2021【KS5U解析】咸阳高二下学期期末考试数学（文科）试题含解析

这是一份2021【KS5U解析】咸阳高二下学期期末考试数学（文科）试题含解析，共17页。试卷主要包含了选择题.，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年陕西省咸阳市高二（下）期末数学试卷（文科）
一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.
1．已知复数z＝2a+1+（a﹣2）i（其中i是虚数单位）的实部与虚部相等，则实数a等于（　　）
A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3
2．复数z＝（3+4i）（1﹣i）（其中i为虚数单位）在复平面内对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．命题“∀x∈R，ex﹣x+5≥0”的否定是（　　）
A．∀x∈R，lnx+x+5＜0 B．∃x∈R，ex﹣x+5≥0
C．∀x∈R，ex﹣x+5＞0 D．∃x∈R，ex﹣x+5＜0
4．已知f（x）＝excosx，且f（x）的导函数为f'（x），则f'（0）＝（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．e
5．已知点A（﹣7，0），B（7，0），动点P满足|PA|+|PB|＝16，则点P的轨迹为（　　）
A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆
6．在△ABC中，“sinA＝”是“A＝”的（　　）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
7．如图，某系统使用A，B，C三种不同的元件连接而成，每个元件是否正常工作互不影响．当元件A正常工作且B，C中至少有一个正常工作时系统即可正常工作．若元件A，B，C正常工作的概率分别为0.7，0.9，0.8，则系统正常工作的概率为（　　）

A．0.196 B．0.504 C．0.686 D．0.994
8．执行如图所示的程序框图，输出的s值为（　　）

A． B． C．2 D．
9．已知函数f（x）的导函数为f'（x），且y＝f'（x）的图像如图所示，则下列结论一定正确的是（　　）

A．f（a）＝0 B．f（x）没有极大值
C．x＝b时，f（x）有极大值 D．x＝c时，f（x）有极小值
10．已知命题p：∃x∈R，x﹣3＞lnx，命题q：∀x∈R，x2＞0，则（　　）
A．p∨q是假命题 B．p∧q是真命题
C．p∧（￢q）是真命题 D．p∨（￢q）是假命题
11．已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，过F2作渐近线的垂线，垂足为P，O为坐标原点，且，则双曲线的离心率为（　　）
A． B．3 C． D．
12．若对于任意的0＜x1＜x2＜a，都有，则a的最大值为（　　）
A．2e B．e C．1 D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．10张奖券中有4张“中奖”奖券，甲乙两人先后参加抽奖活动，每人从中不放回地抽取一张奖券，甲先抽，乙后抽，则在甲中奖的条件下，乙没有中奖的概率为 　 　．
14．已知复数z＝﹣4+2i，则|z|＝　 　．
15．若复数，则共轭复数＝　 　．
16．椭圆的焦点为F1，F2，上顶点为A，若，则m＝　 　．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．已知函数f（x）＝x3﹣3x+1．
（1）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）求函数f（x）的单调区间．
18．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线方程为x＝﹣2．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）若直线l：y＝x﹣2与抛物线C交于A，B两点，求|AB|．
19．青少年近视问题已经成为我国面临的重要社会问题．对于这一问题，习近平总书记连续作出重要指示，要求“全社会都要行动起来，共同呵护好孩子的眼睛，让他们拥有一个光明的未来”．某机构为了解使用电子产品对青少年视力的影响，随机抽取了200名青少年，调查他们每天使用电子产品的时间（单位：分钟），根据调查数据按（0，30]，（30，60]，（60，90]，（90，120]，（120，150]，（150，180]分成6组，得到如下频数分布表：
时间/分钟
（0，30]
（30，60]
（60，90]
（90，120]
（120，150]
（150，180]
频数
12
38
72
46
22
10
记每天使用电子产品的时间超过60分钟为长时间使用电子产品．
（Ⅰ）完成下面的列联表；

