2021【KS5U解析】新乡高二下学期期末考试数学（文科）试卷含解析

这是一份2021【KS5U解析】新乡高二下学期期末考试数学（文科）试卷含解析，共19页。试卷主要包含了选择题.，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年河南省新乡市高二（下）期末数学试卷（文科）
一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.
1．已知集合A＝{x|﹣1≤x＜3}，B＝{y|y≤2}，则A∪B＝（　　）
A．（﹣∞，3） B．[﹣1，2） C．[﹣1，3） D．（﹣∞，2]
2．复数在复平面内对应的点的坐标为（　　）
A．（，） B．（﹣，） C．（﹣，﹣） D．（，﹣）
3．2021年3月18日“2021亚太地区自然指数”发布，中国机构整体表现强劲．在2020年亚太地区科研产出贡献份额排名前5位中有4家中国机构，它们分别是中国科学院（第一），中国科学技术大学（第二），北京大学（第四），中国科学院大学（第五），相应的贡献份额（取整数）分别为1904，486，456，422，则这四个数的极差、中位数分别是（　　）
A．﹣1482，472 B．1482，472 C．﹣1482，471 D．1482，471
4．已知a＝log312，b＝log54，，则（　　）
A．c＞a＞b B．b＞c＞a C．a＞c＞b D．b＞a＞c
5．阿基米德是伟大的物理学家，哲学家，数学家和力学家，是名副其实的“全能天才”．他本人最得意的发现是名为“圆柱容球”的几何图形，就是在圆柱形容器里放了一个球，这个球顶天立地，四周喷边（球的直径与圆柱形容器的高和底面直径分别相等）．人们为了纪念他，根据他本人生前的愿望，在他的墓碑上刻了该几何图形，在一个“圆柱容球”的圆柱内任取一点，则所取的点恰好落在这个“圆柱容球”的球内的概率是（　　）
A． B． C． D．
6．已知函数，则f（x）的极大值为（　　）
A．0 B． C．e D．1
7．20世纪30年代，查尔斯•里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大．这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为，其中A是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中距离造成的偏差）．当地震发生时，震源中心以地震波的形式放出的能量的指示参数E＝104.8+1.5M，震级越大，震源放出的能量就越大．1989年美国旧金山地震中，一个测震仪记录的最大振幅为8000，此时的标准地震的振幅是0.0001，则预计此次地震震源放出的能量（单位：焦耳）约为（　　）（lg2≈0.3，100.65≈4.5）
A．4.517 B．4.516 C．4.5×1016 D．4.5×1017
8．已知某几何体的三视图如图所示，其中小方格是边长为1的正方形，则该几何体的外接球的表面积为（　　）

A．68π B．52π C．36π D．48π
9．已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为，过F的直线l交抛物线于A，B两点，且，则l的斜率为（　　）
A．±1 B． C． D．
10．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知4c2＝3b2，，则A＝（　　）
A． B． C． D．
11．将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数g（x）的图象，若g（x）在上单调递减，则ω的最大值为（　　）
A． B． C． D．1
12．已知双曲线的左焦点为F，点M在双曲线C的右支上，A（0，3），当△MAF的周长最小时，△MAF的面积为（　　）
A． B．9 C． D．4
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中的横线上.
13．已知向量，，若，则＝　 　．
14．不等式组表示的平面区域的面积为 　 　．
15．已知，则＝　 　．
16．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D为AC的中点，A1C⊥平面DBC1，AB＝BC＝AA1，则异面直线A1D与BC所成角的正切值为 　 　．
三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.
17．已知数列{an}中，a1＝，a2＝且．
（1）证明{an2}为等差数列并求an2；
（2）求数列{2an2}的前n项和Sn．
18．如图，四棱锥P﹣ABCD，侧面PAD⊥平面ABCD，且底面ABCD为矩形，AB＝1，AD＝2，，E为BC的中点，PE⊥DE．
（1）证明：PA⊥平面ABCD；
（2）求C到平面PDE的距离．

