2022省青冈县一中校高二上学期开学考试数学试题含答案

这是一份2022省青冈县一中校高二上学期开学考试数学试题含答案，共19页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上，在中，点满足，则等内容，欢迎下载使用。
高二开学考试数学试题考试时间：120分钟   满分：150分注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题60分） 一、选择题（本题共12小题，其中1-10题为单选题，每题5分共计50分，11-12小题为多选题，每题5分，共计10分，部分选对但不全对给3分，选错0分）1．复数在复平面内对应的点位于（    ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知向量，满足，，若，则（    ）A． B． C． D．3．从长度为3，5，7，9，11的5条线段中任取3条，这3条线段能构成钝角三角形的概率为（    ）A． B． C． D．4．设m，n是两条不同的直线，是平面，则下列命题正确的是（    ）A．若，，则     B．若，，则C．若，，则     D．若，，，则5．在中，点满足，则（    ）A． B．C． D．6．已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）A． B． C． D．7．在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，如果，，的面积，那么a等于（   ）A． B．7 C． D．178．在棱长为的正方体中，设，，，则的值为（    ）A． B． C． D．9．一块边长为10cm的正方形铁片如图所示的阴影部分截下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，则这个正四棱锥的外接球的表面积为（    ）A． B． C． D．10．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，bcosA＝c﹣a，点D在AC上，2AD＝DC，BD＝2，则△ABC的面积的最大值为（    ）A． B． C．4 D．611．（多选题）已知复数满足，则下列关于复数的结论正确的是（    ）A． B．复数的共轭复数为C．复平面内表示复数的点位于第四象限 D．复数是方程的一个根12．（多选题）在中，角所对的边分别为，已知，下列结论正确的是（    ）A．          B．C．若，则的面积是   D．若，则的外接圆半径是第II卷（非选择题90分）二、填空题（每小题5分，共计20分）13．采用分层随机抽样的方法抽取一个容量为的样本，高一年级被抽取人，高三年级被抽取人，高二年级共有人，则这个学校共有高中学生的人数为______．14．甲､乙两名同学进行篮球投篮练习，甲同学一次投篮命中的概率为，乙同学一次投篮命中的概率为，假设两人投篮命中与否互不影响，则甲､乙两人各投篮一次，至少有一人命中的概率是___________.15．名工人某天生产同一零件，生产的件数分别是，，，，，，，，，，那么数据的分位数是______．16．设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若m⊥α，n∥β，α∥β，则m⊥n;     ②若m⊥n，m⊥α，则n∥α;③若m⊥α，n⊥β，且α⊥β，则m⊥n;   ④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β.其中所有正确命题的序号是________.三、解答题17．（本题满分10分）如图，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，设＝，＝，＝，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用表示以下各向量：（1）；（2）．18．（本题满分12分）已知的内角的对边分别为若（1）求角.（2）若求的面积.19．（本题满分12分）2021年是“十四五”规划开局之年，也是建党100周年．为了传承红色基因，某学校开展了“学党史，担使命”的知识竞赛．现从参赛的所有学生中，随机抽取100人的成绩作为样本，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示．（1）求频率分布直方图中的值，并估计该校此次竞赛成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间中点值代表）；（2）若根据成绩对该样本进行分层，用分层随机抽样的方法，从成绩不低于75分的学生中随机抽取7人查看他们的答题情况，再从这7人中随机抽取2人进行调查分析，求这2人中至少有1人成绩在内的概率．20．（本题满分12分）如图，在平面四边形中，，，的面积为.（1）求；（2）若，求四边形周长的最大值.21．（本题满分12分）如图，直三棱柱中，，分别是，的中点． （1）证明：平面；（2）若，，证明：平面平面．22．（本题满分12分）某快餐配送平台针对外卖员送餐准点情况制定了如下的考核方案：每一单自接单后在规定时间内送达､延迟5分钟内送达､延迟5至10分钟送达､其他延迟情况，分别评定为，，，四个等级，各等级依次奖励3元､奖励0元､罚款3元､罚款6元.假定评定为等级，，的概率分别是，，.（1）若某外卖员接了一个订单，求其延迟送达且被罚款的概率；（2）若某外卖员接了两个订单，且两个订单互不影响，求这两单获得的奖励之和为0元的概率. 
