2022长春九台区师范高级中学高二上学期期初考试数学试题含答案

九台师范高中2021-2022学年度高二上学期期初测试

高二 数学试题

本次考试时间110分钟  满分150分

一、（每小题6分，共48分）

单选题（1—8小题）

1．用简单随机抽样的方法从含有个个体的总体中抽取一个容量为的样本，其中某一个体“第一次被抽到”的可能性与“第二次被抽到”的可能性分别是（    ）

A．、     B．、       C．、     D．、

2．如果复数满足，则复数在复平面内对应的点所在象限为（    ）

A．第一象限    B．第二象限     C．第三象限    D．第四象限

3．已知数据的平均数为，方差为，则，，…，的平均数和方差分别为（    ）

A．和      B．和   C．和   D．和

4．某超市收银台排队等候付款的人数及其相应概率如下：

则至少有两人排队的概率为（    ）

A．0.16 B．0.26 C．0.56 D．0.74

5．在中，为线段上的一点，，且，则

A．，  B．，  C．，  D．，

6．下列叙述不正确的是（    ）

A．已知，是空间中的两条直线，若，则直线与平行或异面

B．已知是空间中的一条直线，是空间中的一个平面，若，则或与只有一个公共点

C．已知，是空间两个不同的平面，若，则，必相交于一条直线

D．已知直线与平面相交，且垂直于平面内的无数条直线，则

7．已知一个圆柱的侧面积等于其表面积的，且其轴截面的周长为24，则该圆柱的体积为（    ）

A． B． C． D．

8．若随机事件，互斥，，发生的概率均不等于0，且，，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

多选题（9—12小题）

9．下面是关于复数的四个命题，其中真命题为（    ）

A．     B．     C．的虚部为-1    D．的共轭复数为

10．下面结论正确的是（    ）

A．若，则事件A与B是互为对立事件   

B．若，则事件A与B是相互独立事件

C．若事件A与B是互斥事件，则A与也是互斥事件 

 D．若事件A与B是相互独立事件，则A与也是相互独立事件

11．如图，AC为圆O的直径，，PA垂直于圆O所在的平面，B为圆周上不与点A，C重合的点，于S， 于N，则下列选项正确的是（    ）

A．平面平面PBC   B．平面 平面PAB                    

C．平面 平面PBC   D．平面 平面PAC

12．在中，D，E，F分别是边，，中点，下列说法正确的是（    ）

A．    B．

 C．若，则是在的投影向量   D．若点P是线段上的动点，且满足，则的最大值为

二、填空题（每小题5分，共15分）

13．总体由编号为1，2，…，99，100的100个个体组成.现用随机数法选取60个个体，利用电子表格软件产生的若千个范围内的整数随机数的开始部分数据(如下)，则选出来的第5个个体的编号为___________.

14．已知为坐标原点，向量，，若，则________.

15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，①若sinA＞sinB，则A＞B；②若sin2A＝sin2B，则△ABC一定为等腰三角形；③若，则△ABC为直角三角形；④若△ABC为锐角三角形，则sinA<cosB．以上结论中正确的有____________.（填正确结论的序号）

16．（此小题填对一个3分，填对两个5分。有错的0分）

已知一个高为的三棱锥，各侧棱长都相等，底面是边长为的等边三角形，则三棱锥的表面积为______，若三棱锥内有一个体积为V的球，则V的最大值为______.

三、解答题（每个大题12分，共60分，每个题按照完整的步骤累计给分）

17．已知平面向量，满足，，.

（1）求；（2）若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围.

18．如图，四边形是矩形，平面，平面，，.

（1）证明：平面平面.  （2）求三棱锥的体积.

19．设，，分别为三个内角，，的对边，若.

（1）求角；  （2）若，的周长为6，求的面积.

20．如图所示，在树人中学高一年级学生中抽出40名参加环保知识竞赛，将其成绩(均为整数整理后画出的频率分布直方图如图，观察图形，回答下列问题：

（1）求成绩在80~90这一组的频数；（2）估计这次环保知识竞赛成绩的平均数、40百分位数；

（3）从成绩是50分以下(包括50分)和90分以上(包括90分)这两个分数段的学生中选2人，求他们不在同一分数段的概率                                    

   .

21．如图，在三棱柱中，，点为的中点，，．

（1）证明：平面平面ABC．  （2）求点到平面的距离．

参考答案

1．A

【分析】

根据抽样中，每个个体在每一次被抽到的概率都是相等的，由此可得出结果.

【详解】

在抽样过程中，个体每一次被抽中的概率是相等的，因为总体容量为，

故个体“第一次被抽到”的可能性与“第二次被抽到”的可能性均为，

故选：A．

【点睛】

本题考查抽样中概率的计算，属于基础题.

2．A

【分析】

由给定复数等式求出复数z，进而求得z在复平面内对应点的坐标即可得解.