19．华为HarmonyOS系统是一款面向未来、面向全场景的分布式操作系统，预计该系统将会成为继Android，IOS系统之后的全球第三大手机操作系统．为了了解手机用户对Harmony﹣OS系统的期待程度，某公司随机在20000人中抽取了100名被调查者，记录他们的期待值，将数据分成[0，15），[15，30），…，[75，90]6组，其中期待值不低于60的称为非常期待HarmonyOS系统，现整理数据得到如图频率分布直方图．
（1）已知样本中期待值小于15的有4人，试估计总体中期待值在区间[15，30）内的人数；
（2）已知样本中的男生有一半非常期待HarmonyOS系统，且样本中非常期待HarmonyOS系统的男、女生人数相等．请根据所提供的数据，完成下面的2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为是否非常期待HarmonyOS系统与性别有关．

非常期待
不非常期待
合计
男



女



合计


100
附：K2＝，其中n＝a+b+c+d．
P（K2≥k0）
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828

20．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，过右焦点F2且不平行于坐标轴的动直线l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．
（1）记直线OM的斜率为k1，直线AB的斜率为k2，证明：k1k2为定值．
（2）y轴上是否存在点P，使得△ABP为等边三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
21．已知函数f（x）＝2mx﹣4lnx．
（1）当m＝1时，求f（x）的单调递增区间；
（2）若f（x）与的图象上恰有两对关于y轴对称的点，求m的取值范围．
（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4—4：坐标系与参数方程
22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为多参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线C2的极坐标方程为ρcosθ﹣mρsinθ+2＝0（m∈R）．
（1）求曲线C1和曲线C2的直角坐标方程；
（2）已知P（﹣2，0），线C1与曲线C2交于A，B两点，若，求m的值．
[选修4—5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）＝|x﹣1|+|2x﹣1|．
（1）求不等式f（x）＜4x﹣2的解集；
（2）若，，求a的取值范围．


参考答案
一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.
1．已知集合A＝{x|﹣1≤x＜3}，B＝{y|y≤2}，则A∪B＝（　　）
A．（﹣∞，3） B．[﹣1，2） C．[﹣1，3） D．（﹣∞，2]
解：因为A＝{x|﹣1≤x＜3}，B＝{y|y≤2}，
所以A∪B＝（﹣∞，3）．
故选：A．
2．复数在复平面内对应的点的坐标为（　　）
A．（，） B．（﹣，） C．（﹣，﹣） D．（，﹣）
解：∵＝＝﹣+i，
∴复数在复平面内对应的点的坐标为（﹣，），
故选：B．
3．2021年3月18日“2021亚太地区自然指数”发布，中国机构整体表现强劲．在2020年亚太地区科研产出贡献份额排名前5位中有4家中国机构，它们分别是中国科学院（第一），中国科学技术大学（第二），北京大学（第四），中国科学院大学（第五），相应的贡献份额（取整数）分别为1904，486，456，422，则这四个数的极差、中位数分别是（　　）
A．﹣1482，472 B．1482，472 C．﹣1482，471 D．1482，471
解：根据题意，四个数据分别为1904，486，456，422，
则其极差1904﹣422＝1482，中位数为（486+456）＝471，
故选：D．
4．已知a＝log312，b＝log54，，则（　　）
A．c＞a＞b B．b＞c＞a C．a＞c＞b D．b＞a＞c
解：对于a＝log312＞log39＝2，
b＝log54＜log55＝1，
，
所以a＞c＞b，
故选：C．
5．阿基米德是伟大的物理学家，哲学家，数学家和力学家，是名副其实的“全能天才”．他本人最得意的发现是名为“圆柱容球”的几何图形，就是在圆柱形容器里放了一个球，这个球顶天立地，四周喷边（球的直径与圆柱形容器的高和底面直径分别相等）．人们为了纪念他，根据他本人生前的愿望，在他的墓碑上刻了该几何图形，在一个“圆柱容球”的圆柱内任取一点，则所取的点恰好落在这个“圆柱容球”的球内的概率是（　　）
A． B． C． D．
解：设圆柱的体积为m，球的体积为n，球的半径为r，
则圆柱的高为2r，
所以m＝πr2⋅2r＝2πr3，，
则所求概率为．
故选：B．
6．已知函数，则f（x）的极大值为（　　）
A．0 B． C．e D．1
解：因为，
令f′（x）＞0，解得：x＞1或x＜0，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，
故f（x）在（﹣∞，0），（1，+∞）上单调递增，在[0，1]上单调递减，
故f（x）的极大值为f（0）＝1，
故选：D．
7．20世纪30年代，查尔斯•里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大．这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为，其中A是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中距离造成的偏差）．当地震发生时，震源中心以地震波的形式放出的能量的指示参数E＝104.8+1.5M，震级越大，震源放出的能量就越大．1989年美国旧金山地震中，一个测震仪记录的最大振幅为8000，此时的标准地震的振幅是0.0001，则预计此次地震震源放出的能量（单位：焦耳）约为（　　）（lg2≈0.3，100.65≈4.5）
A．4.517 B．4.516 C．4.5×1016 D．4.5×1017
解：，
∴E＝104.8+1.5×7.9＝1016.65＝100.65•1016≈4.5×1016．
故选：C．
8．已知某几何体的三视图如图所示，其中小方格是边长为1的正方形，则该几何体的外接球的表面积为（　　）

