2022河北省宣化一中高二上学期期初考试数学试题含答案

2021-2022学年上学期宣化一中高二期初考试

数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）

1. 已知点1，，2，，则

A.  B.  C. 4 D. 6

2. 若空间向量，不共线，且，则

A. 1 B. 2 C. 4 D. 6

3. 已知空间向量0，，1，，则与的夹角为

A.  B.  C.  D.

4. 在长方体中，设，，，且，则

A. 4 B. 3 C. 2 D. 1

5. 直四棱柱的棱长均为2，且，则

A.  B. 4 C.  D.

6. 如图，在正方体中，，若点P在侧面不含边界内运动，，且点P到底面ABCD的距离为3，则异面直线BD与AP所成角的余弦值是

A.  B.  C.  D.

7. 已知P，A，B，C四点满足1，，，4，，且P，A，B，C四点共面，则

A.  B.  C.  D.

8. 如图，在四面体ABCD中，，，，M为棱AB的中点，，连接MN，则点A到MN所在直线的距离的平方为

A.
B.
C.
D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）

9. 以下关于向量的说法正确的有

A. 若，则
B. 若将所有空间单位向量的起点放在同一点，则终点围成一个圆
C. 若且，则
D. 若与共线，与共线，则与共线

10. 在四面体ABCD中，E，F分别是BC，BD上的点，且，则

A.  B.  C.  D.

11. 在长方体中，已知，，则

A. 与的夹角为
B. 与的夹角为
C.
D. 与平面所成角的正切值为

12. 在三棱锥中，以下说法正确的有

A. 若，则
B. 若，，则
C. 若T为的重心，则
D. 若，，M，N分别为PA，BC的中点，则

三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 已知直线l的方向向量，平面的法向量，若，则______．
14. 已知空间向量，均为单位向量，且它们的夹角为，则______．
15. 已知点3，，1，，0，，且ABCD是平行四边形，则顶点D的坐标为______．
16. 如图，已知四棱柱的底面为平行四边形，E为棱AB的中点，，与平面EFG交于点M，则______．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17. 如图，长方体的底面ABCD是正方形，E是棱的中点，．
    证明：平面平面C.
    求点B到平面的距离．
    
    
     
18. 如图，在多面体中，平面平面，四边形是菱形，，，，．
    若点G是的中点，证明：平面．
    求点到平面ABC的距离．
     

19. 在如图所示的几何体中，，，均为等边三角形，且平面平面ABC，平面平面ABC．
    证明：．
    求二面角的余弦值．
    
     

如图，三棱锥中的三条棱AP，AB，AC两两互相垂直，，点D满足．
证明：平面ACD．
若，求异面直线CD与AB所成角的余弦值．
 

20. 在三棱柱中，平面，D为的中点，是边长为1的等边三角形．
    证明：；
    若，求二面角的大小．
    
     

21. 如图，已知菱形ABCD的边长为，将菱形ABCD沿着AD翻折到AEFD的位置，连接CF，BE，CE．
    证明：平面FCD．
    在翻折过程中，是否可能使得BE与平面ECD所成角的正弦值为？若可能，求二面角的大小；若不可能，请说明理由．
    
    
    
     

2021-2022学年上学期宣化一中高二期初考试

数学试卷答案和解析

1.【答案】B
2.【答案】D
3.【答案】C
4.【答案】A
5.【答案】B
6.【答案】C
7.【答案】A
8.【答案】D
9.【答案】AC
10.【答案】BD
11.【答案】BCD
12.【答案】BC
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】2，
16.【答案】
17.【答案】证明：因为是长方体，
所以侧面，而平面，
所以分
又因为底面ABCD是正方形，且，
所以，，，
从而，所以分
因为，所以平面EBC，分
因为平面，
所以平面平面C.分

解：由可知，平面EBC，
所以，在中，，分
分
设B到平面的距离为h，
所以，则，
即点B到平面的距离为分
 

18.【答案】证明：证明：取的中点为O，连接GO，OC．
因为G，O分别为，的中点，
所以，，
因为，，
所以，，即四边形平行四边形，
故CG，
因为平面，
所以平面；
解：以O为原点，为x轴，为y轴，OA为z轴建系，
所以0，，0，，4，，0，，0，，
则4，，0，，0，，
设平面ABC的法向量为y，，则，
即，令，则0，，
所以，，
所以与平面ABC的夹角为，
则．
19.【答案】证明：分别取AC、BC的中点M、N，连接MN、ME、ND，则，，，
平面平面ABC，平面平面，
平面ABC，
同理可得，平面ABC，
，
又，，均为等边三角形，
≌，，
四边形MNDE是平行四边形，
，
，．

解：过M作于点O，连接BM、OB，
为等边三角形，且M为AC的中点，
，
平面平面ABC，平面平面，
平面ACE，
故即为二面角的平面角．
设等边的边长为2，则，
，
，
在中，，
，
故二面角的余弦值为．
20.【答案】解：证明：三棱锥中的三条棱AP，AB，AC两两互相垂直，
平面PAB，平面PAB，，
设，，点D满足，，，
，
，，
，AC、平面ACD，
平面ACD．
以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，
设，则a，，0，，0，，0，，
，0，，
设异面直线CD与AB所成角为，
则异面直线CD与AB所成角的余弦值为：
．
21.【答案】证明：连接，是边长为1的等边三角形，且D为的中点，
，，
面，面，
又面，，
，面，
又面，B.
解：以C为原点建立空间直角坐标系如图所示，
则0，，，，，，．
分设平面的法向量为，
则即，
可取，
同理可求得平面的一个法向量为．
，且二面角为锐角，
二面角的大小为．
22.【答案】解：证明：由已知，可得，，，，
平面平面FC，
平面ABE，平面FCD．
取AD的中点O，连接OE，OB，BD，
，，都是等边三角形，且边长为1，
，，
，OE，平面BOE，平面BOE，
是二面角的平面角，设，
在平面BOE中过点O作，则平面ABCD，
，，
以O为原点，的方向为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，
则，，，0，，
，，，
设平面CDE的法向量为y，，
则，取，得，
设BE与平面ECD所成角为，
则，解得，
在翻折过程中，可能使得BE与平面ECD所成角的正弦值为，
此时二面角的大小为．