2022广东省四校高三上学期开学联考数学试题含答案

广东省2022届高三开学四校联考

数  学

本试卷共22小题，满分150分，考试用时120分钟.

注意事项：

1. 答题卡前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、考号、座位号等相关信息填写在答题卡指定区域内.

2. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上.

3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效.

4. 考生必须保持答题卡的整洁.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 设集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

2. 已知，则（    ）

A.  B.  C.  D.

3. 函数具有性质（    ）

A. 最大值为2，图象关于对称 B. 最大值为，图象关于对称

C. 最大值为2，图象关于直线对称 D. 最大值为，图象关于直线对称

4. 一个圆柱的侧面展开图是一个面积为的正方形，则这个圆柱的体积为（    ）

A.  B.  C.  D.

5. 已知，则（    ）

A.  B.  C.  D.

6. 已知函数（，且）的图象恒过定点，若点在椭圆上，则的最小值为（    ）

A. 12 B. 10 C. 9 D. 8

7. 2020年新冠肺炎肆虐，全国各地千千万万的医护者成为“最美逆行者”，医药科研工作者积极研制有效抗疫药物，中医药通过临床筛选出的有效方剂“三药三方”（“三药”是指金花清感颗粒、连花清瘟颗粒（胶囊）和血必净注射液；“三方”是指清肺排毒汤、化湿败毒方和宜肺败毒方）发挥了重要的作用.甲因个人原因不能选用血必净注射液，甲、乙两名患者各自独立自主的选择一药一方进行治疗，则两人选取药方完全不同的概率是（    ）

A.  B.  C.  D.

8. 已知点在圆：上，椭圆：的右焦点为，点在椭圆上，且圆上的所有点均在椭圆外，若的最小值为，且椭圆的长轴长恰与圆的直径长相等，过点作圆的切线，则切线斜率为（    ）

A.  B.  C.  D.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 如图是2021年青年歌手大奖赛中，七位评委为甲、乙两名选手

打出的分数的茎叶图（其中、均为数字0~9中的一个），在去

掉一个最高分和一个最低分后，则有（    ）

A. 甲选手得分的平均数一定大于乙选手得分的平均数

B. 甲选手得分的中位数一定大于乙选手得分的中位数

C. 甲选手得分的众数与的值无关

D. 甲选手得分的方差与的值无关

10. 已知向量，，则下列命题正确的是（    ）

A. 存在，使得  B. 当时，与垂直

C. 对任意，都有 D. 当时，在方向上的投影为

11. 如图，点是正方体中的侧面内（包括边界）的一个动点，则下列结论正确的是（    ）

A. 满足的点的轨迹是一条线段

B. 在线段上存在点，使异面直线与所成的角是

C. 若正方体的棱长为1，三棱锥的体积最大值为

D. 点存在无数个位置满足到直线和直线的距离相等

12. 已知函数，则（    ）

A. 对任意的，函数都有零点.

B. 当时，对，都有成立.

C. 当时，方程有4个不同的实数根.

D. 当时，方程有2个不同的实数根.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知双曲线：的一条渐近线为，则双曲线的实轴长为__________.

14. 已知二项式的展开式的二项式系数和为64，则展开式中的有理项系数和为___________.

15. 函数的图象在点处的切线与直线垂直，则非零实数的值为__________.

16. 设正整数，其中，，记.若且，则这样的正整数有__________个，所有的这样的正整数的和为_____________.（用数字作答）

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 已知等比数列是递增数列，满足，.

（1）求的通项公式；

（2）设，若为数列的前项积，证明.

