2022青铜峡高级中学高三上学期开学考试数学（理）试题含答案

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）

1. 已知复数满足（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于(    )

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2．下列求导运算中，正确的是（    ）

A． B． C． D．

3．盒中有10个螺丝钉,其中有3个是坏的,现从盒中随机地抽取4个,那么概率是的事件为(　　)

A．恰有1个是坏的    B．恰有2个是好的    C．4个全是好的    D．至多有2个是坏的

4. 函数的单调减区间为（    ）

A． B． C． D．

5．随机变量的概率分布列规律为其中为常数，则的值为（     ）.

A． B． C． D．

6．是曲线上任意一点，则的最大值是（    ）

A．36 B．26 C．25 D．6

7．已知，，，则（    ）

A．0.6 B．0.7 C．0.8 D．0.9

8．某单位为了制定节能减排的目标，先调查了用电量y（单位：度）与气温x（单位：℃）之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：

由表中数据得线性回归方程：.当气温为20℃时，预测用电量约为（     ）

A．20 B．16 C．10 D．5

9. 某班组织由甲、乙、丙等5名同学参加的演讲比赛，现采用抽签法决定演讲顺序，在“学生甲不是第一个出场，学生乙不是最后一个出场”的前提下，学生丙第一个出场的概率为（    ）

A． B．              C． D． 

10．下列各项中，是的展开式的项为（    ）

A．15 B． C． D．

11．函数在的图象大致为（    ）

A． B． C． D．

12．已知，都是定义在上的函数，且（，且），，，则的值为（    ）．

A．2 B． C． D．

二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）

13．不等式1≤|x＋1|＜3的解集为___________

14．某城市新修建的一条道路上有10盏路灯，为了节省用电而又不能影响正常的照明，可以熄灭其中的3盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，则熄灯的方法有_________种（请用数字作答）

15. 若的展开式中第3项的二项式系数是15，则展开式中所有项系数之和为        .

16．勤洗手、常通风、戴口罩是切断新冠肺炎传播的有效手段.经调查疫情期间某小区居民人人养成了出门戴口罩的好习惯，且选择佩戴一次性医用口罩的概率为p，每人是否选择佩戴一次性医用口罩是相互独立的.现随机抽取5位该小区居民，其中选择佩戴一次性医用口罩的人数为X，且，，则p的值为______.

三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（本题10分）已知函数，函数．

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若函数的图象恒在函数图象的上方，求实数的取值范围．

18．（本题12分）在极坐标系中，点M坐标是，曲线C的方程为；以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率是-1的直线l经过点M．

（1）写出直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程；

（2）求证直线l和曲线C相交于两点A、B，并求|MA|·|MB|的值．

19．（本题12分）设甲、乙两位同学上学期间，每天7:30之前到校的概率均为.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.

（1）用表示甲同学上学期间的每周五天中7:30之前到校的天数，求随机变量的分布列和数学期望；

（2）记“上学期间的某周的五天中，甲同学在7:30之前到校的天数比乙同学在7:30之前到校的天数恰好多3天”为事件，求事件发生的概率.

20．（本题12分）已知函数.

（1）在平面直角坐标系中作出函数的图象；

（2）设函数的最小值为，若，，都为正数，且，求证：.

21．（本题12分）已知函数．

（1）若，求在处的切线方程；

（2）若函数在处取得极值，且存在，使得成立，求实数的取值范围．

22．（本题12分）推进垃圾分类处理，是落实绿色发展理念的必然选择，也是打赢污染防治攻坚战的重要环节．为了解居民对垃圾分类的了解程度某社区居委会随机抽取100名社区居民参与问卷测试，并将问卷得分绘制频率分布表如表：

（1）从该社区随机抽取一名居民参与问卷测试试估计其得分不低于60分的概率：

（2）将居民对垃圾分类的了解程度分为“比较了解”（得分不低于60分）和“不太了解”（得分低于60）两类，完成2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为“居民对垃圾分类的了解程度”与“性别”有关？