A．68π B．52π C．36π D．48π
解：由三视图还原原几何体如图，

该几何体为三棱锥P﹣ABC，把该三棱锥放置在长方体PB中，
长方体的棱长分别为6，4，4，则长方体的外接球即为三棱锥的外接球，
半径为．
∴外接球的表面积为4π×＝68π．
故选：A．
9．已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为，过F的直线l交抛物线于A，B两点，且，则l的斜率为（　　）
A．±1 B． C． D．
解：由题知p＝1，抛物线方程为y2＝2x，
设l的直线方程为，代入抛物线方程，得y2﹣2my﹣1＝0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2＝2m，y1y2＝﹣1．
因为，所以或，
故，
即l的斜率为．
故选：D．
10．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知4c2＝3b2，，则A＝（　　）
A． B． C． D．
解：因为，
所以，即，
又4c2＝3b2，则，
从而，
又A∈（0，π），
故．
故选：C．
11．将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数g（x）的图象，若g（x）在上单调递减，则ω的最大值为（　　）
A． B． C． D．1
解：将f（x）＝cos（ωx+）的图象向右平移个单位长度后得到g（x）＝cos（ωx﹣+）的图象．
因为，所以，
因为g（x）在上单调递减，
所以，，即 ，所以，ω的最大值为，
故选：B．
12．已知双曲线的左焦点为F，点M在双曲线C的右支上，A（0，3），当△MAF的周长最小时，△MAF的面积为（　　）
A． B．9 C． D．4
解：如图，设C的右焦点为F'，由题意可得，c＝3，
因为，所以，．
△MAF的周长为，
即当A，M，F'三点共线时，△MAF的周长最小，此时直线AF'的方程为y＝﹣x+3，
联立方程组，解得或y＝﹣1，即此时M的纵坐标为，
故△MAF的面积为．
故选：A．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中的横线上.
13．已知向量，，若，则＝　　．
解：因为，所以＝x+3+2x＝0，解得x＝﹣1，
所以，故．
故答案为：．
14．不等式组表示的平面区域的面积为 　3　．
解：根据题意，等式组表示的平面区域为点A（1，1），B（0，﹣1），C（3，﹣1）围成的三角形区域，
如图：
所以面积为；
故答案为：3．