18. 党中央，国务院高度重视新冠病毒核酸检测工作，中央应对新型冠状病毒感染肺炎疫情工作领导小组会议作出部署，要求尽力扩大核酸检测范围，着力提升检测能力.根据统计发现，疑似病例核酸检测呈阳性的概率为.现有6例疑似病例，分别对其取样、检测，既可以逐个化验，也可以将若干个样本混合在一起化验，混合样本中只要有病毒，则化验结果呈阳性.若混合样本呈阳性，则需将该组中备用的样本再逐个化验；若混合样本呈阴性，则判定该组各个样本均为阴性，无需再化验.现有以下三种方案：方案一：6个样本逐个化验；方案二：6个样本混合在一起化验；方案三：6个样本均分为两组，分别混合在一起化验.在新冠肺炎爆发初期，由于检测能力不足，化验次数的期望值越小，则方案越“优”.

（1）若，按方案一，求6例疑似病例中至少有1例呈阳性的概率；

（2）若，现将该6例疑似病例样本进行化验，当方案三比方案二更“优”时，求的取值范围.

19. 如图所示，在四边形中，，且，，.

（1）若，求的长；

（2）求四边形面积的最大值.

20. 在四棱锥中，平面，，，，，点，在线段上，满足，.

（1）求证：；

（2）若为线段上的一点，且平面，求

平面与平面所成锐二面角的余弦值.

21. 已知抛物线：的焦点为，为抛物线上的一点，且.

（1）求抛物线的标准方程；

（2）过点的直线与抛物线交于，两点，点在抛物线上，记直线的斜率为，直线的斜率为，试判断是否存在点，使得？若存在，求出点的个数；若不存在，请说明理由.

22. 已知函数.

（1）若函数为增函数，求实数的取值范围；

（2）设有两个不同零点，.

（i）证明：；

（ii）若，证明：.

数学参考答案

一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分. 其中第1题~第10题为单项选择题，在给出的四个选项中，只有一项符合要求；第11题和第12题为多项选择题，在给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分）

二、填空题（本大题4小题，每小题5分，共20分）

13．        14．        15．        16． ，

三、解答题（本大题6小题，共70分）

17（1）可设等比数列的公比为， ……2分

解得：或（舍去）. ……4分

所以. ……5分

(2) ……6分

当时，①，②，……7分

①/②得，……8分

当时，也成立.……9分

……10分

18(1)用表示例疑似病例中化验呈阳性的人数，则随机变量……1分

由题意可知：.……3分

答：例疑似病例中至少有1例呈阳性的概率为.……4分

(2)方案二：混合一起检验，记检验次数为，则.……5分

……7分

方案三：每组的三个样本混合在一起化验，记检验次数为，则.……8分

……10分……12分

的取值范围.

19（）∵， ，

∴，          ……2分

∵在中， ， ， ，

∴由余弦定理可得，   ∴，……4分

在中， ， ， ，

∴由余弦定理可得，即，               ……5分

化简得，解得．故的长为．                ……6分

（2）设四边形面积为，则

， ……7分

所以， ……8分

在中，  ， ，∴由余弦定理可得：

，……9分

即， ……10分

,

当且仅当时，，……11分

所以，……12分

20（1）证明：，……1分

,四边形为矩形……2分

……3分

……4分

（第一问直接用向量法，也相应给分）

(2)  连接交于点，连接.

……6分

如图建立空间指角坐标系，则……8分

由（1）知，则为平面的一个法向量.……9分

设平面的一个法向量为，

则，取……11分

设平面与平面所成锐二面角为……12分

平面与平面所成锐二面角的余弦值为.

21（1）根据题意抛物线C的方程为，

则，……2分，解得，……3分，

所以抛物线C的标准方程为．……4分

（2）由题意知，，直线的斜率不为，可设直线的方程为，……5分

联立方程得，消去并化简得，……6分

设，则.……7分

因为两点在抛物线C上，所以，

所以，同理可得，……8分，则

，

……9分

所以，即……10分

因为，所以方程有两个不同的解，……11分

故满足的点的个数为.……12分

22（1）的定义域为，.……1分

函数是上的增函数，

……3分

实数的取值范围是

（2）（i）的两个根为. ……4分

不妨设

……5分

要证：，

只需证.……6分

令

在恒成立，在为增函数，

.……8分

（ii），

……9分

令，……10分

令

在为增函数，，

在为增函数，……11分

.……12分