2022山东省夏津一中高二上学期数学周清试题（一）PDF版含答案

答案

1-8 A A C D   A B B C

9． BC．10． BD．11． ABC．12． ABC．

13.    14.．15.  16.5

17. [解]　因为∠DAB＝60°，AB＝2AD，由余弦定理得BD＝AD，

从而BD2＋AD2＝AB2，故BD⊥AD，以D点为坐标原点，射线DA，DB，DP为x，y，z轴的正半轴建立空间直角坐标系D­xyz，

则A(1,0,0)，B(0，，0)，P(0,0,1)．

∴＝(－1，，0)，＝(0，，－1)，

设平面PAB的法向量为n＝(x，y，z)，

则即

即因此可取n＝(，1，)．

∴平面PAB的一个法向量为(，1，)．

 18.[解]　①如图过D作DE⊥BC于E，

则DE＝CD·sin 30°＝，

OE＝OB－BDcos 60°＝1－＝，

∴D的坐标为，

又∵C(0,1,0)，∴＝．

②依题设有A点坐标为，

∴＝，＝(0,2,0)，

则与的夹角的余弦值：

cos〈，〉＝＝－．

19.【解答】解：（1）设，则由题可知解得或

所以或．

（2）因为向量与向量共线，所以．

又，，所以，，

所以，且，，

所以与夹角的余弦值为．

20.【解答】解：（1）由图可得，

＝＝＝，

（2）∵三棱柱ABC﹣A1B1C1，∴四边形ACC1A1是平行四边形，

又因为∠ACC1＝90°，所以四边形ACC1A1是矩形，∴AC⊥AA1，

∵BC＝2，AC＝1，∠ACB＝60°，∴由余弦定理可得AB2＝AC2+BC2﹣2AC•BC•cos60°，

∴，故BC2＝AC2+AB2，∴AC⊥AB，AB∩AA1＝A，∴AA1⊥面ABB1A1，

连接B1D，BA1，∵∠BCC1＝60°，BC＝CC1＝2，∴BC1＝2，

∴△BCC1和△BB1C1为正三角形，∴A1D＝1，，

cos∠DA1B1＝＝，

∵AB∥A1B1，∴异面直线AB与A1D所成角的余弦值为．

21. （1）∵∥， ∴四边形为菱形，

∵，∴为正三角形，取的中点，连接，则

∴，∵平面平面，平面，

平面平面，∴平面

∵ ∴两两垂直

以为原点，的方向为轴，建立空间直角坐标系

∵，

∴、

∴，

(2)存在，该点即为中点，连结交于点，，

22.【解答】解：（1）证明：在△PAB中，因为，∠APB＝90°，PA＝PB，AB＝4，点M是AB的中点

所以MB＝MP＝MA＝2，PM⊥AB，

因为底面ABCD是菱形，∠ABC＝60°，AB＝4，所以CM＝2，

所以CM2+PM2＝PC2，∴PM⊥MC

而AB∩CM＝M，AB、CM⊂平面ABCD，所以PM⊥平面ABCD，

因为PM⊂平面PAB，

所以平面ABCD⊥平面PAB；

（2）由（1）可得PM⊥面ABCD，连结MN，二面角N﹣PM﹣C的的平面角为∠NMC，

∵二面角N﹣PM﹣C的大小为60°，∴∠NMC＝60°，

在Rt△BCM中，∠MCB＝30°，∴∠MNC＝90°，即MN⊥BC，∴CN＝CMsin60°＝3，

在△AMD中，MD＝＝2，

∴PD＝＝4，

又PC＝＝4，

∴PD2＝PC2+CD2，则△PCD为直角三角形．

设N到平面PCD的距离为d，又VP﹣NCD＝VN﹣PCD．

即S△NCD•PM＝S△PCD•d，＝，

解得d＝，

所以N到平面PCD的距离为．