2022滁州定远县育才学校高二上学期第一次周测数学试题（9月20日）含答案

定远县育才学校高二年级数学学科

周测试卷1（考试范围：选择性必修一1.1-1.3）

总分：100分  时间：100分钟  2021年9月20日

一．选择题(每小题5分,共50分）

1．在空间四点O，A，B，C中，若{，，}是空间的一个基底，则下列命题不正确的是(　　)

A．O，A，B，C四点不共线

B．O，A，B，C四点共面，但不共线

C．O，A，B，C四点不共面

D．O，A，B，C四点中任意三点不共线

2．四面体OABC中，＝a，＝b，＝c，点M在OA上，且＝2，N为BC中点，则为(　　)

A.a－b＋c B.－a＋b＋c

C.a＋b－c D.a＋b－c

3．如图，空间四边形OABC中，＝a，＝b，＝c，点M为OA的中点，点N在线段BC上，且CN＝2NB，则＝(　　)

A.a－b－c    B．－a＋b＋c

C.a－b＋c    D．－a＋b＋c

4.三棱锥P-ABC中,∠ABC为直角,PB⊥平面ABC,AB=BC=PB=1,M为PC的中点,N为AC的中点,以,,方向上的单位向量为正交基底建立空间直角坐标系Oxyz,则的坐标为              (　　)

A.  B.  C.  D.

5.正方体ABCD-A＇B＇C＇D＇的棱长为1,且BP=BD＇,建立如图所示的空间直角坐标系,则P点的坐标为              (　　)

A.   B.

C.   D.

6.已知a+b=(2,,2),a-b=(0,,0),则cos<a,b>= (　　)

A.   B.   C.   D.

7.已知点A(1,a,-5),B(2a,-7,-2),则|AB|的最小值为 (　　)

A.3   B.3   C.2   D.2

8．给出下列命题：

①若{a，b，c}可以作为空间的一个基底，d与c共线，d≠0，则{a，b，d}也可以作为空间的一个基底；

②已知向量a∥b，则a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底；

③A，B，M，N是空间四点，若，，不能构成空间的一个基底，则A，B，M，N四点共面；

④已知{a，b，c}是空间的一个基底，若m＝a＋c，则{a，b，m}也是空间的一个基底．其中正确命题的个数是(　　)

A．1         B．2      C．3     D．4

9.“两个非零空间向量的模相等”是“两个空间向量相等”的(　　)

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件  D.既不充分也不必要条件

10．(多选题)在正方体ABCD­A1B1C1D1中，下列命题正确的有(　　)

A．(＋＋)2＝32       B．·(－)＝0

C．与的夹角为60°      D．正方体的体积为|··|

二、填空题(每小题5分,共20分)

11.在正方体ABCD­A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，A1C1与B1D1的交点为E，则＝________.

12.已知A(3,2,-4),B(5,-2,2),则线段AB中点的坐标为　　　　. 

13．在空间四边形ABCD中，·＋·＋·＝________.

14．(多填题2+3)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，设AD＝AA1＝1，AB＝2，P是C1D1的中点，则·＝________，与所成角的大小为________．

三、解答题（每题10分，共30分）

15．在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，E，F分别是AD1，BD的中点．

(1)用向量a，b，c表示，；

(2)若＝xa＋yb＋zc，求实数x，y，z的值．

16.设a=(1,5,-1),b=(-2,3,5).

(1)若(ka+b)∥(a-3b),求k;   (2)若(ka+b)⊥(a-3b),求k.

17.如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA的长为2，且PA与AB、AD的夹角都等于60°，M是PC的中点，设＝a，＝b，＝c.

(1)试用a，b，c表示出向量；

(2)求BM的长．

答案

1.解析：选B　选项A对应的命题是正确的，若四点共线，则向量，，共面，构不成基底；选项B对应的命题是错误的，若四点共面，则，，共面，构不成基底；选项C对应的命题是正确的，若四点共面，则，，构不成基底；选项D对应的命题是正确的，若有三点共线，则这四点共面，向量，，构不成基底．

2.解析：选B　＝＋＋

＝＋－＋(－)

＝－＋＋

＝－a＋b＋c.