15．已知，则＝　　．
解：因为，
所以，
故．
故答案为：．
16．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D为AC的中点，A1C⊥平面DBC1，AB＝BC＝AA1，则异面直线A1D与BC所成角的正切值为 　　．
解：设AB＝BC＝AA1＝1，
由直三棱柱ABC﹣A1B1C1，可得AA1⊥底面ABC，
即有AA1⊥AC，
设AC＝x，即有AD＝CD＝x，
由A1C⊥平面DBC1，可得A1C⊥DC1，
可得tan∠C1A1C•tan∠A1C1D＝tan∠C1A1C•tan∠C1DC＝•＝1，
解得x＝，
所以△ABC为直角三角形，且AB⊥BC，
取AB的中点H，连接A1H，DH，可得DH∥BC，
则∠A1DH为异面直线A1D与BC所成角．
由BC⊥AB，可得DH⊥AB，
由三垂线定理可得DH⊥AH，
在直角三角形A1DH中，DH＝，A1H＝＝，
所以tan∠A1DH＝＝．
故答案为：．

三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.
17．已知数列{an}中，a1＝，a2＝且．
（1）证明{an2}为等差数列并求an2；
（2）求数列{2an2}的前n项和Sn．
解：（1）因为，，所以
即，
因为a1＝，，所以数列是首项为2，公差为3的等差数列，
故．
（2）因为，所以是首项为4，公比为8的等比数列，
故．
18．如图，四棱锥P﹣ABCD，侧面PAD⊥平面ABCD，且底面ABCD为矩形，AB＝1，AD＝2，，E为BC的中点，PE⊥DE．
（1）证明：PA⊥平面ABCD；
（2）求C到平面PDE的距离．

解：（1）证明：连接AE．因为侧面PAD⊥底面ABCD且交于AD，AB⊥AD，所以AB⊥平面PAD．
因为PA⊂平面PAD，所以PA⊥AB．
在△AED中，，AD＝2，所以AE2+ED2＝AD2，即AE⊥ED．
因为PE⊥DE，PE∩AE＝E，所以DE⊥平面PAE．
因为PA⊂平面PAE，所以PA⊥DE．
因为AB，DE相交，所以PA⊥平面ABCD．
（2）因为PA⊥平面ABCD，AB＝1，AD＝2，E为BC的中点，，
所以三棱锥P﹣ECD的体积为，
在△PDE中，，PE＝2，所以△PDE的面积为．
设C到平面PDE的距离为d，则，
所以．
即C到平面PDE的距离为．

19．华为HarmonyOS系统是一款面向未来、面向全场景的分布式操作系统，预计该系统将会成为继Android，IOS系统之后的全球第三大手机操作系统．为了了解手机用户对Harmony﹣OS系统的期待程度，某公司随机在20000人中抽取了100名被调查者，记录他们的期待值，将数据分成[0，15），[15，30），…，[75，90]6组，其中期待值不低于60的称为非常期待HarmonyOS系统，现整理数据得到如图频率分布直方图．
（1）已知样本中期待值小于15的有4人，试估计总体中期待值在区间[15，30）内的人数；
（2）已知样本中的男生有一半非常期待HarmonyOS系统，且样本中非常期待HarmonyOS系统的男、女生人数相等．请根据所提供的数据，完成下面的2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为是否非常期待HarmonyOS系统与性别有关．

非常期待
不非常期待
合计
男



女



合计


100
附：K2＝，其中n＝a+b+c+d．
P（K2≥k0）
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828

解：（1）因为样本中期待值不小于30的频率为，
所以样本中期待值小于30的频率为0.1，
则样本中期待值在区间[15，30）内的人数为100×0.1﹣4＝6，
故总体中期待值在区间[15，30）内的人数约为20000×＝1200；
（2）因为样本中非常期待HarmonyOS系统的人数为，
所以样本中非常期待HarmonyOS系统的男生人数为，
故样本中的男生人数为30×2＝60，女生人数为100﹣60＝40，
则列联表如下：

