2021南昌新建区一中高三高考押题卷（一）数学（理）试卷含答案

新建一中2021年高考押题卷（一）

理科数学

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 设全集,，，则图中阴影部分表示的集合为（    ）

1.       B.      C.      D.

2．已知复数（为虚数单位），其共轭复数为，则的虚部为（    ）

A． B． C． D．

3.“，，成等比数列”是“，，成等比数列”的　　

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

4.已知直线与曲线相切，则下列直线不可能与平行的是（    ）

1.    B.  C.  D.

5. 古代中国的太极八卦图是以圆内的圆心为界，画出相同的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有阴眼，阴鱼的头部有阳眼，表示万物都在相互转化，互相渗透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳结合，相生相克，蕴含现代哲学中的矛盾对立统一规律.图2（正八边形ABCDEFGH）是由图1（八卦模型图）抽象而得到，并建立如图2的平面直角坐标系，设

,则下列错误的结论是（    ）

A.

B.以射线为终边的角的集合可以表示为

C.在以点O为圆心、为半径的圆中，弦所对的劣弧弧长为

D.正八边形ABCDEFGH的面积为

6．函数的图象大致形状为（    ）

A． B．

C． D．

7．设，，，则的大小顺序为（    ）

A．         B．       C．       D．

8.如图，在中，D，E是AB边上两点，，且，，，的面积成等差数列.若在内随机取一点，则该点取自的概率是（    ）

A． B． C． D．

9．已知函数，则下列结论中正确的是（    ）

A．点是的一个对称中心点

B．的图象是由的图象向右平移个单位长度得到

C．在上单调递增

D．是方程的两个解，则

10．已知双曲线的右焦点为，直线与双曲线相交于，两点，为坐标原点，线段、的中点分别为、，且，则双曲线的离心率为

A． B． C．4 D．2

11.在棱长为2的正方体中，以为球心的球与线段交于点，设与底面所成角为，且球的表面积为，则　　

A． B． C． D．

12. 函数是定义在上的偶函数，且当时，若对任意的，均有，则实数的最大值是（     ）

1.           B.          C.         D.

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．)

13．已知，，，则_________．

14．的展开式中含的项的系数为_________．

15.现有语文、数学、英语、物理、化学、生物各一本书，把这6本书分别放入3个不同的抽屉里，要求每个抽屉至少放一本书且语文和数学放在同一个抽屉里，则不同的放法种数为　    　．

16．托勒密（Ptolemy）是古希腊天文学家、地理学家、数学家，托勒密定理就是由其名字命名，该定理指出：圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积．已知凸四边形的四个顶点在同一个圆的圆周上，、是其两条对角线， ,，则四边形的面积为　    　．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必做题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选做题，考生根据要求作答．

（一）必考题：

17.(12分) 已知是等差数列的前项和， ，

(1)求数列的通项公式；

(2)记，求数列的前项和.

18．（12分）如图，在三棱台中，，是的中点，平面．

（1）求证：；

（2）若，，，求二面角的大小．

19．（12分）为了缓解日益拥堵的交通状况，不少城市实施车牌竞价策略，以控制车辆数量．某地车牌竞价的基本规则是：①“盲拍”，即所有参与竞拍的人都是网络报价，每个人不知晓其他人的报价，也不知道参与当期竞拍的总人数；②竞价时间截止后，系统根据当期车牌配额，按照竞拍人的出价从高到低分配名额．某人拟参加年月份的车牌竞拍，他为了预测最低成交价，根据竞拍网站的公告，统计了最近个月参与竞拍的人数(见下表)∶

（1）由收集数据的散点图发现，可用线性回归模型拟合竞拍人数（万人）与月份编号之间的相关关系．请用最小二乘法求关于的线性回归方程，并预测年月份参与竞拍的人数；

（2）某市场调研机构对位拟参加年月份车牌竞拍人员的报价价格进行了一个抽样调查，得到如下的一份频数表：

（i）求这位竞拍人员报价的平均值和样本方差（同一区间的报价可用该价格区间的中点值代替）；

（ii）假设所有参与竞价人员的报价可视为服从正态分布，且与可分别由（i）中所求的样本平均数及估值．若年月份实际发放车牌数量为，请你合理预测（需说明理由）竞拍的最低成交价．

参考公式及数据：①回归方程，其中，；②，，；③若随机变量服从正态分布，则，，．

20．（12分）在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，右焦点为，上顶点为，点到直线的距离等于1．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）直线与椭圆相交于，两点，为中点，直线，分别与圆相切于点，，求的最小值．

21．（12分）已知函数，．

（1）设，求的极值：

（2）若函数有两个极值点，．求的最小值．

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题做答．如果多做，则按所做的第一题记分

22. 【选修4-4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）

已知心形线是由一个圆上的一个定点，当该圆绕着与其相切且半径相同的另外一个圆周上滚动时，这个定点的轨迹，因为其形状像心的形状而得名．在极坐标系中，方程表示的曲线就是一条心形线，如图，以极轴所在直线为轴，极点为坐标原点的直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（为参数）.

（1）求曲线的极坐标方程；

（2）若曲线与相交于、、三点，求线段的长.

23. 【选修4-5：不等式选讲】（本小题满分10分）

已知函数的最大值为.

（1）求的值；

(2)设均为正实数，且满足，求证：.