参考答案1．B【分析】利用复数的乘法化简复数，由此可得出结论.【详解】，因此，复数在复平面内对应的点位于第二象限.故选：B.2．A【分析】根据向量平行的坐标关系，可求得的值.再根据向量加法和数乘的坐标运算即可求得.【详解】向量，满足，，若∥则，解得 所以， 由向量加法和数乘的坐标运算可得故选：A【点睛】本题考查了平面向量平行的坐标关系，由平行关系求参数，平面向量加法和数乘的坐标运算，属于基础题.3．C【分析】利用列举法及古典概型概率公式求解即可【详解】取出3条线段的情况有，，，，，，，，，，共10种，可构成三角形的有，，，，，，，共7种，只有不构成钝角三角形，故概率.故选：C4．D【分析】根据直线与平面的位置关系，直线与直线的位置关系，直线与平面平行的判定定理可判断．【详解】对于A，若，，则与相交，平行或异面，故A错误；对于B，若，，则与平行或异面，故B错误；对于C，m有可能在平面内，故C错误；对于D，根据直线与平面平行的判定定理可知D是正确的.故选：D5．A【分析】由已知条件可得，然后由向量的加减法法则进行运算可得答案.【详解】由点满足，可得,由图可知,故选：A【点睛】本题考查平面向量的加减法法则的运用，属于简单题.6．B【分析】将直三棱柱补成直四棱柱，由.则是异面直线与所成的角，然后在三棱锥中，求得各边长，利用余弦定理求解.【详解】将直三棱柱补成直四棱柱，如图所示：则.所以是异面直线与所成的角，在三棱锥中，，，，，所以.故选：B【点睛】本题主要考查异面直线所成的角的求法，余弦定理的应用以及几何体的结构特征，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于中档题.7．A【分析】先根据面积公式计算出的值，然后利用以及余弦定理求解的值.【详解】因为，所以；又因为，所以，所以，故选A.【点睛】本题考查三角形面积公式的应用以及利用余弦定理解三角形，难度较易.解三角形时常用的面积公式有三个，解答问题时要根据题意进行选择.8．B【分析】直接利用向量数量积的运算律求解即可.【详解】．故选B．9．A【分析】由正四棱锥外接球半径与底面外接圆半径，及球心到底面的距离之间的几何关系求外接球半径，进而求球的表面积.【详解】由题设知：底面的外接圆半径为，且，令正四棱锥外接球的半径为，且外接球的球心必在直线上，∴，即.∴正四棱锥的外接球的表面积为.故选：A.【点睛】关键点点睛：判断外接球的球心位置，结合外接球半径与底面外接圆半径及球心到底面距离的关系求.10．A【分析】由正弦定理,三角函数恒等变换可得sinAcosB＝sinA，可求cosB，设AD＝x，则CD＝2x，AC＝3x，根据cos∠ADB＝﹣cos∠CDB利用余弦定理可得4c2+a2+2ac＝36，根据基本不等式可得ac≤6，进而可求解．【详解】在△ABC中，bcosA＝c﹣a，由正弦定理可得sinBcosA＝sinC﹣sinA，可得sinBcosA＝sin（A+B）﹣sinA＝sinAcosB+cosAsinB﹣sinA，即sinAcosB＝sinA，由于sinA≠0，所以，由B∈（0，π），可得B＝，设AD＝x，则CD＝2x，AC＝3x，在△ADB，△BDC，△ABC中分别利用余弦定理，可得cos∠ADB＝，cos∠CDB＝，cos∠ABC＝，由于cos∠ADB＝﹣cos∠CDB，可得6x2＝a2+2c2﹣12，再根据cos∠ABC＝，可得a2+c2﹣9x2＝ac，所以4c2+a2+2ac＝36，根据基本不等式可得4c2+a2≥4ac，所以ac≤6，当且仅当a＝2，c＝时等号成立，所以△ABC的面积S＝acsin∠ABC＝ac≤．故选：A．【点睛】本题考查解三角形，关键点是熟练掌握正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式，考查了运算求解能力和逻辑思维能力.11．AD【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，然后逐一分析四个选项得答案．【详解】解：因为，所以所以，复平面内表示复数的点的坐标为，位于第二象限；，复数是方程的一个根．故选：AD．12．ACD【分析】先利用已知条件设，进而得到，利用正弦定理可判定选项A；利用向量的数量积公式可判断选项B；利用余弦定理和三角形的面积公式可判定选项C；利用余弦定理和正弦定理可判断选项D.【详解】依题意，设，所以，由正弦定理得：，故选项A正确；，故选项B不正确；若，则，所以，所以，所以，故的面积是：；故选项C正确；若，则，所以，所以，所以，则利用正弦定理得：的外接圆半径是：，故选项D正确；故选：ACD.【点睛】关键点睛：本题主要考查正余弦定理以及三角形面积公式. 利用已知条件设，再利用正余弦定理以及三角形面积公式求解是解决本题的关键.13．【分析】先求出抽样比，即可求出学生总数.【详解】由题意可得抽样比为，所以学生总数为，即这个学校共有高中学生900人．故答案为：900.14．【分析】考虑两个人都不命中的概率，从而可求至少有一个人命中的概率.【详解】两个都不命中的概率为，故至少有一人命中的概率是，故答案为：.15．【分析】根据百分位数的含义，计算即可得出数据的分位数.