非长时间使用电子产品
长时间使用电子产品
合计
患近视人数

100

未患近视人数


80
合计


200
（Ⅱ）判断是否有99.9%的把握认为患近视与每天长时间使用电子产品有关．
附：，其中n＝a+b+c+d．
P（K2≥k0）
0.10
0.05
0.010
0.001
k0
2.706
3.841
6.635
10.828
20．已知椭圆（a＞b＞0）的中心是坐标原点O，左右焦点分别为F1、F2，设P是椭圆C上一点，满足PF2⊥x轴，，离心率为．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）过椭圆左焦点且倾斜角为45°的直线l与椭圆C相交于A，B两点，求△AOB的面积．
21．中国是世界上沙漠化最严重的国家之一，沙漠化造成生态系统失衡，可耕地面积不断缩小，对中国工农业生产和人民生活带来严重影响．随着综合国力逐步增强，西北某地区大力兴建防风林带，引水拉沙，引洪淤地，开展了改造沙漠的巨大工程，该地区于2017年投入沙漠治理经费2亿元，从2018年到2020年连续3年每年增加沙漠治理经费1亿元，近4年投入的沙漠治理经费x（亿元）和沙漠治理面积y（万亩）的相关数据如表所示：
年份
2017
2018
2019
2020
x
2
3
4
5
y
26
39
49
54
（Ⅰ）通过绘制散点图看出，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用相关系数加以说明；（结果保留3位小数）
（Ⅱ）建立y关于x的线性回归方程，并预测2025年该地区沙漠治理面积是否可突破100万亩．
参考公式：相关系数，线性回归方程的斜率和截距的最小二乘法估计分别为，．
参考数据：，，，，．
22．已知函数f（x）＝ex﹣（k+1）lnx+2sinα．
（Ⅰ）若函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，求实数k的取值范围；
（Ⅱ）当k＝0时，证明：函数f（x）无零点．


参考答案
一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.
1．已知复数z＝2a+1+（a﹣2）i（其中i是虚数单位）的实部与虚部相等，则实数a等于（　　）
A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3
解：因为复数z＝2a+1+（a﹣2）i（其中i是虚数单位）的实部与虚部相等，
所以2a+1＝a﹣2，
则a＝﹣3．
故选：A．
2．复数z＝（3+4i）（1﹣i）（其中i为虚数单位）在复平面内对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
解：∵z＝（3+4i）（1﹣i）＝3﹣3i+4i﹣4i2＝7+i，
∴z在复平面内对应点的坐标为（7，1），位于第一象限．
故选：A．
3．命题“∀x∈R，ex﹣x+5≥0”的否定是（　　）
A．∀x∈R，lnx+x+5＜0 B．∃x∈R，ex﹣x+5≥0
C．∀x∈R，ex﹣x+5＞0 D．∃x∈R，ex﹣x+5＜0
解：命题为全称命题，则命题的否定为∃x∈R，ex﹣x+5＜0，
故选：D．
4．已知f（x）＝excosx，且f（x）的导函数为f'（x），则f'（0）＝（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．e
解：因为f（x）＝excosx，
所以f'（x）＝excosx﹣exsinx，
则f'（0）＝e0cos0﹣e0sin0＝1．
故选：C．
5．已知点A（﹣7，0），B（7，0），动点P满足|PA|+|PB|＝16，则点P的轨迹为（　　）
A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆
解：由题可知，动点P是以A（﹣7，0），B（7，0），为焦点的椭圆，
∵动点P满足|PA|+|PB|＝16，∴2a＝16，即a＝8，c＝7，
∴b＝＝，
∴动点P的轨迹C的方程为：＝1．
故选：A．
6．在△ABC中，“sinA＝”是“A＝”的（　　）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
解：在△ABC中，由sinA＝⇔A＝，或．
∴“sinA＝”是“A＝”的必要非充分条件，
故选：B．
7．如图，某系统使用A，B，C三种不同的元件连接而成，每个元件是否正常工作互不影响．当元件A正常工作且B，C中至少有一个正常工作时系统即可正常工作．若元件A，B，C正常工作的概率分别为0.7，0.9，0.8，则系统正常工作的概率为（　　）

A．0.196 B．0.504 C．0.686 D．0.994
解：某系统使用A，B，C三种不同的元件连接而成，每个元件是否正常工作互不影响．
当元件A正常工作且B，C中至少有一个正常工作时系统即可正常工作．
元件A，B，C正常工作的概率分别为0.7，0.9，0.8，
则系统正常工作的概率为：
P＝0.7×[1﹣（1﹣0.9）（1﹣0.8）]＝0.686．
故选：C．
8．执行如图所示的程序框图，输出的s值为（　　）

