2022安徽省泗县一中高二上学期开学考试数学试题含答案

2021-2022学年安徽省泗县第一中学高二开学考数学试卷

一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.

1．若复数为纯虚数，则a的值为（　　）

A．2 B． C．1 D．0

2．已知向量，，．若，则实数λ＝（　　）

A．2 B．1 C． D．

3．下列说法正确的是（　　）

A．多面体至少有3个面 B．有2个面平行，其余各面都是梯形的几何体是棱台 

C．各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体 

D．六棱柱有6条侧棱，6个侧面，侧面均为平行四边形

4．直线l过点，且与以为端点的线段相交，则直线l的斜率的取值范围是

A.  B.
C.  D.

5．国际比赛足球的半径应该在10.8～11.3cm之间，球的圆周不得多于71cm或少于68cm．球的重量，在比赛开始时不得多于453g或少于396g．充气后其压力应等于0.6～1.1个大气压力（海平面上），即等于600～1100g/cm，将一个表面积为484πcm2的足球用一个正方体盒子装起来，则这个正方体盒子的最小体积为（　　）

A．121cm3 B．484cm3 C．1331cm3 D．10648cm3

6．在x轴上的截距为2且倾斜角为的直线方程为

A.  B.  C.  D.

7．若直线l：过点，当取最小值时直线l的斜率为

A. 2 B.  C.  D.

8．从装有大小相同的3个红球和2个白球的袋子中，随机摸出2个球，则至少有一个白球的概率为（　　）

A． B． C． D．

9．抛掷一枚质地均匀的骰子，“向上的点数是2，3，4”为事件A，“向上的点数是1，5”为事件B，则下列选项正确的是（　　）

A．A与B是对立事件 B．A与B是互斥事件 

C．P（A∪B）＝1 D．

10．2020年是全面实现小康社会目标的一年，也是全面打赢脱贫攻坚战的一年，某研究性学习小组调查了某脱贫县的甲、乙两个家庭，对他们过去6年（2014年到2019年）的家庭收入情况分别进行统计，得到这两个家庭的年人均纯收入（单位：百元/人）甲：36，37，37，38，40，42；乙：34，36，38，39，40，41．对甲、乙两个家庭的年人均纯收入（以下分别简称“甲”“乙”）情况的判断，正确的是（　　）

A．过去的6年，“甲”的极差大于“乙”的极差 

B．过去的6年，“甲”的平均值大于“乙”的平均值 

C．过去的6年，“甲”的中位数大于“乙”的中位数 

D．过去的6年，“甲”的平均增长率大于“乙”的平均增长率

11．在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，E在BD上，且AE⊥BD，则＝（　　）

A． B． C． D．

12．如图，设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，（acosC+ccosA）＝2bsinB，且∠CAB＝．若点D是△ABC外一点，DC＝1，DA＝2，则下列说法中错误的是（　　）

A．△ABC的内角 

B．△ABC的内角 

C．四边形ABCD面积无最大值 

D．四边形ABCD面积的最大值为

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13．＝　     　．

14．已知||＝||＝，+•＝1，则向量，的夹角θ＝　               　．

15．数据10，10，9，7，6，5，4，3，2，2的第80百分位数是 　    　．

16．如图，已知一个八面体的各条棱长均为2，四边形ABCD为正方形，给出下列说法：

①该八面体的体积为；

②该八面体的外接球的表面积为8π；

③E到平面ADF的距离为；

④EC与BF所成角为60°．

其中正确的说法为　   　．（填序号）

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．已知直线l：。
求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；

为使直线l不经过第二象限，求a的取值范围。

18．如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，点P为DD1的中点．

（1）求证：直线BD1∥平面PAC；

（2）求异面直线BD1与AP所成角的大小．

19．某校高二（9）班决定从a，b，c三名男生和d，e两名女生中随机选3名进入学生会．

（1）求“女生d被选中”的概率；

（2）求“男生a和女生e恰好有一人被选中”的概率．

20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，点E是底面ABCD对角线AC上一点，PE＝2，△PCD是边长为2的正三角形，DE＝CE＝BE，∠CED＝120°．

