2022邵阳二高高三上学期7月第一次自主调研数学试题含答案

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邵阳二高2022届高三上学期第一次自主调研数学试题卷本试卷满分150分．考试用时120分钟．一、单项选择题：本题共8道小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1． 已知复数（为虚数单位），则 A． B． C． D．2．若非零向量、满足，则、两向量的夹角为（ ）A. 0° B. 60° C. 90° D. 180°3.已知集合 , 则（ ）A． B． C. D．4．从包含甲在内的5名学生中选出4名分别参加数学、物理、化学、生物学科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不同的参赛方案种数为( )A.48 B.72 C.90 D.965．已知，则等于（ ）A． B． C． D． 6．若，，则下列式子成立的是A． B． C． D．7.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过且斜率为的直线与其左支交于点，若存在，使，，且，则双曲线的离心率为( )A. B. C. D. 8．设，若存在正实数，使得不等式成立，则的最大值为A． B． C． D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．下列说法正确的是( )A.命题“，”的否定是“，”B.已知，则“”是“”的必要不充分条件C.命题：若为第一象限角，则；命题：函数有两个零点，则为假命题D.，10．设函数，则下列说法正确的有( )A.当，时，为奇函数B.当，时，的一个对称中心为C.若关于的方程的正实根从小到大依次构成一个等差数列，则这个等差数列的公差为D.当，时，在区间上恰有个零点11．已知抛物线C： QUOTE =4y的焦点为F，A、B在抛物线C上，且 QUOTE =2 QUOTE ，过A，B分别引抛物线C两切线交于点P，则下列结论正确的是( )A.点P位于抛物线的准线上 B.∠APB=90°C.PF⊥AB D.PF=2 QUOTE 12.如图，菱形边长为，，为边的中点．将沿折起，使到，且平面平面，连接，．ACBDEA'CBDE 则下列结论中正确的是( ) A． B．四面体的外接球表面积为C．与所成角的余弦值为 D．直线与平面所成角的正弦值为 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．曲线在点处的切线方程为________.14.已知等差数列的前项和为，公差，，是与的等比中项，则的通项公式为__________.15．中国工程院院士袁隆平，被誉为“世界杂交水稻之父”．他发明的“三系法”籼型杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系．某地种植超级杂交稻，产量从第一期大面积亩产公斤，到第二期亩产公斤，第三期亩产公斤，第四期亩产公斤．将第一期视为第二期的父代，第二期视为第三期的父代，或第一期视为第三期的祖父代，并且认为子代的产量与父代的产量有关，请用线性回归分析的方法预测第五期的产量为每亩__________公斤．附：用最小二乘法求得线性回归方程为，其中，．16．英国数学家泰勒发现了公式：，瑞士大数学家欧拉凭着他非凡的数学洞察力，由此公式得到了下面的无穷级数之和，并最终给出了严格证明．．其发现过程简单分析如下：当时，有，容易看出方程的所有解为：，，，，，于是方程可写成：，改写成：． （*）比较方程（*）与方程中项的系数，即可得__________．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（10分）已知的内角，，的对边分别为，，，．（1）求角；（2）若，，求的面积．18．（12分）已知数列是首项为，公差为的等差数列.(为常数，且).(Ⅰ)求证：数列是等比数列；(Ⅱ)当时，设，求数列的前项和.（12分）如图，在五面体中，面为矩形，且与面垂直，，，．（1）证明：//；（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．20．（12分）从某企业生产的某种产品中抽取1000件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布表和频率分布直方图．（1）求，，的值；（2）求出这1000件产品质量指标值的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（3）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差，其中已计算得．