2022上海奉贤区致远高级中学高二上学期10月评估数学试题含答案

致远高中2021学年第一学期10月评估高二年级数学学科试卷  2021.10

（完卷时间：120分钟     满分：150分）

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1–6题每题4分，第7–12题每题5分） 考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．

1. 在长方体中，，，，则=            
2. 已知圆柱的底面半径为1，高为2，则圆柱的侧面积为               

3. 如图，水平放置的△ABC的斜二测直观图是图中的，若，则边的实际长度为               

4. 正方体各面所在的平面将空间分成             部分   

5. 若，线段所在直线和平面成30°角，且，则点到平面的距离=       

6. 如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一小块，八个顶点共截去八小块，得

到八个面为正三角形、六个面为正方形的“阿基米德多面体”，则异面直线与所成角的大小是           

7.已知空间两点与间的距离为5，集合，则表示的图形的长度为            

8.是从点引出的三条射线，每两条的夹角均为，则直线与所成角的余弦值为              

9. 如图，已知，，，，

，则二面角的大小为                  

10.已知直线.如果直线同时满足条件：①与异面；②与成定角；③与的距离为定值.那么这样的直线有          条.

11.若两异面直线、所成的角为，过空间内一点作与直线、所成角均是的直线，则所作直线的条数为_________.

12.在矩形中，)，，且.若边上存在两个不同的点，使得则的取值范围是            

二、选择题（本大题共4题，满分20分，每小题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．

13.设是两条不同的直线，表示平面，下列说法正确的是（  ）

A.若∥，则∥           B.若∥，，则;

C.若则∥;          D.若，∥，则

14.的直角边在平面上，顶点在平面外，则直角边、斜边在平面上的射影与直角边组成的图形是(    )

A.线段或锐角三角形;                   B.线段或直角三角形;

C.线段或钝角三角形;                   D.线段、锐角三角形、直角三角形或钝角三角形

15. 正方体的八个顶点中，平面经过其中的四个顶点，其余四个顶点到平面的距离都相等，则这样的平面的个数为（  ）

A.6;                                  B.8;                 

C.12                                  D.16

16.在正方形中，分别是及的中点，是的中点.现在沿及把这个正方形折成一个空间四边形，使、、三点重合，重合后的点记为，那么，在空间四边形中必有（  ）

A.            B.

C.             D.

三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应写出必要的步骤．

17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

在长方体中，，，分别是的中点．

（1）求证：共面；

（2）求：异面直线与所成角的余弦值．

18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

（1）如图，空间四边形中，、分别是、的中点，、分别是、上的点，且.求证：直线与的交点在直线上.

（2）如图，∥，点P是平面、外一点，从点引三条不共面的射线，与平面分别相交于点，与平面分别相交于，

求证:

19.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

如图，边长为4的正方形为圆柱的轴截面，是圆柱底面圆周上一点

(1)求证:

(2)求圆柱的表面积和体积.

20.（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第,3小题满分7分）

如图1，在直角梯形中，，，且，现以为一边向梯形外作正方形，然后沿边将正方形翻折，使，为的中点，如图2．

（1）求证：平面；

（2）求证：平面平面；

（3）若，求点到平面的距离．

21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第,3小题满分8分）

如图，已知是底面为正方形的长方体，，，点是上的动点

(1)试判断不论点在上的任何位置，是否都有垂直于，并证明你的结论

(2)当为的中点时，求异面直线与所成角的余弦值;

(3)求与所成角的正切值的最大值

致远高中2021学年第一学期第一次月考

高二数学试卷答案

1.                 2.4                       3.5

4.27                           5.1                        6.

7.                          8.                       9.

10.无数                        11.3                12.

13.D               14.B                15.C                 16.A

17. （1）连结AC，M、N分别为AD、DC中点，

MN//AC且AC//A1C1，，MN// A1C1.，

M、N、A1、C1共面.

（2）连结A1B，由（1）知或其补角为所求角，

A1B=A1C1=，BC1=，由余弦定理得.

18.（1）∵，∴，

∴四边形为梯形，

∴梯形的两腰和相交于一点，设交点为，

∵平面，故平面，同理平面，

又因为为这两个面的交线，所以，

所以三条直线、、交于一点.

（2）

19.

20.20.

20.【详解】

（1）证明：取中点，连接，．

在中，，分别为，的中点，所以，且．由已知，，所以，且．所以四边形为平行四边形．所以．又因为平面，且平面，

所以平面．

（2）证明：在正方形中，，又，，平面，∴平面，平面，∴平面平面．

（3）由（2）知平面平面，且平面平面，又因为，所以平面，所以平面平面，且平面平面，过点作的垂线交于点，则平面，

所以点到平面的距离等于线段的长度，

在中，，所以点到平面的距离等于．

21.