（1）证明：PE⊥平面ABCD；

（2）若四边形ABED为平行四边形，求四棱锥P﹣ABCD的体积．

21．如图，在△ABC中，AB＝2，DC＝，CB的垂直平分线交边AC于点D．

（1）求AD的长；

（2）若AD＞AB，求sin∠ACB的值．

22．某市供水管理部门随机抽取了2021年2月份200户居民的用水量，经过整理得到如下的频率分布直方图．

（1）求抽取的200户居民用水量的平均数；

（2）为了进一步了解用水量在[6，8），[8，10），[10，12]范围内的居民用水实际情况，决定用分层抽样的方法抽取6户进行电话采访．

（ⅰ）各个范围各应抽取多少户？

（ⅱ）若从抽取的6户中随机抽取3户进行入户调查，求3户分别来自3个不同范围的概率．

参考答案

一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.

1．

解：∵为纯虚数，

∴，解得a＝2．

故选：A．

2．

解：∵向量，，．

∴＝（1，2）+λ（1，0）＝（1+λ，2），

∵，

∴4（1+λ）﹣3×2＝0，解得．

故选：C．

3．

解：对于A：一个多面体至少有4个面，例如三棱锥体有四个面，故A错误．

对于B：如图所示：

故B错误．

对于C：上下底面都为菱形，各个侧面都为正方形的四棱柱不是正方体，故C错误．

对于D：六棱柱有6条侧棱，6个侧面，侧面均为平行四边形，根据定义D正确．

故选：D．

4．D解：直线l过点，且与以，为端点的线段相交，如图所示：

所求直线l的斜率k满足或，
，，
则或，
，
故选D．

5．

解：由S＝4πR2＝484π，得R＝11，故该足球的半径为11cm．

若要使这个正方体盒子的体积最小，则这个正方体正好是该足球的外切正方体，

所以正方体的棱长等于球的直径，即22cm，

所以这个正方体盒子的最小体积为．

故选：D．

6．【答案】A

解：根据题意得：直线斜率为，直线过，
则直线方程为，即
故选

7

【答案】A

【解答】

解：过点，
，
即，
则
，
当且仅当且，
即，时取等号，此时直线l的斜率为，
故选

8．

解：由题意，所求概率即为摸出的两个球中有白球的概率，

设3个红球分别记为a，b，c，2个白球分别记为d，e，

则所有可能的结果为ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de，共10种，

符合条件的结果为ad，ae，bd，be，cd，ce，de，共7种，

所以所求概率为．

故选：A．

9．

解：根据题意，设“向上的点数是6”是事件C，依次分析选项：

对于A，事件A与B不会同时发生，也可能都不发生，则不是对立事件，A错误，

对于B，事件A与B不会同时发生，是互斥事件，B正确，

对于C，P（A∪B）＝P（A）+P（B）＝，C错误，

对于D，事件A与B不会同时发生，则P（AB）＝0，D错误，

故选：B．

10．

解：对于A，甲的极差为42﹣36＝6，乙的极差为41﹣34＝7，所以“甲”的极差小于“乙”的极差，A错误；

对于B，甲的平均数是，乙的平均数为＝，所以“甲”的平均值大于“乙”的平均值，B正确；

对于C，甲的中位数是，乙的中位数是，所以，“甲”的中位数小于“乙”的中位数，C错误；

对于D，由题意，无法计算平均增长率，D错误．

故选：B．

11．

解：建立如图所示的直角坐标系：

则A（0，1），B（0，0），C（2，0），D（2，1），

设E（x，y），所以＝．

∵且，

∴，解得，

∴E（，），＝（，﹣），＝（，﹣），

∴．

故选：C．

12．

解：∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

因此A，B正确；

四边形ABCD面积等于S△ABC+S△ACD

＝

＝.+sin∠ADC

＝﹣cos∠ADC+sin∠ADC

＝+2sin（∠ADC﹣）

．因此D正确，C错误．

故选：C．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13．　1﹣2i　．

解：．

故答案为：1﹣2i．

14．　　．

解：因为||＝||＝，+•＝1，所以•＝1﹣＝﹣1，

所以cosθ＝＝﹣，

又θ∈[0，π]，

所以．

故答案为：．

15． 　9.5　．

