2021省绥化一中高二下学期期中考试数学（文）试题含答案

这是一份2021省绥化一中高二下学期期中考试数学（文）试题含答案，共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
数学（文） 第I卷（选择题）一、单选题（本题共12题，每题5分，共60分。每题只有一个正确选项）1．已知集合，，则（    ）A． B． C． D．2．若复数满足，其中为虚数单位，则复数的虚部是（    ）A．2 B． C． D．3．下列命题错误的是（    ）A．命题“若，则”的逆否命题为“若，则”B．命题“∀，”的否定是“，”C．若“p且q”为真命题，则p，q均为真命题D．“”是“”的充分不必要条件4．新冠肺炎肆虐全，疫情波及多个国家和地区；一些国家宣布进入“紧急状态”，全球股市剧烈震荡……新冠肺炎疫情严重挑战公共卫生安全，全面冲击世界经济运行，深刻影响社会生活运转.这场全球公共卫生危机，需要国际社会的通力合作，在一次国际医学学术会议上，来自四个国家的五位代表被安排在一张圆桌就座，为了使他们能够自由交谈，事先了解到的情况如下：甲是中国人，还会说英语；乙是法国人，还会说日语；丙是英国人，还会说法语；丁是日本人，还会说汉语；戊是法国人，还会说德语；则这五位代表的座位顺序应为（    ）A．甲丙丁戊乙 B．甲丁丙乙戊C．甲乙丙丁戊 D．甲丙戊乙丁5．在同一坐标系中，将曲线变为曲线的伸缩变换是（    ）A． B． C． D．6．函数在处有极大值，则的值等于（    ）A．9 B．6 C．3 D．27．函数 的单调递增区间是（  ）A． B． C．(1,4) D．(0,3)8．命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（    ）A． B． C． D．9．设，是双曲线的左、右焦点，一条渐近线方程为，为双曲线上一点，且，则的面积等于（    ）A． B． C． D．10.已知点是抛物线上一点，设点到此抛物线准线的距离是，到直线的距离为，则的最小值是（    ）A．5 B．4C． D．11．双曲线的方程为：（，），过右焦点作双曲线一条渐近线的平行线，与另一条渐近线交于点，与双曲线右支交于点，点恰好为的中点，则双曲线的离心率为（    ）A． B．2 C． D．312．已知关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ）．A． B． C． D． 第II卷（非选择题） 二、填空题（本题共4题，每题5分，共20分。）13．设复数，若，则________.14．已知某种产品产量x（吨）与所需某种原材料y（吨）具有线性相关关系，在生产过程中收集了6组数据，由6组数据得到数据的中心点为(4.5,3.5)，y关于x的线性回归方程为＝x+0.35，据此可估计x＝7时，＝_____.15．已知在区间上为单调递增函数，则实数的取值范围是__________16.已知抛物线的焦点是F，点M是其准线l上一点，线段交抛物线C于点N.当时，的面积是______三、解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）17．在平面直角坐标系中，过点且倾斜角为的直线与曲线（为参数）交于两点.（1）将曲线的参数方程转化为普通方程；（2）求的长.18．如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，且.（1）求证：平面；（2）求点到平面的距离.19．2017年“一带一路”国际合作高峰论坛于今年5月14日至15日在北京举行.为高标准完成高峰论坛会议期间的志愿服务工作，将从27所北京高校招募大学生志愿者，某调查机构从是否有意愿做志愿者在某高校访问了80人，经过统计，得到如下丢失数据的列联表：（，表示丢失的数据） 无意愿有意愿总计男40女5总计2580（1）求出的值，并判断：能否有99.9%的把握认为有意愿做志愿者与性别有关；（2）若表中无意愿做志愿者的5个女同学中，3个是大学三年级同学，2个是大学四年级同学.