A． B． C．2 D．
解：模拟程序的运行，可得：
k＝0，S＝1，
满足条件i＜4，执行循环体，k＝1，S＝2，
满足条件i＜4，执行循环体，k＝2，S＝，
满足条件i＜4，执行循环体，k＝3，S＝，
满足条件i＜4，执行循环体，k＝4，S＝，
此时，不满足条件i＜4，退出循环，输出S的值为．
故选：D．
9．已知函数f（x）的导函数为f'（x），且y＝f'（x）的图像如图所示，则下列结论一定正确的是（　　）

A．f（a）＝0 B．f（x）没有极大值
C．x＝b时，f（x）有极大值 D．x＝c时，f（x）有极小值
解：由图象可知，设y＝f′（x）的图象在原点与（c，0）之间的交点为（d，0），
由图象可知f′（a）＝f′（d）＝f′（c）＝0，
当x＜a时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
当a＜x＜d时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
当d＜x＜c时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
当c＜x时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
所以x＝a是f（x）的极小值点，x＝d是函数f（x）的极大值点，
x＝c是f（x）的极小值点，x＝b不是f（x）的极值点，
f（a）＝0不一定成立，
故选：D．

10．已知命题p：∃x∈R，x﹣3＞lnx，命题q：∀x∈R，x2＞0，则（　　）
A．p∨q是假命题 B．p∧q是真命题
C．p∧（￢q）是真命题 D．p∨（￢q）是假命题
解：命题p：根据函数y＝x﹣3和函数y＝lnx的图象，
如图所示：

即存在实数t﹣3＞lnt成立，故命题p为真命题，
命题q：当x＝0时，∀x∈R，x2＞0故命题q不成立，故q为假命题，
故p∨q为真命题，p∧q为假命题，p∧（￢q）为真命题，p∨（￢q）为真命题，
故选：C．
11．已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，过F2作渐近线的垂线，垂足为P，O为坐标原点，且，则双曲线的离心率为（　　）
A． B．3 C． D．
解：如图，不妨取渐近线为y＝，

焦点F2到渐近线y＝的距离为b，则tan∠PF2O＝＝，
∴，
则e＝＝＝．
故选：A．
12．若对于任意的0＜x1＜x2＜a，都有，则a的最大值为（　　）
A．2e B．e C．1 D．
解：∵，
∴＜，
据此可得函数f（x）＝在定义域（0，a）上单调递增，
其导函数：f′（x）＝＝﹣≥0在（0，a）上恒成立，
据此可得：0＜x≤1，
即实数a的最大值为1．
故选：C．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．10张奖券中有4张“中奖”奖券，甲乙两人先后参加抽奖活动，每人从中不放回地抽取一张奖券，甲先抽，乙后抽，则在甲中奖的条件下，乙没有中奖的概率为 　　．
解：∵10张奖券中有4张“中奖”奖券，甲先抽，并且中奖，
∴此时还有9张奖券，其中3张为“中奖”奖券，
∴在甲中奖的条件下，乙没有中奖的概率P＝．
故答案为：．
14．已知复数z＝﹣4+2i，则|z|＝　　．
解：∵复数z＝﹣4+2i，
∴．
故答案为：．
15．若复数，则共轭复数＝　3+i　．
解：∵＝，
∴．
故答案为：3+i．
16．椭圆的焦点为F1，F2，上顶点为A，若，则m＝　　．
解：由题意可得c＝，b＝m，
又∵∠F1AF2＝，可得∠F1AO＝，
可得tan∠F1AO＝＝，解得m＝．
故答案为：．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．已知函数f（x）＝x3﹣3x+1．
（1）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）求函数f（x）的单调区间．
解：（1）f（x）＝x3﹣3x+1，所以f（0）＝1，
又f'（x）＝3x2﹣3，
所以k＝f'（0）＝﹣3，
故切线方3x+y﹣1＝0．
（2）f'（x）＝3x2﹣3＞0，则x＞1或x＜﹣1；
f'（x）＝3x2﹣3＜0，则﹣1＜x＜1．
故函数在（﹣∞，﹣1）和（1，+∞）上单调递增．在（﹣1，1）上单调递减．
18．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线方程为x＝﹣2．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）若直线l：y＝x﹣2与抛物线C交于A，B两点，求|AB|．
解：（Ⅰ）∵抛物线C的准线方程为x＝﹣2，
∴，得p＝4，
故抛物线C的方程为y2＝8x．
（Ⅱ）显然直线l：y＝x﹣2过焦点F（2，0），
联立，消去y可得x2﹣12x+4＝0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2＝12，
故|AB|＝x1+x2+p＝12+4＝16．
19．青少年近视问题已经成为我国面临的重要社会问题．对于这一问题，习近平总书记连续作出重要指示，要求“全社会都要行动起来，共同呵护好孩子的眼睛，让他们拥有一个光明的未来”．某机构为了解使用电子产品对青少年视力的影响，随机抽取了200名青少年，调查他们每天使用电子产品的时间（单位：分钟），根据调查数据按（0，30]，（30，60]，（60，90]，（90，120]，（120，150]，（150，180]分成6组，得到如下频数分布表：
时间/分钟
（0，30]
（30，60]
（60，90]
（90，120]
（120，150]
（150，180]
频数
12
38
72
46
22
10
记每天使用电子产品的时间超过60分钟为长时间使用电子产品．
（Ⅰ）完成下面的列联表；

