    ）

A.第一象限   B.第二象限   C.第三象限   D.第四象限

3.函数的零点为，则不等式的最小整数解为（    ）

A.3     B.4     C.5     D.6

4.函数在上的图象大致为（    ）

A.     B.

C.    D.

5.为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯在公元前二世纪首先提出了“星等”这个概念.星等的数值越小，星星就越亮，星等的数值越大它的光就越暗.到了1850年，由于光度计在天体光度测量的应用，英国天文学家普森又提出了亮度的概念，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足，其中星等为的星的亮度为（）.已知“心宿二”的星等是1.00，“天津四”的星等是1.25，则“心宿二”的亮度大约是“天津四”的（    ）倍.（当较小时，）

A.1.27    B.1.26    C.1.23    D.1.22

6.已知，为正实数，直线与曲线相切，则的最小值是（    ）

A.6     B.    C.8     D.

7.已知是自然对数的底数，关于的方程有两个不同的解，（），则（    ）

A.，  B.，  C.   D.

8.已知偶函数，当时，，若，，，则，，的大小关系为（    ）

A.   B.   C.   D.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.下列命题为真命题的是（    ）

A.，不等式

B.若，且，则

C.命题“若，且，则的逆否命题”

D.若命题“”为假命题，则，均为假命题

10.已知函数，则下列结论正确的是（    ）

A.是奇函数       B.在上单调递增

C.若，则   D.若，则

11.已知函数，则函数具有下列性质（    ）

A.函数的图象关于点对称  B.函数在定义域内是减函数

C.函数的图象关于直线对称 D.函数的值域为

12.若函数的定义域为，且存在非零常数，对任意的，都有，则称为类周期函数，为的类周期.则（    ）

A.函数为类周期函数

B.函数为类周期函数

C.若函数为类周期函数，则函数为周期函数

D.若函数为类周期函数，则常数

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知幂函数在为增函数，则实数的值为______.

14.请写出一个同时满足下列三个条件的函数：______.

①是偶函数：②在上单调递减；③的值域是.

15.已知，把的图象向左平移2个单位，再把图象上每一点的横坐标缩短一半（纵坐标不变）得到函数的图象，则______.

16.已知函数（）.若存在，使得，则实数的取值范围是______.

四、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（10分）

已知等差数列的前项和为，且满足，（）.

（1）求数列的通项公式；

（2）已知数列满足：，求数列的前项和.

18.（12分）

在三角形中，，，的对边分别为，，.已知，，.

（1）求的面积；

（2）的角平分线交边于点，求的长.

19.（12分）

随着城市规模的扩大和人们生活水平的日益提高，某市近年机动车保有量逐年递增.根据机动车管理部门的统计数据，以5年为一个研究周期，得到机动车每5年纯增数据情况为：

其中，时间变量对应的机动车纯增数据为，且通过数据分析得到时间变量与对应的机动车纯增数量（单位：万辆）具有线性相关关系.

（1）求机动车纯增数量（单位：万辆）关于时间变量的回归方程，并预测2025~2030年间该市机动车纯增数量的值；

附：回归直线方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：

；.

（2）该市交通管理部门为了了解市民对“单双号限行”的赞同情况，随机采访了200名市民，将他们的意见和是否拥有私家车情况进行了统计，得到如下的列联表：

根据上面的列联表判断，能否有95%的把握认为“对限行的意见与是否拥有私家车”有关.

附：，.

20.（12分）

如图，正方体的棱长为2，点在棱上，点在棱上.

（1）若（如图1），求证：、、、四点共面；

（2）若为的中点，过、、三点的平面记为，平面与棱相交于点（如图2），平面将正方体分割所成的上下两个部分的体积分别为、，若，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

图1              图2

21.（12分）

设椭圆（）上的任意一点动点，上顶点为.

（1）当上顶点坐标为，离心率时，求的最大值；

（2）过点作圆的两条切线，切点分别为和，直线与轴和轴的交点分别为和，求面积的最小值.

22.（12分）

已知.

（1）求函数的单调区间：（2）设，，，求证：.

重庆育才中学高2022届高考适应性考试二

数学试题

一、选择题：1-4  CADA  5-8  BCDD

二、选择题：全部选对的得5分，部分选对的2分，有选错的得0分.

9.ACD   10.BCD   11.AD   12.CD

二、填空题：13.4 14.、（答案不唯一） 15.. 16.

四、解答题：

17.解（1）.

（2）由（1）知，数列是首项为2，公比为4的等比数列，前项和，

所以.

18.解：（1），，，，.

（2）法1：由

得.

法2：由三角形内角平分线定理，，，

在三角形中，根据余弦定理得，

，解得或（舍去）.

19.解：（1）由

所以，，

.

.

因为过点，所以，

，所以.

2025~2030年时，，所以，

所以2025~2030年间，机动车纯增数量的值约为34.8万辆.

（Ⅱ）根据列联表，由得观测值为

，

，

所以没有95%的把握认为“对限行的意见与是否拥有私家车有关”.

20.解：（Ⅰ）在上取点，使，

在正方形中，四边形是平行四边形，

所以且，

又因为，可得且，

所以且，

所以、、、四点共面.

（Ⅱ）连接，，则，

设，则，

，

所以，解得，

如图，以为坐标原点，分别以、、为轴、轴、轴建立空间直角坐标系.

则，），.

设平面法向量为，

由得

令，得.

又平面法向量为，

所以，

所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为.

21.（1）椭圆方程为，设，则

，

当时，的最大值为；

（2）设，，，由题意知斜率存在，且不为0，所以，

则直线和的方程分别为，.因为点在和上，所以有，，则，两点的坐标满足方程，所以直线的方程为，可得和，所以，因为，，所以，所以，当且仅当时取“=”，故面积的最小值为.

22.解：（1）定义域为，恒成立，

所以函数在为减函数.

（2）不妨设.先证，只要证，即，即，令，，则需证，由（1）知，在为减函数.

当时，，又，所以，即得证。

下面再证，即证，令，，只要证，.

令，（），恒成立，

在为减函数，，即得，所以成立.