2022临朐县实验中学高二上学期开学考试数学试题含答案

数学试题

一、单选题

1．是

A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角

2．已知向量，，且，则（    ）

A．3 B． C． D．

3．已知，则（    ）

A． B． C． D．

4．如果函数的图像关于点对称，那么的最小值为（    ）

A． B． C． D．

5．在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，，，则（    ）

A．1 B． C．4 D．13

6．已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（    ）

A．若，，，则

B．若，，，则

C．若，，，则

D．若，，，则

7．球面几何是几何学的一个重要分支，在航海、航空、卫星定位等方面都有广泛的应用．球面几何中，球面两点之间最短的距离为经过这两点的大圆的劣弧长，称为测地线．已知正三棱锥，侧棱长为，底面边长为，设球为其外接球，则球对应的球面上经过，两点的测地线长为（    ）

A． B． C． D．

8．已知是所在平面内的一动点且满足，则动点的轨迹一定通过的（    ）

A．重心 B．内心 C．外心 D．垂心

二、多选题

9．下列命题正确的是（    ）

A．

B．若，则，，，四点共线

C．任意向量，

D．若向量，满足，则，共线

10．下列等式正确的是（    ）

A．                 B．

C．             D．

11．若复数，其中为虚数单位，则下列结论正确的是

A．的虚部为 B．

C．为纯虚数 D．的共轭复数为

12．下列结论正确的是（    ）

A．在中，若，则

B．在锐角三角形中，不等式恒成立

C．在中，若，则是直角三角形

D．在中，若，三角形面积，则三角形的外接圆半径为

三、填空题

13．设向量，为单位正交基底，若，，且，则______．

14．在中，已知，若，则的面积为______．

15．现有一个圆锥形礼品盒，其母线长为，底面半径为，从底面圆周上一点处出发，围绕礼品盒的侧面贴一条金色彩线回到点，则所用金色彩线的最短长度为______．

16．已知函数的定义域为，值域为，则的取值范围为___________________．

四、解答题

17．已知平面向量，且，，且与的夹角为.

（1）求；

（2）若与垂直，求的值.

18．在中，内角的对面分别为，且满足.

（1）求；

（2）若，求及的面积.

19．已知复数，且是关于的方程的一个根．

（1）求及；

（2）若复数满足，则在复平面内对应的点的集合是什么图形？并求出该图形的面积．

20．如图所示，有一块扇形铁皮OAB，∠AOB＝60°，OA＝72 cm，要剪下来一个扇形环ABCD，作圆台形容器的侧面，并且余下的扇形OCD内剪下一块与其相切的圆形使它恰好作圆台形容器的下底面(大底面).

试求：(1)AD的长；com(2)容器的容积．

参考公式： 

21．已知函数，．

（）求函数的单调区间；

（）若函数在上有两个零点，求实数的取值范围．

22．如图，某小区有一空地，要规划设计成矩形，米，拟在和两个区域内各自内接一个正方形和正方形用作喷泉水池，并且这两个正方形恰好关于线段的中点成中心对称，为了美观，矩形区域除了喷泉水池其余都种植鲜花．设表示矩形的面积，表示两个喷泉水池的面积之和，，现将比值称为“规划指数”，请解决以下问题：

（1）试用表示和；

（2）当变化时，求“规划指数”取得最小值时角的大小．

数学参考答案

1．C由题，所以其终边在第三象限.

2．B解：因为向量，，且，所以，解得.

3．因为所以

故选：A

4．由题意，，则，解得，∴当时，的最小值为.故选：B

5．因为，由正弦定理得，

又是三角形内角，，

所以，

，，又，所以，．

所以．故选：A．

6．D

A：若，，，则平行或异面，错误；

B：若，，，则垂直或平行，错误；

C：若，，，则可能平行、异面、相交，错误；

D：若，，，则，正确.

7．设点是点在平面上的投影，则，点在直线上，设球的半径为

因为所以，所以在直角中，解得

所以，所以

球对应的球面上经过，两点的测地线长为故C

8．A作交与点，不妨设的底边上的中线，所以，

所以，因为， 则动点的轨迹一定通过的重心，

9．A. ,所以该选项正确；

B. 若，则，，，四点不一定共线，所以该选项错误；

C. 任意向量，，所以该选项错误；

D. 若向量，满足，则，所以，所以两向量的夹角为零度，所以，共线，所以该选项正确.故选：AD

10．解：对于A选项，，故错误；

对于B选项，，故正确；

对于C选项，，故正确；

对于D选项，，故正确；

故选：BCD

11．因为，对于A：的虚部为，正确；

对于B：模长，正确；对于C：因为，故为纯虚数，正确；

对于D：的共轭复数为，错误.故选：ABC.

12．对于A，在中，由，利用正弦定理得，故A正确.

对于B，由锐角三角形知，则，，故B正确.对于C，由，利用正弦定理得，即，故，即，则是直角三角形，故C正确.对于D，，解得，利用余弦定理知，所以，又因为，，故D错误.故选：ABC

13．2    因为向量，为单位正交基底，，，

所以，即所以，即

14．解：因为，，所以，得，

所以，

15．解:如图，将圆锥展开，由题可知最短距离为，

因为圆锥形礼品盒，其母线长为，底面半径为，

设，所以，即，

所以在等腰三角形中，取中点，

则为直角三角形，且，，

所以，

所以.故答案为：

16．

，

因为值域为，所以，

，，

则，的最大值为，

当最小时，，，此时，

故的取值范围为，

17．解：（1）因为与的夹角为，

所以

所以所以

（2）因为，所以，

所以，所以，即，

故.

18．（1）因为，由正弦定理得，

因为，所以，且易知所以，又，

所以.

（2）由（1）知，所以在中，由余弦定理得，，

即，因为，解得，所以.

18．（1）因是关于的方程的一个根，

则，化简整理得，而，解得，

所以，

；

（2）复数满足，由(1)得，

于是得在复平面内复数对应的点的集合是以原点为圆心，1和为半径的两个圆所夹的圆环，包括边界，

该图形的面积.

19、(1)设圆台上、下底面半径分别为r、R，AD＝x，

则OD＝72－x，由题意得

，∴.即AD应取36 cm.

(2)∵2πr＝·OD＝·36，∴r＝6 cm，

圆台的高h＝＝＝6.

∴V＝πh(R2＋Rr＋r2)＝π·6·(122＋12×6＋62)＝504π(cm3)．

即容器的容积为504π cm3.

21．（1）令，解得，

令，解得，

故函数在上单调递增，在上单调递减.

（2），

令，则，，

故或，

解得或，

因为在上有两个零点，

所以，解得，

故实数的取值范围为.

22．解：（1）设正方形的边长为米，则

，，，

而，即，解得，

而

（2）

令，记，由“对勾”函数图像得：

∴在单调递减，∴当时，即时，有最小值，最小值为.