解：将数据从小到大排列：2，2，3，4，5，6，7，9，10，10，则i＝10×80%＝8，故第80百分位数为．

故答案为：9.5．

16．

　②④　．（填序号）

解：①四棱锥E﹣ABCD的所有棱长为2，则斜高为，高为，

则八面体的体积为，故①错误；

②八面体的外接球球心为正方形ABCD对角线交点，可得外接球半径为，表面积为8π，故②正确；

③取AD的中点G，连接EG，FG，EF，得，AD⊥平面EGF，

过E作EH⊥FG，交FG的延长线于H，又EH⊥AD，AD∩FG＝G，故EH⊥平面ADF，

解得，∴E到平面ADF的距离为，故③错误；

④∵ED∥BF，∴EC与BF所成角为∠CED＝60°，故④正确．

∴正确的说法为②④．

故答案为：②④．

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．证明：直线l为，
即，
，

解得，

不论a为何值，直线l总过第一象限的点，

即直线l过第一象限.

解：根据题意，画出图形，如图所示：

直线l不经过第二象限，，即，
l的斜率a满足，
的取值范围是

18．

【解答】（1）证明：设AC和BD交于点O，则O为BD的中点．

连结PO，又因为P是DD1的中点，所以PO∥BD1．

又因为PO⊂平面PAC，BD1⊄平面PAC

所以直线BD1∥平面PAC．

（2）解：由（1）知，PO∥BD1，所以∠APO即为异面直线BD1与AP所成的角．

因为，且PO⊥AO，

所以．

又∠APO∈（0°，90°]，所以∠APO＝30°

故异面直线BD1与AP所成角的大小为30°．

19．

解：（1）从a，b，c三名男生和d，e两名女生中任选3名的可能选法有abc，abd，abe，acd，ace，ade，bcd，bce，bde，cde，共10种选法，

其中女生d被选中的有abd，acd，ade，bcd，bde，cde，共6种选法，

所以女生d被选中的概率；

（2）据（1）求解知，男生a和女生e恰好有一人被选中有abc，abd，acd，bce，bde，cde，共6种选法，

所以“男生a和女生e恰好有一人被选中”的概率．

20．

解：（1）证明：∵DC＝DP＝CP＝2，ED＝EC，

∠CED＝120°，

∴ED＝EC＝2，

∵，

∴PE⊥ED，PE⊥EC，

∵ED，EC是平面ABCD内的两条相交线，

∴PE⊥平面ABCD；

（2）

当四边形ABED为平行四边形时，

∵BE＝DE，

∴四边形ABED为菱形，

结合∠CED＝120°，

可得：AE＝2，MD＝，

∴SABCD＝2S△ACD

＝2×

＝4，

∴VP﹣ABCD＝

＝．

故四棱锥P﹣ABCD的体积为：．

21．

解：（1）在△ADB中，由余弦定理可得，，

整理得20AD2﹣64AD+35＝0，

即（2AD﹣5）（10AD﹣7）＝0，

所以或；

（2）因为AD＞AB，由（1）得，

所以AC＝AD+DC＝4，

在△ABC中，由余弦定理得，

所以，

由，得，

在△ABC中，由正弦定理得，

则，

所以．

22．

解：（1）抽取的200户居民用水量的平均数+9×0.05+11×0.025）×2＝5.2（立方米）．

（2）（ⅰ）将用水量在[6，8），[8，10），[10，12]范围内的居民数分成三层，各层频率分别为0.075×2＝0.150，0.050×2＝0.100，0.025×2＝0.050，

所以用水量在[6，8）范围内的应抽取（户），

用水量在[8，10）范围内的应抽取（户），

用水量在[10，12]范围内的应抽取（户）．

（ⅱ）记“3户分别来自3个不同范围”为事件A，抽取的用水量在[6，8）范围内的3户分别记为a1，a2，a3，

抽取的用水量在[8，10）范围内的2户分别记为b1，b2，抽取的用水量在[10，12]范围内的1户记为c，

从6户中随机抽取3户的所有结果为（a1，a2，a3），（a1，a2，b1），（a1，a2，b2），（a1，a2，c），（a1，a3，b1），（a1，a3，b2），（a1，a3，c），（a1，b1，b2），（a1，b1，c），（a1，b2，c），（a2，a3，b1），（a2，a3，b2），（a2，a3，c），（a2，b1，b2），（a2，b1，c），（a2，b2，c），（a3，b1，b2），（a3，b1，c），（a3，b2，c），（b1，b2，c），共20种，

其中3户分别来自3个不同范围的结果有6种，所以3户分别来自3个不同范围的概率．