【详解】

因，则，

于是得在复平面内，复数z对应点的坐标为，

所以在复平面内对应的点在第一象限.

故选：A

3．B

【分析】

根据平均数和方差的性质直接求解.

【详解】

因为数据的平均数为，方差为，

所以，，…，的平均数和方差分别为和

故选：B

4．D

【分析】

利用互斥事件概率计算公式直接求解．

【详解】

由某超市收银台排队等候付款的人数及其相应概率表，得：

至少有两人排队的概率为：

．

故选：D．

【点睛】

本题考查概率的求法、互斥事件概率计算公式，考查运算求解能力，是基础题．

5．A

【分析】

根据相等向量的定义及向量的运算法则：三角形法则求出 ，利用平面向量基本定理求出x，y的值

【详解】

由题意，∵，

∴，即 ，

∴，即

故选A．

【点睛】

本题以三角形为载体，考查向量的加法、减法的运算法则；利用运算法则将未知的向量用已知向量表示，是解题的关键．

6．D

【分析】

利用空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系对各选项逐一判断作答.

【详解】

对于A，空间两直线没有公共点，由空间两直线位置关系的分类知，两直线平行或是异面直线，A正确；

对于B，直线与平面有公共点，由直线与平面位置关系的分类知，直线与平面有无数个公共点(直线在平面内)或仅只一个，即B正确；

对于C，两个不重合平面有公共点，由平面基本性质知，它们有且只有一条经过公共点的公共直线，即C正确；

对于D，正三棱锥的侧棱垂直于底面三角形与该棱相对的边，而在底面三角形所在平面内与该边平行的直线都垂直于这条棱，正三棱锥侧棱不垂直于底面，即D不正确.

故选：D

7．D

【分析】

设圆柱的底面半径为，高为，则由题意得，，解方程组，再根据圆柱的体积公式求解即可．

【详解】

设圆柱的底面半径为，高为，

∵圆柱的侧面积等于表面积的，且其轴截面的周长是24，

∴，解得，

∴圆柱的体积为，

故选:D．

【点睛】

本题主要考查圆柱的表面积公式与体积公式，属于基础题．

8．C

【分析】

利用互斥事件的加法公式及概率的基本性质列式即可作答.

【详解】

因随机事件，互斥，则，

依题意及概率的性质得，即，解得，

所以实数的取值范围是.

故选：C

9．AC

【分析】

利用复数的四则运算即可求解.

【详解】

，

所以，故A正确；

，故B错误；

的虚部为-1，故C正确；

的共轭复数为，故D错误.

故选：AC

10．BD

【分析】

根据互斥事件、对立事件的知识判断AC两个选项的正确性，根据相互独立事件的知识判断BD两个选项的正确性.

【详解】

对于A选项，要使为对立事件，除还需满足，也即不能同时发生，所以A选项错误.

对于C选项，包含于，所以与不是互斥事件，所以C选项错误.

对于B选项，根据相互独立事件的知识可知，B选项正确.

对于D选项，根据相互独立事件的知识可知，D选项正确.

故选：BD

【点睛】

本小题主要考查互斥事件和对立事件，考查相互独立事件，属于基础题.

11．ACD

【分析】

由平面PBC可判断A正确；因无法判断可判断B错误；由平面PAB可判断C正确；由平面ABC可判断D正确.

【详解】

对于A，平面ABC，BC，圆中，是直径，，，平面PAB，，，，平面PBC，平面，平面平面PBC，故A正确；

对于B，，则要使平面 平面PAB，则必有平面，但无法判断，故无法判断平面 平面PAB，故B错误；

对于C，由A选项知平面PAB，平面PBC，平面 平面PBC，故C正确；

对于D，平面ABC，平面PAC，平面 平面PAC，故D正确.

故选：ACD.

【点睛】

本题考查面面垂直的判断，属于基础题.

12．BCD

【分析】

对选项A，B，利用平面向量的加减法即可判断A错误，B正确.对选项C，首先根据已知得到为的平分线，即，再利用平面向量的投影概念即可判断C正确.对选项D，首先根据三点共线，设，，再根据已知得到，从而得到，即可判断选项D正确.

【详解】

如图所示：

对选项A，，故A错误.

对选项B，

，故B正确.

对选项C，，，分别表示平行于，，的单位向量，

由平面向量加法可知：为的平分线表示的向量.

因为，所以为的平分线，

又因为为的中线，所以，如图所示：

在的投影为，

所以是在的投影向量，故选项C正确.

对选项D，如图所示：

因为在上，即三点共线，

设，.

又因为，所以.

因为，则，.

令，

当时，取得最大值为.故选项D正确.

故选：BCD

【点睛】

本题主要考查平面向量的加法，减法的几何意义，数形结合为解决本题的关键，属于中档题.

13．31

【分析】

根据随机抽样中利用随机数法获取个体编号的规律即可得解.