【详解】解：将名工人某天生产同一零件个数从小到大排列为，，，，，，，，，．因为，所以样木数据的分位数为第个和第个数据的平均数，即．故答案为：.16．①③【分析】利用线面平行，面面平行的性质定理可以找到平面α内与直线n平行的直线，进而判定①成立；考虑到直线n可能在平面α内，判定②错误；由面面垂直的性质定理和线面垂直的性质定理可以在平面β中找到与直线m平行的直线，进而判定③正确；考虑平面α，β的交线与平面γ垂直的情况，根据面面垂直的判定定理可以得到反例，进而判定④错误.【详解】①如图，过直线n作平面γ，设平面α∩平面γ=直线a，平面β∩平面γ=直线b,∵直线n//平面β，∴直线n//直线b,∵平面α//平面β，∴直线a//直线b，∴直线n//直线a,∵直线m⊥平面α，直线a⊂平面α，∴直线m⊥直线a，∴直线m⊥直线n，故①正确；②若直线m⊥直线n，直线m⊥平面α，则直线n有可能在平面α内，故②错误；③若直线m⊥平面α，直线n⊥平面β，且平面α⊥平面β，设平面α∩平面β=直线l,在平面β内作直线a⊥直线l，∵平面α⊥平面β，∴直线a⊥平面α，又∵直线m⊥平面α，∴直线m//直线a,∵直线n⊥平面β，直线a⊂平面β，∴直线n⊥直线a，∴直线m⊥直线n，故③正确；④设直线a⊥平面γ，则过直线a任作两平面α，β，则，，且平面α∩平面β=直线a,故④错误.故答案为：①③.17．（1）；（2）．【分析】利用空间向量的运算律求解即可【详解】解：（1）∵在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，P是C1D1的中点，∴（2）∵在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，M是AA1的中点，∴又∵∴18．（1）；（2）【分析】（1）根据正弦定理，可得，再根据三角形的性质，可知，进而求出结果；（2）根据余弦定理，可得，求出，进而求出三角形的面积.【详解】（1）由正弦定理，，∴，∴，∴，，∴（2）由余弦定理知：，得解得，∴【点睛】本题主要考查了正弦定理和余弦定理解三角形，考查了三角形面积公式的应用，属于基础题.19．（1）；71；（2）．【分析】（1）根据分布直方图中所有小矩形的面积之和等于1，即可求得的值，再根据平均数的计算方法可得的值；（2）由分层抽样法可知，抽取的7人中，成绩在[75，85）和[85，95]的人数分别为5人和2人，再结合古典概型，即可得解；【详解】解：（1）由频率分布直方图可得，，解得．样本数据的平均数为：．（2）由频率分布直方图可知，成绩在，内的频率分别为0.25，0.1，所以采用分层抽样的方法从样本中抽取的7人中，成绩在内的有5人，成绩在的有2人．从这7人中随机抽取2人进行调查分析，记事件“2人中至少有1人成绩在内”，事件“2人中恰有1人成绩在内”，事件“2人成绩都在内”，则．因为与互斥，所以根据互斥事件的概率加法公式，可得．将成绩在内的5个人分别记为，，，，，将成绩在内2个人分别记为，，设从这7人中第一次抽取的人记为，第二次抽取的人记为，则可用数组表示样本点．可知样本空间，，，因为样本空间包含的样本点个数为，且每个样本点都是等可能的，又因为，，由古典概型公式可得20．（1）；（2）.【分析】（1）利用三角形的面积公式求出，然后利用余弦定理可求的长；（2）令，，在中利用余弦定理结合基本不等式可求得的最大值，进而可求得四边形周长的最大值.【详解】（1）由面积公式得，所以.在中，根据余弦定理得，所以；（2）令，，在中，根据余弦定理得，即有，即， 所以，当且仅当时，等号成立.所以，四边形周长的最大值为.【点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理等基本知识，考查化归与转化等数学思想以及推理论证、运算求解等数学能力，属于中等题.21．（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）连接交于点，则为中点，连接，易知，根据线面平行的判定可证平面；（2）由题设得平面，根据线面垂直的性质及判定有，由已知线段的长度求、、，再由勾股定理知，最后根据线面、面面垂直的判定可证平面平面．【详解】（1）连接交于点，则为中点，连接，又是中点，∴，又平面，平面∴平面（2）∵是直三棱柱，∴平面，又平面，∴，由且为的中点，即，又，∴平面，又平面，∴，由，，得，，，∴，即，又，∴平面，又平面，∴平面平面.22．（1）；（2）.【分析】（1）设事件，，，分别表示“被评为等级，，，”.由题意，事件，，，两两互斥，然后利用互斥事件的概率加法公求解即可；（2）设事件，，，表示“第单被评为等级，，，”，.则“两单共获得的奖励为0元”即事件，且事件，，互斥，然后分别求出对应的概率，再利用互斥事件的概率加法公求解即可【详解】解：（1）设事件，，，分别表示“被评为等级，，，”.由题意，事件，，，两两互斥，所以.又“延迟送达且被罚款”，所以.因此“延迟送达且被罚款”的概率为.（2）设事件，，，表示“第单被评为等级，，，”，.则“两单共获得的奖励为0元”即事件，且事件，，互斥，又又所以