2022四川省邻水实验学校高三上学期入学考试数学（文）试题含答案

数学试题（文科）

一、选择题（共12小题）.

1．已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，B＝{x|0＜x≤4}，则A∪B＝（　　）

A．[﹣1，4] B．（0，3]     C．（﹣1，0]∪（1，4] D．[﹣1，0]∪（1，4]

2．设复数z满足z•i＝﹣1+i，则＝（　　）

A．1 B． C． D．

3．命题“∃x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2”的否定形式为（　　）

A．∃x∈R，∀n∈N*，使得n＞x² B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n≥x2 

C．∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2 D．∀x∈R，∃n∈N*，使得n＞x2

4．函数f（x）＝﹣lnx的零点所在的区间为（　　）

A．（0，1）         B．（1，2） C．（2，3）   D．（3，4）

5．在△ABC中，已知b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形的解的情况是（　　）

A．有一解 B．有两解 

C．无解 D．有解但解的个数不确定

6．已知函数f（x）＝log3x，将函数y＝f（x）的图象向右平移1个单位长度，再将所得的函

数图象上的点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，然后将所得的图象上的点的纵坐标伸

长为原来的3倍，横坐标不变，得到函数y＝g（x）的图象，则函数g（x）的解析式为（　　）

A．g（x）＝3log3（x﹣1） B．g（x）＝log3（x﹣） 

C．g（x）＝3log3（2x﹣1） D．g（x）＝3log3（2x﹣2）

7．若函数f（x）＝log（3x2﹣ax+5）在区间（﹣1，+∞）上是减函数，则实数a的取值范围是（　　）

A．（﹣8，+∞） B．[﹣6，+∞） C．（﹣8，﹣6] D．[﹣8，﹣6]

8．已知曲线在点（1，f（1））处的切线的倾斜角为α，则＝（　　）

A． B．2 C． D．

9．函数f（x）的导函数f'（x）满足f'（x）＞f（x）在R上恒成立，且f（1）＝e，则下列判断一定正确的是（　　）

A．f（0）＜1 B．f（﹣1）＜f（0） C．f（0）＞0 D．f（﹣1）＞f（0）

10．已知函数f（x）＝﹣2sin（2x+φ）（|φ|＜π），若f（x）在区间（）上单调递增，则φ的取值范围是（　　）

A．[﹣] B．[] 

C．[] D．[﹣]∪（）

11．已知函数，若函数f（x）在R上有两个零点，则实数a的取值范围是（　　）

A．（0，1] B．[1，+∞） C．（0，1） D．（﹣∞，1]

12．已知f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，满足f（1﹣x）＝f（1+x），若f（1）＝2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）＝（　　）

A．﹣50 B．0 C．2 D．50

二、填空题（每小题5分）.

13．记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S4＝0，a5＝5，则an＝________。

14．设a∈R，若函数y＝ex+ax有大于零的极值点，则实数a的取值范围是________。

15．2019年7月，中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录，标志着中华五千年文明史得到国际社会认可．良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例，实证了中华五千年文明史．考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少“这一规律．已知样本中碳14的质量N随时间T（单位：年）的衰变规律满足表示碳14原有的质量），经过测定，良渚古城遗址文物样本中碳14的质量约是原来的，据此推测良渚古城存在的时期距今约　     　年．（参考数据：lg2≈0.3，lg7≈0.84，lg3≈0.48）

16．设点P为函数f（x）＝lnx﹣x3上任意一点，点Q为直线2x+y﹣2＝0上任意一点，则P，Q两点距离的最小值为　                　．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．△ABC中，sin2A﹣sin2B﹣sin2C＝sinBsinC．

（1）求A；

（2）若BC＝3，求△ABC面积的最大值．

18．如图，在三棱锥V﹣ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC＝BC＝，O，M分别为AB，VA的中点．

（1）求证：VB∥平面MOC；

（2）求证：平面MOC⊥平面VAB；

（3）求三棱锥V﹣ABC的体积．

19．某高校共有学生15000人，其中男生10500人，女生4500人．为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：小时）．

（1）应收集多少位女生的样本数据？

（2）根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据的分组区间为：[0，2]，（2，4]，（4，6]，（6，8]，（8，10]，（10，12]．估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率．

（3）在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．

附：K2＝．

每周平均体育运动时间与性别列联表

20．已知椭圆C：+＝1的右焦点为（1，0），且经过点A（0，1）．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设O为原点，直线l：y＝kx+t（t≠±1）与椭圆C交于两个不同点P、Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N．若|OM|•|ON|＝2，求证：直线l经过定点．

21．已知函数f（x）＝x3﹣kx+k2．

（1）讨论f（x）的单调性；

（2）若f（x）有三个零点，求k的取值范围．

选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．

[选修4-4：坐标系与参数方程]

22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝6cosθ．

（Ⅰ）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；

（Ⅱ）已知点P（1，0），若直线l与曲线C相交于A，B两点，求的值．

[选修4-5：不等式选讲]