现从这5个同学中随机选2同学进行进一步调查，求这2个同学是同年级的概率.附参考公式及数据：，其中.0.400.250.100.0100.0050.0010.7081.3232.7066.6357.87910.82820．在直角坐标系中，直线的参数方程为(为参数).以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）求曲线上的动点到直线距离的最大值.21．已知椭圆的离心率是，椭圆C过点.（1）求椭圆的方程；（2）已知是椭圆的左、右焦点，过点的直线l（不过坐标原点）与椭圆交于两点，求 的取值范围.22．已知函数．（1）若，求曲线的斜率等于3的切线方程；（2）若在区间上恰有两个零点，求a的取值范围． 参考答案1．C【分析】求得集合，结合集合交集的运算，即可求解.【详解】由题意，集合，，根据集合交集的概念及运算，可得.故选：C.2．C【分析】根据复数的除法运算求出，再根据复数的概念可得结果.【详解】因为，所以，所以复数的虚部为.故选：C3．B【分析】根据逆否命题的定义，命题的否定的定义，复合命题的真假与充分条件必要条件的定义判断各命题．【详解】命题“若，则”的逆否命题为“若，则”，A正确；命题“∀，”的否定是“，”，B错误；若“p且q”为真命题，则p，q均为真命题，C正确；时成立，但时有或，因此“”是“”的充分不必要条件，D正确．故选：B．4．D【分析】首先从戊的国家和语言开始分析，两侧只能是乙和丙，其余顺序唯一，可得选项．【详解】戊是法国人，还会说德语，只能用法语交流，则两侧只能是乙和丙，乙旁边是丁，丙旁边是甲，故选：D.5．B【分析】根据三角函数图象伸缩变换原则可知需坐标扩大到原来的倍，纵坐标缩短为原来的，从而可得结果.【详解】将变为曲线，需将：的横坐标扩大到原来的倍，纵坐标缩短为原来的    故选：B【点睛】本题考查曲线的伸缩变换，涉及到三角函数伸缩变换原则，属于基础题.6．B【分析】对函数求导，利用以及解出，进而得出答案．【详解】由题意得，因为在处有极大值，所以，解得，所以，故选：B7．B8．A【分析】“，”为真命题可转化为恒成立，可得，根据充分必要条件可选出答案．【详解】若“，”为真命题，得恒成立，只需，所以时，不能推出“，”为真命题，“，”为真命题时推出，故是命题“，”为真命题的一个必要不充分条件，故选：A．【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；（2）是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集；（3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；（4）是的既不充分又不必要条件， 对的集合与对应集合互不包含．9．A由双曲线方程知其渐近线方程为：，又一条渐近线方程为，，由双曲线定义知：，解得：，，又，，，.
故选：A. 10.C【详解】点P到准线的距离等于点P到焦点F的距离，过焦点F作直线x+y−4=0的垂线,此时d1+d2最小，∵F(1,0),则.本题选择C选项.11．A【分析】求出双曲线的渐近线方程，求出过右焦点的直线方程，求出的坐标，得到中点坐标，代入双曲线方程，求解即可.【详解】双曲线（，）的右焦点，双曲线的渐近线方程不妨为：，则过双曲线的右焦点作一条渐近线的平行线为：由，解得，线段的中点恰好在此双曲线上，可得：，即，得，故选：A.【点睛】本题主要考查双曲线的简单性质的应用，双曲线离心率的求法，属于中档题.12．A【分析】将不等式恒成立，转化为不等式 在上恒成立，令，用导数法求得其最小值即可.【详解】因为不等式恒成立，所以不等式 在上恒成立，令，则，令，则，所以在上是递增，又，所以当时，，即，当时，，即，所以当时，取得最小值，所以 ，故选：A【点睛】方法点睛：恒成立问题的解法：若在区间D上有最值，则；；若能分离常数，即将问题转化为：（或），则；.13．【分析】根据复数的乘法运算求出，再根据复数的加法运算求出，再根据复数的模长公式可求出结果.【详解】，，，所以.