3．解析：由已知

＝－＝＋－＝＋－＝＋(－)－＝－＋＋＝－a＋b＋c，故选D.

答案：D

4.【解析】选B.=-

=(+)-(+)=-=i-k=.

5.【解析】选D.如图所示,过P分别作Oxy平面和z轴的垂线,垂足分别为E,H,过E分别作x轴和y轴的垂线,垂足分别为F,G,

由于BP=BD＇,所以==k,==i,==j,所以P点的坐标为.

6.【解析】选C.由已知得a=(1,,),b=(1,0,),所以cos<a,b>===.

7.【解析】选B.|AB|=

==,

当a=-1时,|AB|min==3.

8.解析：选D　根据基底的概念，知空间中任何三个不共面的向量都可作为空间的一个基底．显然②正确．③中由，，不能构成空间的一个基底，知，，共面．又，，过相同点B，知A，B，M，N四点共面．下面证明①④正确：假设d与a，b共面，则存在实数λ，μ，使得d＝λa＋μb，∵d与c共线，c≠0，∴存在实数k，使得d＝kc.∵d≠0，∴k≠0，从而c＝a＋b，∴c与a，b共面，与条件矛盾，∴d与a，b不共面．同理可证④也是正确的．于是①②③④四个命题都正确，故选D.

9.解析 两个向量相等是指两个向量的模相等并且方向相同,因此“两个非零向量的模相等”是“两个向量相等”的必要不充分条件.

答案 B

10.AB　[如图，(＋＋)2＝(＋＋)2＝2＝32；

·(－)＝·＝0；

与的夹角是与夹角的补角，而与的夹角为60°，故与的夹角为120°；

正方体的体积为||||||.故选AB.]

11.解析：如图，＝＋＝＋(＋)＝＋(－)＝－a＋b＋c.

答案：－a＋b＋c

12.【解析】设中点坐标为(x0,y0,z0),

则x0==4,y0==0,z0==-1,

所以中点坐标为(4,0,-1).

答案:(4,0,-1)

13．解析：原式＝·＋·＋·(－)

＝·(－)＋·(＋)

＝·＋·＝0.

答案：0

14．解析：方法一　连接A1D，则∠PA1D就是与所成角．连接PD，在△PA1D中，易得PA1＝DA1＝PD＝，即△PA1D为等边三角形，从而∠PA1D＝60°，即与所成角的大小为60°.因此·＝××cos 60°＝1.

方法二　根据向量的线性运算可得

·＝(＋)·＝＝1.

由题意可得PA1＝B1C＝，则××cos〈，〉＝1，从而〈，〉＝60°.

答案：1,60°.

15.解：(1)如图，＝＋＝－＋－＝a－b－c，

＝＋＝＋＝－(＋)＋(＋)＝(a－c)．

(2)＝(＋)

＝(－＋)

＝(－c＋a－b－c)

＝a－b－c，

∴x＝，y＝－，z＝－1.

16.【解析】(1)由于(ka+b)∥(a-3b),所以ka+b=λ(a-3b),

即ka+b=λa-3λb,由于a与b不共线,

所以有解得k=-;

(2)由于(ka+b)⊥(a-3b),所以(ka+b)·(a-3b)=0,即k|a|2-(3k-1)a·b-3|b|2=0,

而|a|2=27,|b|2=38,a·b=8,所以27k-8(3k-1)-114=0,解得k=.

17.[解]　(1)∵M是PC的中点，

∴＝(＋)＝[＋(－)]

＝[b＋(c－a)]＝－a＋b＋c.

(2)由于AB＝AD＝1，PA＝2，∴|a|＝|b|＝1，|c|＝2，

由于AB⊥AD，∠PAB＝∠PAD＝60°，∴a·b＝0，a·c＝b·c＝2·1·cos 60°＝1，

由于＝(－a＋b＋c)，

||2＝(－a＋b＋c)2＝[a2＋b2＋c2＋2(－a·b－a·c＋b·c)]＝[12＋12＋22＋2(0－1＋1)]＝.

∴||＝，∴BM的长为.