23．设函数f（x）＝|x﹣2|+|x﹣a|．

（Ⅰ）若f（x）≥4对于x∈R恒成立，求实数a的取值范围；

（Ⅱ）当a＝﹣4时，函数f（x）的最小值为t，且正实数m，n满足m+n＝t，求的最小值．

参考答案

13. 2n-5   14.a<-1   15.6876   16.-2-2

17．解：（1）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，

因为sin2A﹣sin2B﹣sin2C＝sinBsinC，

由正弦定理可得a2﹣b2﹣c2＝bc，

即为b2+c2﹣a2＝﹣bc，

由余弦定理可得cosA＝＝﹣＝﹣，

由0＜A＜π，可得A＝；

（2）由题意可得a＝3，

又B+C＝，可设B＝﹣d，C＝+d，﹣＜d＜，

由正弦定理可得＝＝＝2，

可得b＝2sin（﹣d），c＝2sin（+d），

则△ABC周长为a+b+c＝3+2[sin（﹣d）+sin（+d）]＝3+2（cosd﹣sind+cosd+sind），

＝3+2cosd，

当d＝0，即B＝C＝时，△ABC的周长取得最大值3+2．

另解：a＝3，A＝，又a2＝b2+c2﹣2bccosA，

∴9＝b2+c2+bc＝（b+c）2﹣bc≥（b+c）2﹣（b+c）2，

由b+c＞3，则b+c≤2（当且仅当b＝c时，“＝”成立），

则△ABC周长的最大值为3+2．

18．（1）证明：∵O，M分别为AB，VA的中点，

∴OM∥VB，

∵VB⊄平面MOC，OM⊂平面MOC，

∴VB∥平面MOC；

（2）∵AC＝BC，O为AB的中点，

∴OC⊥AB，

∵平面VAB⊥平面ABC，OC⊂平面ABC，

∴OC⊥平面VAB，

∵OC⊂平面MOC，

∴平面MOC⊥平面VAB

（3）在等腰直角三角形ACB中，AC＝BC＝，∴AB＝2，OC＝1，

∴S△VAB＝，

∵OC⊥平面VAB，

∴VC﹣VAB＝•S△VAB＝，

∴VV﹣ABC＝VC﹣VAB＝．

19．解：（1）300×＝90，所以应收集90位女生的样本数据．

（2）由频率分布直方图得1﹣2×（0.100+0.025）＝0.75，

所以该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率的估计值为0.75．

（3）由（2）知，300位学生中有300×0.75＝225人的每周平均体育运动时间超过4小时，75人的每周平均体育运动时间不超过4小时，又因为样本数据中有210份是关于男生的，90份是关于女生的，所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下：每周平均体育运动时间与性别列联表

结合列联表可算得K2＝＝≈4.762＞3.841

所以，有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．

20．解：（Ⅰ）椭圆C：+＝1的右焦点为（1，0），且经过点A（0，1）．

可得b＝c＝1，a＝＝，

则椭圆方程为+y2＝1；

（Ⅱ）证明：y＝kx+t与椭圆方程x2+2y2＝2联立，可得（1+2k2）x2+4ktx+2t2﹣2＝0，

设P（x1，y1），Q（x2，y2），

△＝16k2t2﹣4（1+2k2）（2t2﹣2）＞0，x1+x2＝﹣，x1x2＝，

AP的方程为y＝x+1，令y＝0，可得x＝，即M（，0）；

AQ的方程为y＝x+1，令y＝0，可得x＝．即N（，0）．

（1﹣y1）（1﹣y2）＝1+y1y2﹣（y1+y2）＝1+（kx1+t）（kx2+t）﹣（kx1+kx2+2t）

＝（1+t2﹣2t）+k2•+（kt﹣k）•（﹣）＝，

|OM|•|ON|＝2，即为|•|＝2，

即有|t2﹣1|＝（t﹣1）2，由t≠±1，解得t＝0，满足△＞0，

即有直线l方程为y＝kx，恒过原点（0，0）．

21.解：（1）f（x）＝x3﹣kx+k2．f′（x）＝3x2﹣k，

k≤0时，f′（x）≥0，f（x）在R递增，

k＞0时，令f′（x）＞0，解得：x＞或x＜﹣，

令f′（x）＜0，解得：﹣＜x＜，

∴f（x）在（﹣∞，﹣）递增，在（﹣，）递减，在（，+∞）递增，

综上，k≤0时，f（x）在R递增，

k＞0时，f（x）在（﹣∞，﹣）递增，在（﹣，）递减，在（，+∞）递增；（2）由（1）得：k＞0，f（x）极小值＝f（），f（x）极大值＝f（﹣），

若f（x）有三个零点，

只需，解得：0＜k＜，

故k∈（0，）．

22．解：（Ⅰ）曲线C1的参数方程为（t为参数），转换为t＝，代入x＝4t2

﹣1，得到直角坐标方程为y2＝4x+4．

根据，转换为极坐标方程为ρ2sin2θ＝4ρcosθ+4．

曲线C2的极坐标方程为，转换为直角坐标方程为．

（Ⅱ）把曲线C2的极坐标方程为，代入ρ2sin2θ＝4ρcosθ+4得到，

所以，ρ1ρ2＝﹣16，

所以．

23．（Ⅰ）解：

当x≤﹣，f（x）单调递减；当﹣＜x，f（x）单调递增；

所以函数f（x）的最小值为1．

（Ⅱ）证明：由于a+b+c＝1，

所以，

即，当且仅当a＝，b＝c＝时取等号．