新建一中2021年高考押题卷（一）

理科数学参考答案

1. C  ,,易知阴影部分为集合,故选C

2.B   因为，

所以它的共轭复数，其虚部为，故选B．

3．A   若，，成等比数列，则，

此时，则，，成等比数列，即充分性成立，

反之当，，时满足，，成等比数列，但，，不成等比数列，即必要性不成立，

即“，，成等比数列”是“，，成等比数列”的充分不必要条件，

故选．

4.C   ，即直线的斜率，故直线不可能与平行。故选C.

5.D   ,故A正确；以射线为终边的角的集合可以表示为,故B正确；,在以点O为圆心、为半径的圆中，弦所对的劣弧弧长为,故C正确；正八边形ABCDEFGH的面积为，故D错误，故选D

6.A． ，

，

所以为偶函数，排除CD；，排除B．

7.A   ，，，所以，，所以，综上，故选A

8.A    因为，所以，，

因为，，，的面积成等差数列.

设面积依次为，则，则，

所以，，，的面积依次为，

所求概率为．故选A．

9. A   ，

所以，

对于A：令，解得，

当时，，所以点是的一个对称中心点，故A正确；

对于B：的图象向右平移个单位长度得到的图象的函数解析式为，所以平移得到的图象不是的图象，故B错误；

对于C：当时，，而函数在上单调递减，

故C错误；

对于D：令，解得或，

即或，所以，故D错误，

综上，故选A．

10.D  设点在第一象限，设坐标为，，

因为点，，分别为三角形的三边的中点，且，

所以四边形为矩形，所以，而，

则，所以，解得（负值舍去），

所以点的坐标为，，代入双曲线方程可得：，

又，解得，，

所以双曲线的离心率为，故选．

11．A  设球的半径为，因为球的表面积为，

所以，解得，

因为平面，又平面，所以，

因为，则，

所以为的中点，故，且，

所以．故选．

12 .A  由题意知，所以，由得，又因为是定义在上的偶函数且在上单调递增，所以，两边平方得在恒成立，令，则解得，所以实数的最大值为，故选A

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．)

13.【答案】

，，  ，

又，，，

，故答案为．

14.【答案】

解法1  由题意知：含项为按的升幂排列的第4项，

∴，

∴，

∴该项的系数为，故答案为．

解法2 的展开式中含的项的系数为，故答案为．

15.【答案】150  把语文和数学看成一个整体，即相当于一本书，所以相当于五本不同的书放入3个不同的抽屉里，共（种）.

16.【答案】    在中，由余弦定理可得

由托勒密定理可得,即

又所以四边形的面积

17. (1)

则当时，

故                            ………………………………………………………3分

当时，也满足此关系式，         ……………………… ………………………………4分

则数列的通项公式为         ……………………………………………….…5分

（2）由（1）知，

则=    ……………………………………..8分

所以

                                ……………………………………..12分

18．（1）证明：因为平面，平面，所以，…………………1分

又因为，，平面，平面，………..…………3分

所以平面，又因为平面，        …………………………………..…………4分

所以；                                     ……………… ……………………………5分

（2）解：以为坐标原点，与平行的直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系如图所示，

则，

所以，                 ……………………..…… 7分

于是，因为是三棱台，所以，

又因为，所以，

所以，                             ……………………..…… 8分

设平面的法向量为，

则，即，

令，则，，故，                   ……………………..…… 9分

因为平面，所以平面的法向量为，    ……………………..…… 10分

所以，   ………………………11分

因为二面角为钝二面角，

所以二面角的大小为．                        … ……………………………12分

19.解：（1）易知，，                       ………………………………1分

，               ………………………………2分

，

则关于的线性回归方程为                ……………………………3分

当时，，即2020年11月份参与竞拍的人数估计为2万人．  ……………4分

（2）（i）依题意可得这人报价的平均值和样本方差分别为：

  ……………6分

．            ……………………………………8分

（ii）2020年11月份实际发放车牌数量为3174，

根据竞价规则，报价在最低成交价以上人数占总人数比例

………………………………9分

根据假设，报价可视为服从正态分布

且，，，           ……………………………………10分

又，                             ………………………………11分

可预测2020年11月份竞拍的最低成交价为万．………………………………………12分

20．解：（1）直线的方程为．     ……………………………1分

到直线的距离为．   …………………………………………2分

而，，，   …………………………………………………………………………4分

椭圆的标准方程为．   ……………………………………………………………5分

（2）设，，，，，，

，

，…………………………………………………………………………………6分

△，

，

，，………………………………………………………………………………………………………8分

．

令，

．……………………………………………………10分

，

．

即的最小值为．………………………………………………………………………………………………12分

21．解：（1），定义域是，

，     ……………………………………………………..…2分

令，解得：或，令，解得：，

故在递增，在，递减，在递增，

故，（1）；…………………………………………4分

（2）函数，，，

，是函数的极值点，，是方程的两不等正根，

则△，，，故，，…………………… …6分

即，，，且，，

，…………………………………………………………………………………… …9分

令，则，，，

，

当，上递减，当上递增，

故（1），

故的最小值为．…………………………………………………………………… …12分

22. (1)由,(为参数),消参数化简得普通方程,……2分

令,,即化简得,即

即得曲线的极坐标方程为().………………………………… ………. ……..5分

(2)由曲线极坐标方程,得其普通方程为:                …………………………………………….……6分

联立解得       ……………………………………………. 8分

所以由两点间距离公式得         …………………………………… …10分

23.解：（1）由题意得，，………………….2分

当时，单调递增，当时，单调递减，…………..3分

                                  ………………………..…..4分                                               ………………….………..5分

1. 由（1）得，

由柯西不等式得，. ………………….………..7分

当且仅当时取等号，,即………….……..10分