2022浙江省“山水联盟”高三上学期开学联考数学试题含答案

2021学年第一学期高三“山水联盟”开学联考

数学学科试题

考生须知：

1. 本卷满分150分，考试时间120分钟；

2. 答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号井填涂相应数字；

3. 所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；

4. 考试结束后，只需上交答题卷.

参考公式：

如果事件，互斥，那么

如果事件，相互独立，那么

如果事件在一次试验中发生的概率是，那么次独立重复试验中事件恰好发生次的概率

台体的体积公式

其中，分别表示台体的上、下底面积，表示台体的高

柱体的体积公式

其中表示柱体的底面积，表示柱体的高

锥体的体积公式

其中 表示锥体的底面积，表示锥体的高

球的表面积公式

球的体积公式

其中表示球的半径

选择题部分（共40分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

2. 若复数（为虚数单位），则（    ）

A.   B.

C.   D.

3. 已知双曲线的一个焦点为，渐近线方程为，则该双曲线的标准方程为（    ）

A.   B.

C.   D.

4. 若实数，满足约束条件，则的最大值为（    ）

A. 6 B. 3 C. -3 D. -6

5. 若函数的图象如图所示，则的解析式可以是（    ）

A.   B.

C.   D.

6. 已知，设展开式中的系数为，则“”是“”的（    ）

A. 充分不必要条件  B. 必要不充分条件

C. 充要条件  D. 既不充分也不必要条件

7. 2021年7月，我国河南郑州遭受千年一遇的暴雨，为指导防汛救灾工作，某部门安排甲、乙、丙、丁、戊五名专家赴三地工作.因工作需要，每地至少需要安排一名专家，其中甲、乙两名专家必须安排在同一地工作，丙、丁两名专家不能安排在同一地工作，则不同的安排方案的总数为（    ）

A. 36  B. 30

C. 24  D. 18

8. 已知实数，满足，则的最小值为（    ）

A.   B.

C.   D.

9. 如图四面体，，，平面，于，于，则（    ）

A. 可能与垂直，的面积有最大值；

B. 可能与垂直，的面积没有最大值；

C. 不可能与垂直，的面积有最大值；

D. 不可能与垂直，的面积没有最大值.

10. 记，，若2是函数的一个极小值点，则（    ）

A.   B.

C.   D.

非选择题部分（共110分）

二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.

11. 《张丘建算经》是我国北魏时期大数学家丘建所著，约成书于公元466-485年间，其中记载着这么一道题：某女子善于织布，一天比一天织得快，而且每天增加的数量相同，已知第一天织布5尺，30天共织布390尺，则该女子织布每天增加的尺数为__________.

12. 设函数，则__________，若方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为__________.

13. 某几何体的三视图（单位：）如图所示，则该几何体的体积为__________（单位：），表面积为__________（单位：）.

14. 如图所示，在中，是边上的点，且，，，则__________，__________.

15. 从装有除颜色外完全相同的个白球和4个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回的摸取3次，记摸得白球个数为，若，则__________，__________.

16. 如图，焦点在轴上的椭圆的左、右焦点分别为，，是椭圆上位于第一象限内的一点，且直线与轴的正半轴交于点，的内切圆在边上的切点为，若，则该椭圆的离心率为__________.

17. 已知向量，满足，，则的最大值为__________.

三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

18. 设函数，.

（Ⅰ）求函数的最小正周期和单调递增区间；

（Ⅱ）已知，若函数是偶函数，求的最小值.

19. 如图，在三棱柱中，四边形是矩形，四边形是菱形，为的中点，且，，.

（Ⅰ）求证：平面平面；

（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值.

20. 已知数列的前项和为，，数列满足，.

（Ⅰ）求数列和的通项公式；

（Ⅱ）设数列满足：，，若不等式恒成立，求实数的取值范围.

21. 已知抛物线：的焦点到直线：的距离等于.

（Ⅰ）求抛物线的方程及准线方程；

（Ⅱ）设是直线上的动点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为、，求面积的最小值.

22. 已知函数，.

（Ⅰ）令函数，

①若函数的图象与直线：相切，求实数的值；

②若不等式恒成立，求整数的最大值；

（Ⅱ）若函数恰有两个极值点，求实数的取值范围.

2021学年第一学期高三“山水联盟”开学联考

数学学科参考答案及评分标准

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1-5：CBDCA 6-10：ABBCD

二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.

11.       12. 1，      13. 2，     14. 2，

15. 2，     16.          17. 5

三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

18. 解：（Ⅰ）

，

∴函数的最小正周期.

令，解得，

∴递增区间为.

（Ⅱ）.

∵是偶函数，∴，

∴，∴，，

∵，∴.

19. 解：（Ⅰ）∵，且，

∴平面，

∴，

又∵四边形是菱形，

∴，

∵，

∴平面，

∵平面，

∴平面平面.

（Ⅱ）法一：由可设，，

∵，，

∴为正三角形，

∵为的中点，

∴平面，

过点作，垂足为，连接，

∵平面，

∴，

∵，

∵平面，

∴就是直线与平面所成的角.

在中求得，

∴，

即直线与平面所成角的正弦值为.

法二：以点为坐标原点如图建立空间直角坐标系，

则，，

同法1得平面，∴，

∴，，，

设平面的法向量为，

则，

令得，，即，

∴.

即直线与平面所成角的正弦值为.

20. 解：（Ⅰ）当时，，∴，

当时，由得

，即，

∴数列是公差为2的等差数列，

∵，∴.

由条件得，，∴，即数列是公比为2的等比数列，

∴.

（Ⅱ），设数列的前项和为，则，

∴，

∴，

∴，

由得，累加得，

即，∴，

∴，

令，则，

∴，

∴，

∴.

21. 解：（Ⅰ）由题意知抛物线的焦点，∴，∴，

∵，∴，

∴抛物线的方程为，准线方程为.

（Ⅱ）设，，，则切线的方程为，

同理切线的方程为，

分别代入点可得，

对比可知直线的方程为：.

由，可知，

∴，

点到直线的距离为，

∴，

，

而，

∴.

当且仅当，即时，的最小值为.

22. 解：（Ⅰ）.

①设切点，，则，得.

②不等式即，，则.

设函数，∴，

∴，且在上是增函数，

∴存在唯一实数，使得，即，

∴在内单调递减，在内单调递增，

，

∴整数的最大值为2.

（Ⅱ），

则，

由题意可知在内有两个变号零点，

由得，∵，∴，

设（且）

∴，

∴在内递增，在内递增，在内递减.

∵，∴，得，

即实数的取值范围为.