2021湘潭一中高二上学期期中考试数学（学考）试卷含答案

高二2020年下学期期中考试试卷

数 学（学考班）

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、选择题：本题共12小题，每小题4分，共48分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．直线的倾斜角为（   ）

A． B． C． D．

2．以为圆心，4为半径的圆的方程为　　

A． B．

C． D．

3．直线在两坐标轴上的截距之和是（    ）

A．5 B．6 C． D．

4．直线的图象可能是(　　)

A． B． C． D．

5．直线与直线平行，则它们的距离为(　　)

A． B． C． D．

6．经过圆的圆心C，且与直线垂直的直线方程是 （   ）

A．x＋y＋1＝0 B．x＋y－1＝0 C．x－y＋1＝0 D．x－y－1＝0

7．已知圆与圆相交于两点，则两圆的公共弦(   )

A． B． C． D．2

8．已知点是圆上的动点，点，则的中点的轨迹方程是（    ）

A． B．

C． D．

9．已知圆，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（    ）

A．1                B．2               C．3               D．4

10．已知直线：与曲线有两个公共点，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

11．若圆上总存在两点到原点的距离为1，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C．  D．

12．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题一“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（    ）．

A． B． C． D．

第II卷（非选择题）

二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。

13．若直线与直线与直线互相垂直，则实数=_______

14．以点为圆心，且与直线相切的圆的方程是______.

15．已知直线分别与x轴，y轴相交于A,B两点，若动点在线段AB上，则ab的最大值为______.

16．如下图所示,一座圆拱桥,当水面在某位置时,拱顶离水面2m,水面宽12m,当水面下降1m后,水面宽为________m.

三、解答题：本题共40分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知两点，，两直线：，：．

求：（1）过点且与直线平行的直线方程；

（2）过线段的中点以及直线与的交点的直线方程．

18．已知曲线是动点到两个定点、距离之比为的点的轨迹.

（1）求曲线的方程；

（2）求过点且与曲线相切的直线方程.

19．已知直线： ().

（1）证明：直线过定点；

（2）若直线交轴负半轴于，交轴正半轴于，的面积为(为坐标原点)，求的最小值并求此时直线的方程．

20．已知过点且斜率为的直线与圆：交于，两点.

（1）求斜率的取值范围；

（2）为坐标原点，求证：直线与的斜率之和为定值.

参考答案

1．B斜率，故倾斜角为，选B.

2．C以为圆心，4为半径的圆的方程为：．

3．D解：由，令可得，令可得，

故在两坐标轴上的截距之和是.

4．B显然不可能是C，时，直线的斜率为正，纵截距为负，排除A，时，斜率为负，纵截距为正，D不符，只有B符合题意．

5．B直线3x+4y﹣3=0 即 6x+8y﹣6=0，它直线6x+my+14=0平行，∴m=8，则它们之间的距离是

6．C圆的圆心C为（-1，0），而直线与x+y=0垂直，所以待求直线的斜率为1，设待求直线的方程为y=x+b，将点C的坐标代入可得b的值为b=1，

故待求的直线的方程为x-y+1=0．

7．A圆与圆相减得所在的直线方程：.∵圆的圆心，，

圆心到直线：的距离，

则．

8．A设线段中点，则．在圆上运动，

，即．

9．B圆化为，所以圆心坐标为，半径为，

设，当过点的直线和直线垂直时，圆心到过点的直线的距离最大，所求的弦长最短，此时根据弦长公式得最小值为.

10．B画出如下图像：

当直线过点时,,此时直线与曲线有两个公共点;直线与曲线相切时,,因此当时，直线与曲线有两个公共点.

11．C.由题意，圆上总存在两点到原点的距离为1，

即为圆和圆相交，

又由两圆圆心距，则，解得，即实数的取值范围是.

12．B由题点和军营所在区域在河岸线所在直线方程的同侧，

设点关于直线的对称点，中点在直线上，解得：，即，设将军饮马点为，到达营区点为，则总路程，要使路程最短，只需最短，即点到军营的最短距离，即点到区域的最短距离为：

13．：，即

14．由题意圆的半径为，所求圆的方程为．

15．直线方程可化为，故直线与x轴的交点为A(2，0)，与y轴的交点为B(0，1).由动点在线段AB上可知，且，所以，故.因为，所以当时ab取得最

16．以圆拱拱顶为坐标原点,以水平与圆拱相切的直线为横轴,以过拱顶的竖线为纵轴,建立直角坐标系,如下图所示：

由题意可知：设圆的方程为：(其中为圆的半径),因为拱顶离水面2m,水面宽12m,所以设,代入圆的方程中得：,所以圆的方程为：,当水面下降1m后,设代入圆的方程中得：.

17 （1）设与：平行的直线方程为：，

将代入，得，解得，故所求直线方程是：．

（2）∵，，∴线段的中点是，

设两直线的交点为，联立解得交点，则，

故所求直线的方程为：，即．

18．试题分析：（1）在给定的坐标系里，设点．

由及两点间的距离公式，得， ①

将①式两边平方整理得：即所求曲线方程为：．

（2）由（1）得，其圆心为，半径为．

i)当过点的直线的斜率不存在时，直线方程为，显然与圆相切；

ii) 当过点的直线的斜率存在时，设其方程为

即

由其与圆相切得圆心到该直线的距离等于半径，得

，解得，此时直线方程为

所以过点与曲线相切的直线方程为或．

19解:(1)证明：∵直线的方程可化为，

令，解得：，  ∴无论取何值，直线总经过定点.

(2)解：由题意可知，再由的方程，得，．

依题意得：，解得．∵，

当且仅当  ，即，取“＝”∴，此时直线的方程为．

20．解：（1）直线的方程为：即.

由得圆心，半径.直线与圆相交得，即.

解得.所以斜率的取值范围为.

（2）联立直线与圆方程：.消去整理得.

设，，根据韦达定理得.则

.

∴直线与的斜率之和为定值1.