2022河南省九师联盟高三上学期6月摸底考巩固卷数学理试题含答案

九师联盟2022届高三摸底考试巩固卷

理科数学

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.若集合，，则（    ）

A.  B.

C.  D.

2.若（为虚数单位）是实数，则实数的值为（    ）

A.-6 B. C.6 D.

3.已知平面向量，满足，，与的夹角为60°，则（    ）

A. B.3 C. D.5

4.某中学有高中生3000人，初中生2000人，男、女生所占的比例如下图所示.为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为的样本，已知从高中生中抽取女生21人，则从初中生中抽取的男生人数是（    ）

A.12 B.15 C.20 D.21

5.已知等差数列中，，，则a（    ）

A.1 B.3 C.5 D.7

6.若，且，则（    ）

A.-7 B. C. D.-7或

7.若偶函数在上单调递减，，，，则，，满足（    ）

A.  B.

C.  D.

8.的展开式中的系数为（    ）

A.-84 B.84 C.-280 D.280

9.已知线段平面，，两点到的距离分别为3和5，则的中点到平面的距离为（    ）

A.1 B.4 C.1或4 D.2

10.若过双曲线的一个焦点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂线交轴于点（为双曲线的半焦距），则此双曲线的离心率是（    ）

A. B. C.2 D.

11.已知函数的图象关于轴对称，则在区间上的最大值为（    ）

A.1 B. C. D.2

12.过抛物线焦点的直线与抛物线交于，两点，若，则直线的斜率为（    ）

A.  B.

C.  D.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.若实数，满足不等式组则的最大值为______.

14.函数的图象在处的切线方程为______.

15.已知等比数列的前项和为，且，则______.

16.在直三棱柱中，且，，则此三棱柱外接球的表面积为______.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17.在中，角，，的对边分别为，，，且，.

（1）求角的大小；

（2）设，求的面积的最大值.

18.2018年2月22日，在韩国平昌冬奥会短道速滑男子500米比赛中，中国选手武大靖以连续打破世界纪录的优异表现，为中国代表队夺得了本届冬奥会的首枚金牌，也创造中国男子冰上竞速项目在冬奥会金牌零的突破.根据短道速滑男子500米的比赛规则，运动员自出发点出发进人滑行阶段后，每滑行一圈都要依次经过4个直道与弯道的交接口.已知某男子速滑运动员顺利通过每个交接口的概率均为，摔倒的概率均为.假定运动员只有在摔倒或到达终点时才停止滑行，现在用表示该运动员在滑行最后一圈时在这一圈内已经顺利通过的交接口数.

（1）求该运动员停止滑行时恰好已顺利通过3个交接口的概率；

（2）求的分布列及数学期望.

19.如图，在梯形中，，，，，四边形为矩形，，平面平面.

（1）求证：平面；

（2）求平面与平面所成二面角的正弦值.

20.已知椭圆的左、右焦点分别为，，点也为抛物线的焦点.

（1）若，为椭圆上两点，且线段的中点为，求直线的斜率；

（2）若过椭圆的右焦点作两条互相垂直的直线分别交椭圆于，和，，设线段，的长分别为，，证明：是定值.

21.已知函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）假设函数有两个极值点.

①求实数的取值范围；

②若函数的极大值小于整数，求的最小值.

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23两题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22.选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程为.

（1）求曲线的直角坐标方程，并指出该曲线是什么曲线；

（2）若直线与曲线的交点分别为，，求.

23.选修4-5：不等式选讲

已知函数.

（1）解关于的不等式；

（2）记函数的最大值为，若，，，求的最小值.

2022届高三摸底考试巩固卷·理科数学

参考答案、提示及评分细则

1.D，

，

.

又，

.

2.B，

当为实数时，实数.

3.B，，与的夹角为60°

.

4.A因为分层抽样的抽取比例为，

所以初中生中抽取的男生人数是.