非常期待
不非常期待
合计
男
30
30
60
女
30
10
40
合计
60
40
100
所以K2＝，
故没有99%的把握认为是否非常期待HarmonyOS系统与性别有关．
20．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，过右焦点F2且不平行于坐标轴的动直线l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．
（1）记直线OM的斜率为k1，直线AB的斜率为k2，证明：k1k2为定值．
（2）y轴上是否存在点P，使得△ABP为等边三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
解：设点A（x1，y1），B（x2，y2），
（1）证明：因为，，
所以，即．
因为M为AB的中点，所以，所以．
（2）设直线l的方程为y＝k（x﹣1），联立方程组，
得（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12＝0，
则，．
所以，
所以M的坐标为．
假设存在符合题意的点P，则直线PM的斜率为．
因为△ABP为等边三角形，所以．
因为，，
所以，即23k2+27＝0，方程无实数解，
所以不存在这样的点P．
21．已知函数f（x）＝2mx﹣4lnx．
（1）当m＝1时，求f（x）的单调递增区间；
（2）若f（x）与的图象上恰有两对关于y轴对称的点，求m的取值范围．
解：（1）当m＝1时，f（x）＝2x﹣4lnx，则．
令f'（x）≥0，得x≥2，所以f（x）的单调递增区间为[2，+∞）．
（2）因为f（x）与g（x）的图象上恰有两对关于y轴对称的点，
所以方程f（x）＝g（﹣x）有两个正根，
即关于x的方程有两个正根．
令，
则，
当m≤0时，h（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，
所以h（x）min＝h（2）＝2m﹣4ln2+4＜0，得m＜2ln2﹣2．
当0＜m＜1时，h（x）在（0，2），上单调递减，在上单调递增，
所以h（2）＝2m﹣4ln2+4＝0或．
而h（2）＝2（m+2﹣2ln2）＞0，令，则t＞2．
设m（t）＝4﹣4lnt+t，则，所以m（t）在（2，4）上单调递减，在（4，+∞）上单调递增，所以m（t）min＝m（4）＝8（1﹣ln2）＞0，不满足题意．
当m＝1时，h（x）在（0，+∞）上单调递减，不满足题意．
当m＞1时，h（x）在，（2，+∞）上单调递减，在上单调递增，
所以h（2）＝2m﹣4ln2+4＝0或
而h（2）＞0，，不满足题意．
综上所述，m∈（﹣∞，2ln2﹣2）．
（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4—4：坐标系与参数方程
22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为多参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线C2的极坐标方程为ρcosθ﹣mρsinθ+2＝0（m∈R）．
（1）求曲线C1和曲线C2的直角坐标方程；
（2）已知P（﹣2，0），线C1与曲线C2交于A，B两点，若，求m的值．
解：（1）因为曲线C1的参数方程为（α为参数），
所以C1的直角坐标方程为（x﹣2）2+y2＝4．
直线C2的极坐标方程为ρcosθ﹣mρsinθ+2＝0，
由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，
得曲线C2的直角坐标方程为x﹣my+2＝0．
（2）因为点P（﹣2，0）在直线C2上，
所以可设直线C2的参数方程为（t为参数，α∈[0，π）），
将参数方程代入曲线C1的方程，得t2﹣8cosα⋅t+12＝0．
设A，B所对应的参数分别为t1，t2，
则t1+t2＝8cosα，t1t2＝12，
因为
所以，，
故直线C2的斜率为，
即m＝±2．
[选修4—5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）＝|x﹣1|+|2x﹣1|．
（1）求不等式f（x）＜4x﹣2的解集；
（2）若，，求a的取值范围．
解：（1）因为f（x）＝|x﹣1|+|2x﹣1|，
所以，
由f（x）＜4x﹣2，可得或或，
解得，
所以不等式f（x）＜4x﹣2的解集为．
（2）当时，f（x）＝x，
因为存在，，
则存在，，
因为，
当且仅当，即时取等号，
所以，
故a的取值范围为．