（3）从参与问卷测试且得分不低于80分的居民中，按照性别进行分层抽样，共抽取10人，现从这10人中随机抽取3人作为环保宣传队长，设3人中男性队长的人数为，求的分布列和期望．

附：．

临界值表：

青铜峡市高级中学高三数学开学考答案

一、选择题（12*5=60分）

二、填空题（4*5=20分）

13、       14、   20    .  15、        16、0.6

三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．(本题10分)已知函数，函数．

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若函数的图象恒在函数图象的上方，求实数的取值范围．

解：（1）当时，不等式可化为（*）

①当时，不等式（*）可化为，得，有．

②当时，不等式（*）可化为，得，有

③当时，不等式（*）可化为，得，有．

由①②③知不等式的解集为．

（2）函数的图象恒在函数图象的上方，恒成立，

则恒成立，

，

的取值范围为．

18．（本题12分）在极坐标系中，点M坐标是，曲线C的方程为；以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率是-1的直线l经过点M．

（1）写出直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程；

（2）求证直线l和曲线C相交于两点A、B，并求|MA|·|MB|的值．

解：（1）点的直角坐标是，直线倾斜角是，…………（1分）

直线参数方程是，即，………（3分）

即，

两边同乘以得，

曲线的直角坐标方程为；………………（6分）

（2）代入，得

，直线的和曲线相交于两点，………（8分）

设的两个根是，，………………（10分）

． ………………（12分）

19．（本题12分）设甲、乙两位同学上学期间，每天7:30之前到校的概率均为.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.

（1）用表示甲同学上学期间的每周五天中7:30之前到校的天数，求随机变量的分布列和数学期望；

（2）记“上学期间的某周的五天中，甲同学在7:30之前到校的天数比乙同学在7:30之前到校的天数恰好多3天”为事件，求事件发生的概率.

解：（1）因为甲同学上学期间的五天中到校情况相互独立，且每天之前到校的概率为，

所以，

从而，，

所以，随机变量的分布列为：

所以；

（2）设乙同学上学期间的五天中之前到校的天数为，则，

且事件，

由题意知，事件之间互斥，

且与相互独立，

由（1）可得.

20．（本题12分）已知函数.

（1）在平面直角坐标系中作出函数的图象；

（2）设函数的最小值为，若，，都为正数，且，求证：.

（1）解：由，

得作出函数的图象如图5所示.

（2）证明：由（1）可知，函数的最小值为2，所以.

∵，，都为正数，

∴

，

当且仅当时，等号成立.

21．（本题12分）已知函数．

（1）若，求在处的切线方程；

（2）若函数在处取得极值，且存在，使得成立，求实数的取值范围．

解：（1）当时，，则，，，

此时，曲线在点处的切线方程为，即；

（2）因为，则，

由题意可得，解得，

故，，列表如下：

因为存在，使得，等价于，

∴在上的最大值为，

∴

所以的取值范围是．

22．（本题12分）推进垃圾分类处理，是落实绿色发展理念的必然选择，也是打赢污染防治攻坚战的重要环节．为了解居民对垃圾分类的了解程度某社区居委会随机抽取100名社区居民参与问卷测试，并将问卷得分绘制频率分布表如表：

（1）从该社区随机抽取一名居民参与问卷测试试估计其得分不低于60分的概率：

（2）将居民对垃圾分类的了解程度分为“比较了解”（得分不低于60分）和“不太了解”（得分低于60）两类，完成2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为“居民对垃圾分类的了解程度”与“性别”有关？

（3）从参与问卷测试且得分不低于80分的居民中，按照性别进行分层抽样，共抽取10人，现从这10人中随机抽取3人作为环保宣传队长，设3人中男性队长的人数为，求的分布列和期望．

解：（1）根据频率分布表：.

（2）根据频率分布表得到列联表：

故，

故有95%的把握认为“居民对垃圾分类的了解程度”与“性别”有关.

（3）不低于80分的居民的样本中，男性有90人，女性有60人，

故抽取男性人，抽取女性人，

故的可能取值为，

；；；.

故分布列为：

.