非长时间使用电子产品
长时间使用电子产品
合计
患近视人数

100

未患近视人数


80
合计


200
（Ⅱ）判断是否有99.9%的把握认为患近视与每天长时间使用电子产品有关．
附：，其中n＝a+b+c+d．
P（K2≥k0）
0.10
0.05
0.010
0.001
k0
2.706
3.841
6.635
10.828
解：（Ⅰ）由表中数据完成的列联表如下：

非长时间使用电子产品
长时间使用电子产品
合计
患近视人数
20
100
120
未患近视人数
30
50
80
合计
50
150
200
（Ⅱ）由列联表中的数据可得，，
所以有99.9%的把握认为患近视与每天长时间使用电子产品有关．
20．已知椭圆（a＞b＞0）的中心是坐标原点O，左右焦点分别为F1、F2，设P是椭圆C上一点，满足PF2⊥x轴，，离心率为．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）过椭圆左焦点且倾斜角为45°的直线l与椭圆C相交于A，B两点，求△AOB的面积．
解：（Ⅰ）由题意P是椭圆C上一点，满足PF2⊥x轴，，离心率为．
知，，
所以．
（Ⅱ）过椭圆左焦点（﹣，0）且倾斜角为45°的直线l，可知，联立直线l和椭圆C，
有，有，设A（x1，y1），B（x2，y2），x1+x2＝，x1x2＝，
有，
所以．
21．中国是世界上沙漠化最严重的国家之一，沙漠化造成生态系统失衡，可耕地面积不断缩小，对中国工农业生产和人民生活带来严重影响．随着综合国力逐步增强，西北某地区大力兴建防风林带，引水拉沙，引洪淤地，开展了改造沙漠的巨大工程，该地区于2017年投入沙漠治理经费2亿元，从2018年到2020年连续3年每年增加沙漠治理经费1亿元，近4年投入的沙漠治理经费x（亿元）和沙漠治理面积y（万亩）的相关数据如表所示：
年份
2017
2018
2019
2020
x
2
3
4
5
y
26
39
49
54
（Ⅰ）通过绘制散点图看出，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用相关系数加以说明；（结果保留3位小数）
（Ⅱ）建立y关于x的线性回归方程，并预测2025年该地区沙漠治理面积是否可突破100万亩．
参考公式：相关系数，线性回归方程的斜率和截距的最小二乘法估计分别为，．
参考数据：，，，，．
解：（Ⅰ）由题意可得，，，，
所以，
由于y与x的相关系数近似为0.998，说明y与x的线性相关程度相当高，
从而可以用线性回归模型拟合y与x的关系；
（Ⅱ）因为，，
所以，
又，，
则，
故y关于x的线性回归方程为，
当x＝10时，，
所以2025年该地区沙漠治理面积可突破100万亩．
22．已知函数f（x）＝ex﹣（k+1）lnx+2sinα．
（Ⅰ）若函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，求实数k的取值范围；
（Ⅱ）当k＝0时，证明：函数f（x）无零点．
解：（Ⅰ），x＞0，
∵函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，
∴在（0，+∞）上恒成立，即k+1≤xex在（0，+∞）上恒成立，
∵函数y＝xex在（0，+∞）上单调递增，且y∈（0，+∞），
∴k+1≤0，即k≤﹣1，
故实数k的取值范围是（﹣∞，﹣1]．
（Ⅱ）证明：当k＝0时，，x＞0，
易知f'（x）为增函数，且，f'（1）＝e﹣1＞0，
∴存在，使得f'（m）＝0，得，故m＝﹣lnm，
当x∈（0，m）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，
当x∈（m，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，
∴，
∴函数f（x）无零点．