如果产品的质量指标值位于区间，企业每件产品可以获利10元，如果产品的质量指标值位于区间之外，企业每件产品要损失100元，从该企业一天生产的产品中随机抽取20件产品，记为抽取的20件产品所获得的总利润，求．附：，，．21．（12分）已知椭圆的长轴长为，离心率为，（1）求椭圆的方程；OAxDMNBy（2）过椭圆上的点的直线与，轴的交点分别为，，且，过原点的直线与平行，且与交于，两点，求面积的最大值．22．（12分）已知函数，，是自然对数的底数．（1）当时，讨论的单调性；（2）当时，，求的取值范围．邵阳二高2022届高三上学期第一次自主调研数学试题答案2021.7．25一、单项选择题：二、多项选择题：三、填空题：13. ; 14. ； 15.；16..解析：8．解：因为，所以，因为，所以即． 因为，设函数在为增函数，所以所以．又函数在为增函数，在为减函数，所以的最大值为．15．解：因为，，所以，，所以，所以第五期产量为．四、解答题：17．解：（1）法一：由得，， 整理得，． ∵，， ∴，即． 又，所以，． 法二：由应用正弦定理得，， 即 ， 整理得，， 于是， 又，所以，． 法三：由应用正弦定理，得， 由余弦定理，可得，代入上式，得． ∵，∴， 又，所以，． （2），，由余弦定理，得 即，则． 于是． 18．(1)∵，∴∵是首项为，公差为的等差数列 ∴∴ ∴ ∴，又∵∴数列是以为首项，公比为的等比数列(2)由(1)得：∵∴又∴∴.19.解：（1）证明：∵ 面为矩形，， 且平面，平面， ∴平面， 又平面，平面平面， ∴． （2）法一：（向量法）∵ 面为矩形面，，又面面，且面面，∴面， 由（1）知，.，又，∴， ∴，，两两垂直，以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立图示空间直角坐标系，则，，，，，． xyz，，，， 设平面与平面的法向量分别为，，则∴ 令，解得， 令，解得， 于是， 所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值为． 法二：（几何法）由（1）知，，，∴ ，又，∴，且， ∴ 平面，且平面，∴ 平面平面．∴二面角与二面角之和为．易知 平面，∴．如图，在中作，垂足为，连接， FEACBDM，∴ 平面，则， 即为平面与平面所成二面角的平面角． ， 则 ． 即平面与平面所成的锐二面角的余弦值为．法三：（构造空间角）如图，取中点，连接，，则由（1）可知，且平面，∴ 多面体是直三棱柱．如图在中作，垂足为， 作，交于点，连接， 则，，且，FEACBDMNG∴平面，则， 所以，即为平面与平面所成二面角的平面角．…9分，， ．所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值为． 20．解：（1）结合频率分布表可以得到，， （2）抽取这1000件产品质量指标值的样本平均数为：，（3）因为，由（2）知， 从而，设为随机抽取20件产品质量指标值位于之外的件数. 依题意知，所以，所以答：该企业从一天生产的产品中随机抽取20件产品的利润为. 21．解法一：（1）点在椭圆上且，， 又椭圆离心率为，，由解得． 椭圆的标准方程为：． （2）点在椭圆上，，即， 设经过点的直线方程为：，可得，．，即．直线斜率为，，方程为，即，联立，解得，，，点到直线的距离为， ， ，， 三角形面积的最大值为，当且仅当，即时，等号成立． ……12分解法二：（1）同解法一（2）设，，则，满足曲线上，则，化简得，．直线的方程为，即，原点到直线的距离为，易得直线的方程为，设，，联立方程组：，化简得，则， ， 又， ，三角形面积的最大值为，当且仅当时，，即时，等号成立． 22．解法一：（1）当时，， 令，得，由，得，由，得或， 所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减． （2）由当时，，得，记，则， 当时，则，可知在上单调递增，且，不满足当时，，舍去； ②当时，令，得，，因为，所以当时，，当时，，故在上单调递减，在上单调递增，所以，解得，因为，所以； ③当时，则，此时当时，，故在上单调递减，所以，解得，所以； 综上所述，的取值范围是. 解法二：（1）同解法一（2）由当时，，得，记，则， 由，得，由，得； ①当时，令，得，，因为，所以当时，，当时，，故在上单调递减，在上单调递增，所以，解得，因为，，所以； ②当时，，此时当时，，故在上单调递减，所以，解得，所以； 综上所述，的取值范围是. 分组频数频率[2.5，7.5)20.002[7.5，12.5)0.054[12.5，17.5)1060.106[17.5，22.5)1490.149[22.5，27.5)352[27.5，32.5)1900.190[32.5，37.5)1000.100[37.5，42.5)470.047合计10001.000题号12345678答案BABDCCDA题号9101112答案ABADABCBCD