故答案为：14．5.25；【分析】由数据的中心点为(4.5, 3.5)及回归方程为＝x+0.35，可求出并得到回归方程，进而估计x＝7时的值即可【详解】数据的中心点为(4.5, 3.5)，且线性回归方程为＝x+0.35可知：，得即∴可估计x＝7时，故答案为：5.25【点睛】本题考查了利用数据的中心求回归方程的参数，并由回归方程进行数据值估计15，由题意在时恒成立，即在时恒成立，，由对勾函数性质知在单调递增，所以，所以，即．故答案为：．16．【分析】由抛物线的方程可得焦点坐标及准线方程，因为，可得在，之间，设垂直于准线交于，由抛物线的性质可得，可得，求出直线的方程，代入抛物线的方程求出的横坐标，进而求出的面积．【详解】由题意抛物线的标准方程为：，所以焦点，准线方程为，设垂直于准线交于，如图，由抛物线的性质可得，因为，可得在，之间，所以，所以，所以，即直线的斜率为，所以直线的方程为，将直线的方程代入抛物线的方程可得：，解得或（舍），所以，故答案为：．【点睛】本题主要考查抛物线的几何性质，抛物线的定义，三角形的面积公式，属于中档题．17．（1）；（2）.【分析】（1）利用公式直接将椭圆的参数方程转化为普通方程即可.（2）首先求出直线的参数方程，代入椭圆的普通方程得到，再利用直线参数方程的几何意义求弦长即可.【详解】（1）因为曲线（为参数），所以曲线的普通方程为：.（2）由题知：直线的参数方程为（为参数），将直线的参数方程代入，得.，.所以.18．（1）证明见详解；（2）【分析】（1）由题意可得，，再利用线面垂直的判定定理即可证明.（2）利用等体法：，即可求解.【详解】（1）底面是正方形，，平面，，，平面.（2）由题意可得,设点到平面的距离为，由，即，，解得.19．(1)答案见解析；(2).【解析】试题分析：(1)由题意结合所给的表可得，计算的观测值，则有99.9%的把握认为有意愿做志愿者与性别有关.(2)由题意列出所有可能的事件，然后结合古典概型公式可得这2个同学是同年级的概率是.试题解析：（1）由表得，∵的观测值，∴99.9%的把握认为有意愿做志愿者与性别有关.（2）记3个大三同学分别为，2个大四同学分别为，则从中抽取2个的基本事件有：共10个，其中抽取的2个是同一年级的基本事件有4个，则所求概率为或直接求.20．（1）：，：；（2）最大值为.【分析】（1）由直线的参数方程(为参数)，消去参数即可得到直线的普通方程；由曲线的极坐标方程，转化为，然后利用求解.由曲线的参数方程(为参数)，设曲线上的动点，利用点到直线的距离，结合三角函数的性质求解.【详解】（1）直线的参数方程为(为参数)，消去参数，得.曲线的极坐标方程为，,即，曲线的直角坐标方程为，即.曲线的参数方程为(为参数)，设曲线上的动点，则点到直线的距离，曲线上的点到直线的距离的最大值为.【点睛】思路点睛：本题第二问思路是根据曲线的参数方程，设，再利用点到直线的距离，转化为三角函数而得解.21．（1）；（2）.【分析】（1）由离心率及点的坐标列出关于的方程组，解之可得椭圆标准方程；（2）设，设直线的方程为，代入椭圆方程后应用韦达定理得，代入，利用不等式的性质可得取值范围．【详解】（1）由条件知，解得 因此椭圆的方程为.（2）设，则，设直线的方程为，代入椭圆的方程消去，得，由韦达定理得，，，，所以.【点睛】方法点睛：本题考查由离心率求椭圆标准方程，考查直线与椭圆相交中的范围问题，解题方法是设而不求的思想方法：设交点坐标坐标为，设直线方程为，代入椭圆方程消元后（可以消去）应用韦达定理得得（），代入所求的量化简变形后利用不等式的知识可得取值范围．22．（1）；（2）．【分析】（1）求函数导数得，进而得切点，得斜率，由点斜式求切线方程即可；（2）讨论得当时，不成立，当时，由函数导数判断只有一个极值点，进而根据单调性列不等式求解即可.【详解】由已知函数定义域是，（1），，由解得（舍去），又，所以切线方程为，即；（2）当时，，函数单调递增，则不存在两个零点，舍当时，，易知只有一个极值点，要使得有两个零点，则，即，此时在上，递减，在上，递增，在时取得极小值，所以解得．综上的范围是．