【详解】

随机抽样中，随机数法获取个体编号在指定编号范围内，遇到大于总体编号或者重复号码舍去不要，

由给定的数据，从8数起至第5个仍是8，重复，舍去，第5个编号为31，

所以选中的第5个个体的编号为31.

故答案为：31

14．

【分析】

首先设点坐标为，分别求出和的坐标，根据即可得到点的坐标，再求即可.

【详解】

设点坐标为，，

.

因为，所以.

即，解得，.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查向量的坐标运算，同时考查学生的计算能力，属于简单题.

15．①③

【分析】

结合三角形的性质、三角函数的性质及正弦定理，对四个结论逐个分析可选出答案.

【详解】

对于①，由正弦定理，所以由sinA＞sinB，可推出，则，即①正确；

对于②，取，则，而△ABC不是等腰三角形，即②错误；

对于③，，

则，由正弦定理可得，故△ABC为直角三角形，即③正确；

对于④，若△ABC为锐角三角形，取，此时，即，故④错误.

故答案为：①③.

【点睛】

本题考查真假命题的判断，考查三角函数、解三角形知识，考查学生推理能力与计算求解能力，属于中档题.

16．

【分析】

画出图形，取的中点，连接、，设的中心为，连接，由题意结合正三棱锥的几何特征可得、，进而可求得的三棱锥的表面积和体积，由等体积法即可求得三棱锥内切球的半径，即可得解.

【详解】

由题意，三棱锥如图所示：

取的中点，连接、，

由正三角形的性质可得的中心在线段上，且，

连接，则即为该三棱锥的高，即，

所以，

又，所以，

所以，

又，

所以三棱锥的表面积；

所以该三棱锥的体积,

当球与三棱锥内切时，体积最大，

设三棱锥的内切球的半径为，

则，解得，

则.

故答案为：；.

【点睛】

本题考查了正三棱锥几何特征的应用以及几何体内切球半径的求解，考查了空间思维能力与运算求解能力，属于中档题.

17．（1）；（2）.

【分析】

(1)由给定条件求出，再根据向量模的计算公式即可得解；

(2)根据向量夹角为锐角借助数量积列出不等关系即可作答.

【详解】

（1）依题意，，得，

，

所以；

（2）由向量与的夹角为锐角，可得，即有，解得，

而当向量与同向时，可知，

综上所述的取值范围为.

18．（1）证明见解析；（2）.

【分析】

（1）要证面面平行，只要证一个平面内的两条相交直线分别平行于另外一个平面即可得解；

（2）通过转体积法由即可得解.

【详解】

（1）因为平面，平面，所以，

又因为平面，平面，所以平面.

在矩形中，，平面，平面，

所以平面..

又，所以平面平面.

（2）因为平面，所以，

在矩形中，

又，所以平面.

易证平面，所以点到平面的距离为，

所以.

19．（1）；（2）.

【分析】

（1）利用正弦定理的边角互化以及三角形的内角和公式可得，进而可得，即求.

（2）由余弦定理可得，再由三角形的面积公式即可求解.

【详解】

（1）由及正弦定理可得.

由带入上式，

整理得.

因为，

所以.

因为，

所以角.

（2）∵的周长为6，得，

由.

可得即.

解得，

∴.

所以的面积为.

20．（1）4；（2）平均数为，40百分位数为；（3）.

【分析】

(1)由给定的频率分布直方图，求出成绩在80~90这一组频率即可得解；

(2)利用频率分布直方图求平均数及百分位数的方法计算即得；

(3)先求出给定两段的学生总数，再用列举法求概率的方法求解即得.

【详解】

（1）依题意50~60这一组的频率为，60~70这一组的频率为，

70~80这一组的频率为，90~100这一组的频率为，

则80~90这一组的频率，其频数为4；

（2）这次竞赛成绩的平均数为

，

40~50这一组的频率为0.1，50~60这一组的频率为0.15，40~60的频率为0.25，60~70这一组的频率为，

因此40百分位数在60~70这一组内，且在本组内需要找到频率为0.15的部分，

所以40百分位数为；

（3）记选出的2人不在同一分数段为事件，

40~50之间的人数为人，设为，，，，90~100之间有人，设为1，2，

从这6人中选出2人，有，，，，，，，，，，，，，，共15个样本点，

其中事件包括，，，，，，，，共8个基本事件，

于是得，

所以不在同一分数段的概率.

21．（1）证明见解析；（2）．

【分析】（1）由题意得，，从而平面ABC，由此证得平面平面ABC；

（2）设点O到平面的距离为h，点B1到平面的距离为d，易得，根据棱锥的体积公式求出，求出，再根据等体积法求出答案．

【详解】（1）证明：因为，所以，，

在三棱柱中，，所以，

又因为，所以平面ABC，

又因为平面，所以平面平面ABC；

（2）解：设点O到平面的距离为h，点B到平面的距离为d，

因为点O为的中点，所以，

，

因为，，

所以，

则，

因为，所以，

即点到平面的距离为