5.D由等差数列性质，

得，

所以，

所以.

6.A因为，

所以，

所以，

得，

则或t，

又，

所以.

7.B∵偶函数在上单调递减，

在上单调递增.

，，

，

.故选B.

8.C的展开式中的系数为.

9.C若，点在平面的同侧，

则线段的中点到平面的距离为；

若，在平面的异侧，

则线段的中点到的距离为.

综上，线段的中点到平面的距离为1或4.

10.A不妨取双曲线的左焦点，

则过点且与直线垂直的直线方程为.

据题意，得点在直线上，

，

.

11.A因为函数的图象关于轴对称，

所以.

又，则，

即.

因为，

所以.

则当，即时，

取得最大值.故选A

12.D由题意得，抛物线的焦点，直线的斜率存在，

设，、，

由，得，

即，

即，联立得，

则，解得，（舍）.

又，

所以，解得，

即直线的斜率为士.故选D.

13.16画出不等式组表示的平面区域如图：

令，则.

分析知，当，时，取得最大值，

且.

14.函数的导数为，

所以在处的切线斜率为，切点为，

所以函数在处的切线方程为，

即.

15.由等比数列性质得（为公比），

所以，

所以.

16.如图，作出，的外心，，

易证平面，

又，为截面圆的圆心，

所以直三棱柱外接球的球心在上，

由球的对称性可得为的中点.

连接，，.

在中，因为，

所以.

所以由正弦定理得2，解得.

易证，

所以，

所以由勾股定理得，

即外接球的半径，

所以此三棱柱外接球的表面积为.

17.解：（1），

，

，

或.

又，，，

，

.

（2）由（1）求解知，，

三角形面积.

又，，

，

.

又，

，.

.

18.解：（1）由题意可知：.

（2）的所有可能值为0，1，2，3，4.

则，且，，，相互独立.

故，

，

，

，

.

从而的分布列为

所以.

19.证明：（1）取为原点，所在直线为轴，过点且平行于直线的直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，

则，，，.

，.

设平面的一个法向量为，

不妨设，，则，

.

又，

，

.

又平面，

平面.

解：（2），.

设平面的一个法向量为，

不妨设，则，，

.设向量与的夹角为，

则,

.

平面与平面所成二面角的正弦值为

20.解：因为抛物线的焦点为，

所以，故.

所以椭圆.

（1）设，，

则

两式相减得，

又的中点为，

所以，.

所以.

显然，点在椭圆内部，

所以直线的斜率为.

证明：（2）椭圆右焦点.

当直线的斜率不存在或者为0时，.

当直线的斜率存在且不为0时，

设直线的方程为，

设，，联立方程得

消去并化简得，

因为，

所以，.

所以.

同理可得.

所以为定值.

21.解：（1），

.

分析知，当或时，f，

函数在区间上单调递减，在区间上单调递减.

（2）①，

令，则.

讨论：当时，，为增函数；

当时，，为减函数.

当时，.

由于有两个极值点，

关于的方程有两个不相等实数根，

即有两个不相等实数根，.

解得.

②分析可知，，，，

则.

又，

即

函数极大值

令，则，

则（*）可变为

分析知，，，

，

下面再说明对于任意，，有.

又由（#）得，

把它代入（*）得，

当时，且，

故在上单调递减.

又，

当时，.

满足题意的整数的最小值为3.

22.解：（1）因为，

所以，

即，

所以曲线表示焦点坐标为，对称轴为轴的抛物线.

（2）直线过抛物线的焦点，且参数方程为（为参数），

代入曲线的直角坐标方程，得，

所以，.

所以.

23.解：（1）当时，由，得，

所以；

当时，由1，得，

所以；

当时，由，得，无解.

综上可知，，即不等式的解集为.

（2）因为，

所以函数的最大值.

因为，

所以.

又，，

所以，

所以，

即.

所以有.

又，

所以，，即的最小值为4.